第三章 - 随机向量及其分布¶

3.1 多维随机向量¶

二维随机向量的分布函数¶

联合分布函数：设 \((X,Y)\) 是二维随机向量，对于任意实数 \(x,y\)，二元函数

\[ F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) \]

称为二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数，或者 \((X,Y)\) 的联合分布函数。
矩形区域的概率：二维随机向量 \((X,Y)\) 落在矩形区域 \((x_1,x_2]\times(y_1,y_2]\) 内的概率为

\[ P(x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) \]
联合分布函数的性质（一个二元函数是某个二维随机向量的分布函数的充要条件）：
- \(0\leq F(x,y)\leq 1\)
- \(F(x,y)\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 分别单调不减
- \(F(x,y)\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 分别右连续
- \(\lim_{x\to-\infty}F(x,y)=0\)，\(\lim_{y\to-\infty}F(x,y)=0\)，\(\lim_{x\to+\infty,y\to+\infty}F(x,y)=1\)
- 对任意 \(x_1<x_2\)、\(y_1<y_2\)，
  
  \[ F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geq 0 \]

离散型随机向量¶

二维离散型随机向量¶

二维离散型随机向量：若二维随机向量 \((X,Y)\) 的所有可能取值为至多可列个数对 \((x_i,y_j)\)，则称 \((X,Y)\) 为二维离散型随机向量。
联合分布律：设 \((X,Y)\) 的可能取值为 \((x_i,y_j)\)，记

\[ p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),\quad i,j=1,2,\ldots \]

则称 \(p_{ij}\) 为 \((X,Y)\) 的联合分布律。
联合分布律的性质：
- \(p_{ij}\geq 0\)，\(\displaystyle\sum_i\sum_j p_{ij}\leq 1\)
- 对任意区域 \(D\)，
  
  \[ P((X,Y)\in D)=\sum_{(x_i,y_j)\in D}p_{ij} \]
- 联合分布律和联合分布函数之间的关系为
  
  \[ F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} \]

\(n\) 维离散型随机向量¶

\(n\) 维离散型随机向量：若随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 的可能取值至多可列，则称其为 \(n\) 维离散型随机向量。
联合分布律：记

\[ p(i_1,\ldots,i_n)=P(X_1=x_{1i_1},\ldots,X_n=x_{ni_n}) \]

则称 \(p(i_1,\ldots,i_n)\) 为 \(\mathbf{X}\) 的联合分布律。
多项分布：设 \(A_1,\ldots,A_n\) 表示某试验的 \(n\) 个事件，两两不相容且和为样本空间 \(\Omega\)。记 \(p_i=P(A_i)\)，则 \(p_i\geq 0\)，\(\sum_{i=1}^{n}p_i=1\)。若进行 \(N\) 次独立重复试验，记 \(X_i\) 为事件 \(A_i\) 出现的次数，则离散型随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 服从参数为 \((N,p_1,\ldots,p_n)\) 的多项分布，记为

\[ \mathbf{X}\sim M(N;p_1,\ldots,p_n) \]

联合分布律为

\[ P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)=\frac{N!}{x_1!\cdots x_n!}p_1^{x_1}\cdots p_n^{x_n} \]

其中 \(x_i=0,1,\ldots,N\)，且 \(\sum_{i=1}^{n}x_i=N\)。

连续型随机向量¶

二维连续型随机向量¶

二维连续性随机向量：设二维随机向量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，若存在非负可积函数 \(f(x,y)\)，使得对 \(\forall (x,y)\in\mathbb R^2\)，

\[ F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,dv\,du \]

则称 \((X,Y)\) 为二维连续型随机向量
联合概率密度函数：称 \(f(x,y)\) 为 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数，简称联合密度函数，记为 \((X,Y)\sim f(x,y)\)。
联合密度函数的性质：
- 非负性：\(\forall (x,y)\in\mathbb R^2\)，\(f(x,y)\geq 0\)。
- 平面上积分为 1：\(\displaystyle\iint_{\mathbb R^2}f(x,y)\,dx\,dy=1\)。
- 对任意区域 \(D\subset\mathbb R^2\)，
  
  \[ P((X,Y)\in D)=\iint_D f(x,y)\,dx\,dy \]
- 若 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续，则
  
  \[ f(x_0,y_0)=\left.\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}\right|_{(x_0,y_0)} \]
二维均匀分布：若 \((X,Y)\) 的联合密度函数在有界区域 \(D\) 上为常数，在区域外为 \(0\)，则称 \((X,Y)\) 在 \(D\) 上服从二维均匀分布。
- 密度函数：
  
  \[ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{S(D)},&(x,y)\in D,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases} \]
  
  其中 \(S(D)\) 为区域 \(D\) 的面积。
- 性质：对 \(\forall G\subset D\)，有
  
  \[ P((X,Y)\in G)=\frac{S(G)}{S(D)} \]
二元正态分布：若二维随机向量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为

\[ f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} -\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} \]

其中 \(-\infty<\mu_1,\mu_2<+\infty\)，\(\sigma_1,\sigma_2>0\)，\(-1<\rho<1\)，则称 \((X,Y)\) 服从二元正态分布，记为

\[ (X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho) \]

\(n\) 维连续型随机向量¶

\(n\) 维连续型随机向量的联合密度函数：对于 \(n\) 维连续型随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\)，若存在非负函数 \(f(x_1,\ldots,x_n)\)，使得对 \(\forall \boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)^\top\in\mathbb R^n\)，有

\[ F(\boldsymbol{x})=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}f(t_1,\ldots,t_n)\,dt_n\cdots dt_1 \]

则称 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 为 \(n\) 维连续型随机向量，称 \(f\) 为其联合概率密度函数。
\(n\) 元正态分布：若 \(n\) 维随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 的联合密度函数为

\[ f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{\det(\Sigma)}} \exp\left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^\top\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right\} \]

其中 \(\boldsymbol{\mu}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top\)，\(\Sigma\) 为协方差矩阵，则称 \(\mathbf{X}\) 服从参数为 \(\boldsymbol{\mu}\) 和 \(\Sigma\) 的 \(n\) 元正态分布，记为

\[ \mathbf{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\Sigma) \]
- 特别的，令 \(n=2\) 且
  
  \[ \boldsymbol{\mu}=(\mu_1,\mu_2)^\top,\qquad \Sigma=\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix} \]
  
  则 \(n\) 元正态分布退化为二元正态分布，\(\mathbf{X}=(X_1,X_2)^\top \sim N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho)\)。

3.2 边际分布¶

边际分布函数¶

二维随机变量边际分布函数：设 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，则称

\[ \begin{aligned} F_X(x)&=P(X\leq x)=F(x,+\infty)\\ F_Y(y)&=P(Y\leq y)=F(+\infty,y) \end{aligned} \]

为 \((X,Y)\) 的边际分布函数。
\(n\) 维随机向量的边际分布：设 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\)，从中取出前 \(k\) 个分量组成

\[ \mathbf{U}=(X_1,\ldots,X_k)^\top \]

则 \(\mathbf{U}\) 的分布称为 \(\mathbf{X}\) 的边际分布，记为 \(F_{\mathbf{U}}(u)\)，有

\[ \begin{aligned} F_{\mathbf{U}}(u)&=P(X_1\leq u_1,\ldots,X_k\leq u_k)\\ &=F(u_1,\ldots,u_k,+\infty,\ldots,+\infty) \end{aligned} \]
边际分布与联合分布的关系：联合分布可以唯一确定边际分布，但边际分布一般不能唯一确定联合分布。

离散型随机变量的边际分布¶

二维离散型随机向量的边际分布¶

边际分布律：若 \((X,Y)\) 的联合分布律为 \(p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)\)，则

\[ \begin{aligned} p_{i\cdot}&=P(X=x_i)=\sum_j p_{ij}\\ p_{\cdot j}&=P(Y=y_j)=\sum_i p_{ij} \end{aligned} \]

分别称为 \(X\) 和 \(Y\) 的边际分布律。
边际分布函数：若 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，则边际分布函数为

\[ \begin{aligned} F_X(x)&=F(x,+\infty)=\sum_{x_i\leq x}p_{i\cdot}\\ F_Y(y)&=F(+\infty,y)=\sum_{y_j\leq y}p_{\cdot j} \end{aligned} \]

\(n\) 维离散型随机向量的边际分布¶

边际分布律：设 \(n\) 维离散型随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 的联合分布律为

\[ p(i_1,\ldots,i_n)=P(X_1=x_{1i_1},\ldots,X_n=x_{ni_n}) \]

则 \(\mathbf{U}=(X_1,\ldots,X_k)^\top\) 的边际分布律为

\[ p(i_1,\ldots,i_k)=\sum_{i_{k+1}}\cdots\sum_{i_n}p(i_1,\ldots,i_n) \]

连续型随机变量的边际分布¶

二维连续型随机向量的边际分布¶

边际密度函数：若 \((X,Y)\) 的联合密度函数为 \(f(x,y)\)，则

\[ \begin{aligned} f_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy\\ f_Y(y)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx \end{aligned} \]

分别称为 \(X\) 和 \(Y\) 的边际密度函数。
边际分布函数：若 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，则边际分布函数为

\[ \begin{aligned} F_X(x)&=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{x}f_X(u)\,du\\ F_Y(y)&=F(+\infty,y)=\int_{-\infty}^{y}f_Y(v)\,dv \end{aligned} \]
二元正态分布的边际分布：若

\[ (X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho) \]

则两个边际分布分别为

\[ X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2), \quad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) \]
- 两个边际分布均不依赖于参数 \(\rho\)。因此，不同的 \(\rho\) 可以对应不同的联合分布，而边际分布相同。

\(n\) 维连续型随机向量的边际分布¶

边际密度函数：设 \(n\) 维连续型随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\) 的联合密度函数为 \(f(x_1,\ldots,x_n)\)，则 \(\mathbf{U}=(X_1,\ldots,X_k)^\top\) 的边际密度函数为

\[ f_{\mathbf{U}}(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}f(u_1,\ldots,u_k,x_{k+1},\ldots,x_n)\,dx_{k+1}\cdots dx_n \]

3.3 条件分布¶

条件分布的概念¶

条件概率：在事件 \(B\) 发生的条件下事件 \(A\) 发生的概率为

\[ P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\qquad P(B)>0 \]
条件分布：在给定随机变量 \(Y\) 取某个或某些值的条件下，求随机变量 \(X\) 的概率分布。

离散型随机向量的条件分布¶

条件分布律：设 \((X,Y)\) 为二维离散型随机向量，且 \(P(Y=y_j)>0\)，则

\[ P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} \]

称为给定 \(Y=y_j\) 时 \(X\) 的条件分布律。
条件分布律的性质：
- \(P(X=x_i\mid Y=y_j)\geq 0\)
- \(\displaystyle\sum_iP(X=x_i\mid Y=y_j)=1\)

连续型随机向量的条件分布¶

条件密度函数：设 \((X,Y)\) 为二维连续型随机向量，联合密度为 \(f(x,y)\)，边际密度为 \(f_Y(y)\)。当 \(f_Y(y)>0\) 时，称

\[ f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \]

为给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件密度函数，常记为 \(X\mid y\sim f_{X\mid Y}(x\mid y)\)。

类似地，当 \(f_X(x)>0\) 时，

\[ f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} \]
条件密度函数的性质：
- \(f_{X\mid Y}(x\mid y)\geq 0\)。
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx=1\)。
条件分布函数：给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件分布函数为

\[ F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}f_{X\mid Y}(u\mid y)\,du \]
\(n\) 维随机向量的条件密度函数：将 \(n\) 维随机向量划分为 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_k)^\top\) 与 \(\mathbf{Y}=(Y_1,\ldots,Y_{n-k})^\top\)，若联合密度为 \(f_{\mathbf{X},\mathbf{Y}}(x,y)\)，边际密度为 \(f_{\mathbf{Y}}(y)>0\)，则 \(\mathbf{X}\) 在给定 \(\mathbf{Y}=\mathbf{y}\) 时的条件密度函数为

\[ f_{\mathbf{X}\mid\mathbf{Y}}(x\mid y) =\frac{f_{\mathbf{X},\mathbf{Y}}(x,y)}{f_{\mathbf{Y}}(y)} \]
二元正态分布的条件分布：若 \((X,Y)\) 服从二元正态分布，则给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件分布仍为一元正态分布，其条件均值和条件方差分别为

\[ E(X\mid Y=y)=\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\quad D(X\mid Y=y)=\sigma_1^2(1-\rho^2) \]

即

\[ X\mid y\sim N\left(\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\, \sigma_1^2(1-\rho^2)\right) \]

3.4 随机向量的相互独立性¶

二维随机向量的独立性¶

随机变量的相互独立：随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，当且仅当对任意事件 \(A\) 与 \(B\)，有

\[ P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B) \]

记为 \(X\perp\!\!\!\perp Y\)。
- 等价条件：对任意实数 \(x,y\)，
  
  \[ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \]
离散型随机向量的独立性判定：对于二维离散型随机向量，\(X\) 与 \(Y\) 相互独立，当且仅当对所有可能取值 \(x_i,y_j\)，

\[ P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) \]

即

\[ p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j} \]
连续型随机向量的独立性判定：对于二维连续型随机向量，若对任意实数 \(x,y\)，

\[ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) \]

几乎处处成立，则 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立；反之，若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，则联合密度可写成边际密度的乘积。
独立性定理：若 \((X,Y)\) 为二维随机向量，\(f(x,y)\) 为其联合密度函数，则 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立的充要条件是存在两个非负可积函数 \(g(x)\) 与 \(h(y)\)，使得

\[ f(x,y)=g(x)h(y), \quad -\infty<x,y<+\infty \]

在一切连续点上成立。此时 \(X\) 与 \(Y\) 的边际密度函数分别为

\[ f_X(x)=\frac{g(x)}{\int_{-\infty}^{+\infty}g(u)\,du},\quad f_Y(y)=\frac{h(y)}{\int_{-\infty}^{+\infty}h(v)\,dv} \]

\(n\) 维随机向量的相互独立性¶

\(n\) 个随机变量相互独立：设 \(n\) 维随机向量 \(\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)^\top\sim F(\boldsymbol{x})\)，则 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，当且仅当对 \(\forall \boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)^\top\in\mathbb R^n\)，

\[ F(\boldsymbol{x})=\prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x_i) \]
\(n\) 维离散型随机向量的独立性：若 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，则对所有可能取值 \(x_1,\ldots,x_n\)，有

\[ P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n) =\prod_{i=1}^{n}P(X_i=x_i) \]
\(n\) 维连续型随机向量的独立性：若 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，令 \(f(x_1,\ldots,x_n)\) 为联合密度函数，\(f_{X_i}(x_i)\) 为 \(X_i\) 的边际密度函数，则

\[ f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i) \]

几乎处处成立。
独立性推论：记 \(\{i_1,\ldots,i_k,j_1,\ldots,j_{n-k}\}\) 表示 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 的一个重排，如果随机变量 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，则任意两个子随机向量 \(\mathbf{U}=(X_{i_1},\ldots,X_{i_k})^\top\) 与 \(\mathbf{V}=(X_{j_1},\ldots,X_{j_{n-k}})^\top\) 也相互独立。进一步的随机向量的函数 \(g(\mathbf{U})\) 与 \(h(\mathbf{V})\) 也相互独立。

独立同分布¶

独立同分布（iid）：若随机变量 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，且具有相同的分布 \(F(x)\)，则称它们独立同分布，记为

\[ X_1,\ldots,X_n\overset{\mathrm{iid}}{\sim}F(x) \]

称 \(X_1,X_2,\ldots, X_n\) 是来自分布 \(F(x)\) 样本量为 \(n\) 的简单随机样本。
独立同分布的性质：独立同分布随机变量的联合分布由共同的边际分布唯一确定；\((X_1,\ldots,X_n)\) 的联合分布函数为

\[ F(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}F(x_i) \]
- 若为离散型随机变量，则联合分布律为
  
  \[ P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i=x_i) \]
- 若为连续型随机变量，则联合密度函数为
  
  \[ f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i) \]

3.5 随机向量函数的分布¶

二维离散型随机向量函数的分布¶

离散型随机向量函数的分布：设二维离散型随机向量 \((X,Y)\) 的联合分布律为

\[ P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \]

对随机变量 \(Z=g(X,Y)\)，其分布律为

\[ P(Z=z_k)= \sum_{(x_i,y_j):\,g(x_i,y_j)=z_k}p_{ij} \]

二维连续型随机向量函数的分布¶

分布函数法：设二维连续型随机向量 \((X,Y)\) 的联合密度函数为 \(f(x,y)\)，求连续型随机变量 \(Z=g(X,Y)\) 的密度函数可以分为以下步骤：
1. 对每个 \(z\)，确定集合
  
  \[ A_z=\{(x,y):g(x,y)\leq z\} \]
2. 求 \(Z\) 的分布函数
  
  \[ F_Z(z)=P(Z\leq z)=P((X,Y)\in A_z) =\iint_{A_z}f(x,y)\,dx\,dy \]
3. 求导得到 \(Z\) 的密度函数
  
  \[ f_Z(z)=F_Z'(z) \]

和的分布¶

连续型随机变量之和：设 \((X,Y)\) 的联合密度函数为 \(f(x,y)\)，令 \(Z=X+Y\)，则
- 分布函数：
  
  \[ \begin{aligned} F_Z(z)=P(X+Y\leq z) &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\,dy\,dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)\,dx\,dy \end{aligned} \]
- 密度函数：
  
  \[ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)\,dy \]
卷积公式：若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且边际密度函数分别为 \(f_X(x)\)、\(f_Y(y)\)，则 \(Z=X+Y\) 的密度函数为

\[ \begin{aligned} f_Z(z)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\,dy \end{aligned} \]

最值的分布¶

二维随机向量的最值：
- 最大值的分布函数：令 \(M=\max\{X,Y\}\)，则
  
  \[ F_M(z)=P(M\leq z)=F(z,z) \]
  
  若 \(X,Y\) 相互独立，则
  
  \[ F_M(z)=F_X(z)F_Y(z) \]
- 最小值的分布函数：令 \(N=\min\{X,Y\}\)，则
  
  \[ F_N(z)=P(N\leq z)=1-P(X>z,Y>z) \]
  
  若 \(X,Y\) 相互独立，则
  
  \[ F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] \]
\(n\) 个独立连续型随机变量的最值：设 \(X_1,\ldots,X_n\) 相互独立，且分布函数分别为 \(F_{X_i}(x)\)，则
- 最大值的分布函数：令 \(M=\max\{X_1,\ldots,X_n\}\)，则
  
  \[ F_M(x)=P(M\leq x)=\prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x) \]
- 最小值的分布函数：令 \(N=\min\{X_1,\ldots,X_n\}\)，则
  
  \[ F_N(x)=P(N\leq x)=1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_{X_i}(x)] \]
- 特别的，如果 \(X_1,\ldots,X_n \overset{\mathrm{iid}}{\sim} F(x)\)，则
  
  \[ F_M(x)=[F(x)]^n,\quad F_N(x)=1-[1-F(x)]^n \]