第一章 随机事件和概率¶
随机事件和运算¶
随机试验与随机事件¶
随机试验¶
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随机试验，简称 试验 \(E\)
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性质：
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可在相同条件下重复进行
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所有可能结果不止一个，且在试验前已知
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每次试验结果应在已知所有可能结果中，且事先无法预知
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随机事件¶
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试验的每个可能的结果为 随机事件，简称 事件
- 用大写字母表示
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必然事件 \(\it\Omega\)
- 每次试验必然出现的结果
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不可能事件 \(\it\Phi\)
- 每次试验必然不出现的结果
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基本事件 / 样本点 \(\omega, \nu, \tau, \cdots\)
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一个试验中最简单的单一事件
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非无穷，无穷可数，无穷不可数
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样本空间 \(\mathit\Omega/S\)¶
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所有样本点组成的集合
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随机事件是样本空间的子集
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样本点在事件 \(A\) 内，\(\omega\in A\)，称事件 \(A\) 发生
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否则 \(\omega\not\in A\)，称事件 \(A\) 不发生
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由于每次试验中 \(\it\Omega\) 必然发生，因此是必然事件
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空集 \(\it\Phi\) 不包含任何样本点，每次试验必不发生，因此是不可能事件
随机事件关系与运算¶
关系¶
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包含关系
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事件 \(B\) 发生，必然导致事件 \(A\) 发生，事件 \(B\) 包含于事件 \(A\)，事件 \(A\) 包含事件 \(B\)
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\(B\subset A, A\supset B\)
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相等关系
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若 \(B\subset A\) 且 \(A\supset B\)，则称事件 \(A\) 与 \(B\) 相等
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\(A = B\)
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运算¶
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事件的 并
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使得事件 A 与 B 中至少有一个发生的事件，这个事件称为 \(A\) 与 \(B\) 的 并
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\(A \cup B = \{\omega \mid \omega\in A \vee \omega \in B\}\)
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事件的 交
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使得事件 A 与 B 同时发生的事件，这个事件称为 \(A\) 与 \(B\) 的 交
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\(A\cap B = \{\omega \mid \omega\in A \wedge \omega \in B\}\)
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符号可省略，读作 A 乘 B
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事件的 差
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使得 A 发生而 B 不发生的事件，这个事件称为 \(A\) 与 \(B\) 的 差
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\(A - B = \{\omega \mid \omega \in A \wedge \omega \not\in B\}\)
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对立事件
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所有不属于事件 A 的基本事件组成的事件，称为事件 A 的对立事件
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\(\overline{A} = \{\omega \mid \omega \in \mathit\Omega \wedge \omega \not\in A\}\)
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事件与对立事件
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\(A\cup \overline{A} =\mathit\Omega\)
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\(A\overline{A} = \varnothing\)
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\(\overline{\overline{A}} = A\)
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\(A - B = A \overline{B}\)
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必然事件与不可能事件互斥
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互不相容
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若 \(A B = \varnothing\)，称事件 \(A\) 与 \(B\) 互不相容 或 互斥
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若 \(n\) 个事件两两交集为空，则 \(n\) 个事件互不相容
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互为对立的两事件必为互不相容，反之未必成立
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两事件互不相容，则两事件的并读作加，\(A\cup B = A + B\)
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运算规律¶
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交换律
\[ \begin{aligned} A\cup B &= B\cup A\\ AB&=BA \end{aligned} \] -
结合律
\[ \begin{aligned} (A\cup B)\cup C &= A\cup(B\cup C)\\ (AB)C &= A(BC) \end{aligned} \] -
分配律
\[ \begin{aligned} A\cup(BC) &= (A\cup B)(A\cup C)\\ A(B\cup C) &= (AB)\cup(AC) \end{aligned} \] -
对偶律 (De Morgan 定理)
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对于两事件
\[ \begin{aligned} \overline{A \cup B} &= \overline{A} \overline{B}\\ \overline{AB} &= \overline{A}\cup\overline{B} \end{aligned} \] -
对于 \(n\) 个或无穷事件
\[ \overline{\bigcup_{i=1}^nA_i} = \bigcap_{i=1}^n\overline{A_i},\quad \overline{\bigcap_{i=1}^nA_i} = \bigcup_{i=1}^n\overline{A_i} \]
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运算顺序：对立 > 交 > 并 & 差，括号优先
概率¶
概率的定义¶
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随机事件 \(A\) 发生可能性大小的数值度量，称为 \(A\) 的 概率，记为 \(P(A)\)
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设 \(E\) 是一个随机试验，\(\it \Omega\) 是它的样本空间，对于 \(E\) 的每个事件 \(A\) 赋予一个实数，记为 \(P(A)\)，若 \(P( \cdot )\) 满足以下公理：
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非负性：对于每一个事件 \(A\)，有 \(P(A)\ge 0\)
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规范性 对于必然事件 \(\it\Omega\)，有 \(P(\it \Omega)=1\)
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可列可加性 对于两两互不相容的事件 \(A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots\)，即 \(A_iA_j=\varnothing,i\neq j,i,j=1,2,\cdots\)，有
\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{+\infty}P(A_i) \]则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的 概率
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频率的定义¶
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如果事件 \(A\) 在 \(n\) 次重复试验中发生了 \(m\) 次，则称比值 \(\dfrac mn\) 为在这 \(n\) 次重复试验中事件 \(A\) 发生的 频率，记为
\[ f_n(A)=\frac mn \] -
性质：
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对于任意事件 \(A\)，\(0\le f_n(A)\le 1\)
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\(f_n(\mathit\Omega) = 1\)
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若事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 两两互不相容，则
\[ f_n\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{+\infty}f_n(A_i) \]
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统计概率¶
- 设随机试验 \(A\) 在 \(n\) 次重复试验中发生了 \(m\) 次. 当 \(n\) 很大时，频率 \(f_n(A) = \dfrac mn\) 稳定在某一数值 \(p (0<p<1)\) 附近波动，且随着次数增大，波动幅度越来越小，则称数值 \(p\) 为事件 \(A\) 的 (统计) 概率
古典概率¶
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定义：满足以下条件：
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样本空间包含 有限个样本点，\(\mathit\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_N\}\)
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每个样本点的发生是 等可能 的，\(P(\omega_1)=P(\omega_2)=\cdots=P(\omega_N)\)
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样本空间为必然事件，\(P(\mathit\Omega)=1\)，则有
\[ P\{\omega_i\}=\frac1N \] -
事件 \(A=\{\omega_{i_1},\omega_{i_2},\cdots,\omega_{i_M}\}\) 的概率为
\[ P(A)=\frac {M}{N} = \frac{A 包含样本点个数}{\mathit\Omega 中样本点的总数} \]
几何概型¶
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定义：满足以下条件：
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样本空间中每个样本点与一个测度有限的几何区域中的点一一对应;
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任意事件 \(A\) 与区域 \(S\) 的一个子区域 \(G\) 对应，\(A\) 的概率 \(P(A)\) 仅与 \(G\) 的测度成正比，与 \(G\) 的形状与在 \(S\) 中的位置无关，即
\[ P(A)=\frac{m(G)}{m(S)} \]其中 \(m( \cdot )\) 表示区域的测度
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概率基本性质¶
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\[ P(\varnothing) = 0 \]
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有限可加性：\(n\) 个事件 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 满足 \(A_iA_j = \varnothing(i\neq j)\)，
\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i) \] -
对立事件：对于任意事件，
\[ P(\overline A)=1-P(A) \] -
单调不减性：对于任意两个事件 \(A,B\)，若 \(A\subset B\)，则有
\[ P(B-A) = P(B)-P(A), P(B)\ge P(A) \] -
加法定理：对于任意两个事件 \(A,B\)，
\[ P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \]一般地，对于 \(n\) 个事件 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\)，
\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\le i<j\le n}P(A_iA_j)+\sum_{1\le i<j<k\le n}P(A_iA_jA_k)+\cdots+(-1)^{n-1}P(A_1A_2\cdots A_n) \]右侧共 \(\sum\limits_{k=1}^nC_n^k = 2^n-1\) 项
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事件差：
\[ P(B-A) = P(B) - P(AB) \]
条件概率¶
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定义：设 A，B 为两事件，\(P(A)>0\)，，则事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率为
\[ P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \] -
当 \(B\subset A\) 时，
\[ P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)}\ge P(B) \]
乘法公式¶
推广：
全概率公式¶
若事件 \(B_1, B_2,\cdots, B_n\) 满足
称上述事件组为 完备事件组，或样本空间 \(\it \Omega\) 的一个 划分
若事件 \(A\) 落在样本空间内，与划分中的任意一个 \(B_i\) 都有可能有交集，则事件 \(A\) 的概率与划分有关
则 \(P(A)\) 的概率可由全概率公式给出
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对于 \(A\) 的全体的概率被分解为多个部分之和
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事件 \(A\) 的发生由原因 \(B_i\) 引起，则 \(P(AB_i) = P(B_i) P(A \mid B_i)\)，事件 \(A\) 的全体为所有原因的总和
Bayes 公式¶
在事件 \(A\) 已发生的条件下，求导致 \(A\) 发生的每个原因的概率，可由 Bayes 公式求出
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\(P(B_i)\) 先验概率：由以往经验得到
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\(P(B_i \mid A)\) 后验概率：得到信息：\(A\) 发生的概率后，对 \(A\) 发生的原因的可能性大小进行修正
事件的独立性¶
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定义：任意两个事件 \(A, B\)，若满足
\[ P(AB) = P(A) P(B) \]则称事件 \(A\) 与事件 \(B\) 相互独⽴，简称 \(A\) 与 \(B\) 独⽴，即
\[ P(A \mid B) = P(A) = P(A \mid \overline B) \] -
推广：若事件 \(A_1,A_2,A_3\) 满足
\[ \begin{aligned} &\begin{cases} P(A_1A_2) = P(A_1) P(A_2)\\ P(A_1A_3) = P(A_1) P(A_3)\\ P(A_2A_3) = P(A_2) P(A_3) \end{cases}\\ &P(A_1A_2A_3) = P(A_1) P(A_2) P(A_3) \end{aligned} \]则称三个事件 相互独立
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辨析：两两独立 与 相互独立
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性质
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对称性：两事件相互独立是相互对称的
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\(P(A)>0\)，则 \(P(B) = P(B \mid A)\)
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\(P(B)>0\)，则 \(P(A) = P(A \mid B)\)
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若 \(P(A), P(B)>0\)，则 “相互独立” 与 “互斥” 不能同时成立
- 若互斥则一个发生另一个必不发生
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若四对事件 \(A,B;A,\overline B; \overline A, B;\overline A, \overline B\) 任意一对事件相互独立，则其余三对也分别相互独立
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若 \(n\) 个事件相互独立，则将这 \(n\) 个事件任意分成 \(k\) 组，同一事件不能同时属于两个不同的组，则对 每组的事件进行求和、积、差、对立等运算 所得到的 \(k\) 个事件 也相互独立
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利用独立事件的性质计算并事件的概率¶
若 \(A_1, A_2,\cdots, A_n\) 相互独立，则
当 \(P(A_i) = p\)，
伯努利试验概型¶
\(n\) 重伯努利试验概型：
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重复试验 \(n\) 次
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每次试验只有两种可能的结果 \(A,\overline A\)
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每次试验的结果与其它次试验无关：\(n\) 次试验是相互独立的
事件 \(A\) 出现 \(k\) 的概率，记为 \(P_n(k)\)，若 \(P(A)= p, 0<p<1\)