第二章 道路与回路

道路与回路

• 有向图
  • 道路与回路的定义：
    • 有向道路：有向图 \(G=(V,E)\) 中，若边序列 \(P=\left(e_{i 1},e_{i 2},\cdots,e_{i q}\right)\)，其中 \(e_{i k}=\left(v_{l},v_{j}\right)\) 满足 \(v_{l}\) 是 \(e_{i k-1}\) 的终点，\(v_{j}\) 是 \(e_{i k+1}\) 的始点，就称 \(P\) 是 \(G\) 的一条有向道路。
    • 有向回路：如果 \(e_{i q}\) 的终点也是 \(e_{i 1}\) 的始点，则称 \(P\) 是 \(G\) 的一条有向回路。
  • 简单/初级有向道路/回路：
    • 简单有向道路和简单有向回路：如果 \(P\) 中的边没有重复出现，则分别称为简单有向道路和简单有向回路。
    • 初级有向道路和初级有向回路：如果在 \(P\) 中结点也不重复出现，又分别称它们是初级有向道路和初级有向回路，简称为路和回路。
    • 显然，初级有向道路（回路）一定是简单有向道路（回路）。
  • 长度：边的数目 \(q\) 称为道路（回路）的长度。

• 无向图
  • 道路与回路的定义：
    • 无向道路：无向图 \(G=(V,E)\) 中，若点边交替序列 \(P=\left(v_{i 1},e_{i 1},v_{i 2},e_{i 2},\cdots,e_{i q-1},v_{i q}\right)\) 满足 \(v_{i k},v_{i k+1}\) 是 \(e_{i k}\) 的两个端点，则称 \(P\) 是 \(G\) 中的一条 链，或 道路。
    • 无向回路：如果 \(v_{i q}=v_{i 1}\)，则称 \(P\) 是 \(G\) 中的一个 圈，或 回路。
  • 简单/初级无向道路/回路：
    • 简单道路和简单回路：如果 \(P\) 中没有重复出现的边，称之为简单道路或简单回路
    • 初级道路和初级回路：若其中结点也不重复，又称之为初级道路或初级回路
  • 长度：边的数目 \(q\) 称为道路（回路）的长度。
• 两点距离：若 \(G\) 的任意两结点 \(u,v\) 之间连通，则称 \(u,v\) 之间的最短道路为 短程线，该短程线的长度称为 \(u,v\) 之间的 距离，记作 \(d(u,v)\)。若 \(u,v\) 之间不连通，则 \(d(u,v)=\infty\)

图的连通性

• 连通图与非连通图：
  • 无向图：设 \(G\) 是无向图，若 \(G\) 的任意两结点之间都存在道路，就称 \(G\) 是连通图，否则称为非连通图
  • 有向图：如果 \(G\) 是有向图，不考虑其边的方向，即视为无向图，若它是连通的，则称 \(G\) 是连通图

• 极大连通子图/连通支：若连通子图 \(H\) 不是 \(G\) 的任何连通子图的真子图，则称 \(H\) 是 \(G\) 的极大连通子图或称连通支
  • 显然 \(G\) 的每个连通支都是它的导出子图
  • 任何非连通图都是 \(2\) 个以上连通支的并集
  • 设 \(G\) 是简单无向图，当 \(m>\frac{1}{2}(n−1)(n−2)\) 时 \(G\) 是连通图。
  • \(G=(V, E)\) 是连通图，则 \(m\ge n-1\)
• 强连通：在有向图 \(G\) 中，如果两个顶点 \(u\)，\(v\) 间有一条从 \(u\) 到 \(v\) 的有向路径，同时还有一条从 \(v\) 到 \(u\) 的有向路径，则称两个顶点强连通。
  • 强连通图：如果有向图 \(G\) 的每两个顶点都强连通，称 \(G\) 是一个强连通图。
  • 强连通分量：有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量。

弦

• 定义：设 \(C\) 是简单图 \(G\) 中含结点数大于 \(3\) 的一个初级回路，如果结点 \(v_{i}\) 和 \(v_{j}\) 在 \(\mathrm{C}\) 中不相邻，而边 \(\left(v_{i},v_{j}\right) \in \mathrm{E}(\mathrm{G})\)，则称 \(\left(v_{i},v_{j}\right)\) 是 \(\mathrm{C}\) 的一条 弦。
• 性质：
  • 若对于每一个 \(v_{k} \in \mathrm{V}(\mathrm{G})\)，都有 \(\mathrm{d}\left(v_{k}\right) \geq 3\)，则 \(\mathrm{G}\) 中必含带弦的回路。
  • 在简单图中，若 \(n\ge 4\) 且 \(m\ge 2n-3\)，则 \(G\) 中含有带弦的回路。

极长初级道路

• 定义：在简单图 \(\mathrm{G}=(\mathrm{V},\mathrm{E})\) 中，\(\mathrm{E} \neq \emptyset\)，设 \(P=\left(v_{0},v_{1},\cdots,v_{l}\right)\) 为 \(\mathrm{G}\) 中一条初级道路，若路径的始点和终点两个端点 \(v_{0}\) 和 \(v_{l}\) 不与初级道路本身结点集以外的任何结点相邻，这样的初级道路称为 极长初级道路。
• 性质：
  • 有向图中，初级道路始点的直接前驱集（内邻集），终点的直接后继集（外邻集），都在初级道路本身上。
  • 扩大初级道路法：任何一条初级道路，如果不是极长初级道路，则至少有一个端点与初级道路本身以外的结点相邻，则将该结点及其相关联的边扩到新的初级道路中来，得到更新的初级道路。继续上述过程，直到变成极长初级道路为止。
    • 由一条道路扩大的极长道路不一定唯一
    • 极长初级道路不一定是图中的最长初级道路

二分图

• 定义：\(\mathrm{G}=(\mathrm{V},\mathrm{E})\) 是无向图，如果 \(\mathrm{V}(\mathrm{G})\) 可以划分为子集 \(X\) 和 \(Y\)，使得所有 \(e=(u,v) \in E(G)\)，\(u\) 和 \(v\) 分属于 \(\mathrm{X}\) 和 \(\mathrm{Y}\)，则称 \(\mathrm{G}\) 为二分图。
• 性质：
  • 二分图的子集 \(X\)，\(Y\) 可能不唯一。
  • 如果二分图 \(G\) 中存在回路，则它们是由偶数条边组成的。
  • 含 \(K_{3}\) 子图的图一定不是二分图
  • \(K_{n}\) 不是二分图（\(n \geq 3\)）
  • 如果二分图 \(G\) 中存在回路，则它们都是由偶数条边组成的。
• 完全二分图/完全偶图：\(\mathrm{G}=(\mathrm{V},\mathrm{E})\) 是二分图，\(\mathrm{V}(\mathrm{G})\) 划分为子集 \(X\) 和 \(Y\)，\(X\) 中任一结点与 \(Y\) 中每一个结点有且只有唯一一条边相连，则称 \(G\) 为完全二分图（完全偶图），记作 \(\boldsymbol{K}_{m,n}\)，\(m=|X|\)，\(n=|Y|\)。

补图

• 定义： 设 \(G=(V,E)\) 是一个简单图，则 \(G\) 的补图 \(\bar{G}\) 是一个简单图，其结点集 \(V(\bar{G})=V(G)=V\)，边集为 \(E(\bar{G})= \left\{\left(v_{i},v_{j}\right) \mid v_{i},v_{j} \in V, \left(v_{i},v_{j}\right) \notin E\right\}\)。

割点和割边

• 割点：\(G\) 图中，一结点 \(u\)，\(G\) 减去 \(u\) 后，图的连通分支数上升，则称 \(u\) 为图 \(G\) 的割点。
• 割边：\(G\) 图中，一边 \(e\)，\(G\) 减去 \(e\) 后，图的连通分支数上升，则称 \(e\) 为图 \(G\) 的割边/桥。

欧拉道路与回路

定义与性质

• 定义：
  • 欧拉回路/道路：无向连通图 \(G=(V,E)\) 中的一条经过所有边的简单回路（道路）称为 \(G\) 的欧拉回路（道路）。
  • 欧拉图：具有欧拉回路的图称为欧拉图。
• 性质：
  • 无向连通图 \(G\) 存在欧拉回路的充要条件是 \(G\) 中各结点的度都是偶数。
  • 若无向连通图 \(G\) 中只有 \(2\) 个度为奇的结点，则 \(G\) 存在欧拉道路。
  • 若有向连通图 \(G\) 中各结点的正、负度相等，则 \(G\) 存在有向欧拉回路。
  • \(K_{n, m}\) 中含有欧拉道路当且仅当 \(n, m\) 均为偶数。
  • 设连通图 \(G=(V,E)\) 有 \(k\) 个度为奇数的结点，则 \(E(G)\) 可以划分为 \(k/2\) 条简单道路。

判定（仅针对无向图）

• 如果图 \(G\) 每个结点的度都是偶数，则 \(G\) 存在欧拉回路。
• 如果图 \(G\) 有且仅有两个结点的度为奇数，则 \(G\) 存在欧拉道路，且这两个结点是欧拉道路的起点和终点。
• 其他情况下，\(G\) 不存在欧拉道路或回路，但是奇数点数为 \(k\) 的图 \(G\) 中，存在 \(k/2\) 条简单道路。

哈密顿道路与回路

定义与性质

• 定义：
  • 哈密顿回路/道路：无向图的一条过全部结点的初级回路（道路）称为 \(G\) 的哈密顿回路（道路），简记为 \(H\) 回路（道路）。
  • 哈密顿图：具有哈密顿回路的图也称为哈密顿图。
• 性质：
  • 哈密顿通路是经过所有结点中长度最短的通路
  • 哈密顿回路是经过所有结点中长度最短的回路

判定

• 哈密顿回路是初级回路，是特殊的简单回路，所以如果 \(G\) 中含有重边或自环，删去它们后得到的简单图 \(G'\)，那么 \(G\) 和 \(G'\) 关于 \(H\) 回路（道路）的存在性是等价的。因此，判定 \(H\) 回路存在性问题一般是针对简单图的。

充分性定理

• 引理：设 \(P=(v_1, v_2, \cdots, v_l)\) 是图 \(G\) 中一条极长的初级道路(即 \(v_1\) 和 \(v_l\) 的邻点都在 \(P\) 上)而且 \(d(v_1)+d(v_l)≥l\)，则 \(G\) 中一定存在经过结点 \(v_1, v_2, \cdots, v_l\) 的初级回路。
  1. 充分性定理 1：如果简单图 \(G\) 的任意两结点 \(v_{i},v_{j}\) 之间恒有 \(d\left(v_{i}\right)+d\left(v_{j}\right) \geqslant n-1\)，则 \(G\) 中存在哈密顿道路。
  2. 充分性定理 1 推论：若简单图 \(G\) 的任意两结点 \(v_{i}\) 和 \(v_{j}\) 之间恒有 \(d\left(v_{i}\right)+d\left(v_{j}\right) \geqslant n\)，则 \(G\) 中存在哈密顿回路。
  3. 充分性定理 1 推论：若简单图 \(G\) 每个结点的度都大于等于 \(\frac{n}{2}\)，则 \(G\) 有 \(H\) 回路。
• 引理：若 \(v_{i}\) 和 \(v_{j}\) 是简单图 \(G\) 的不相邻结点，且满足 \(d(v_{i})+d(v_{j})≥n\)，则令 \(G' =G+(v_{i}, v_{j})\)。对 \(G'\) 重复上述过程，直至不再有这样的结点对为止。最终得到的图为 \(G\) 的闭合图，记作 \(C(G)\)。则简单图 \(G\) 的闭合图 \(C(G)\) 是唯一的
  1. 充分性定理 2：设 \(G\) 是简单图，\(v_{i},v_{j}\) 是不相邻结点，且满足 \(d\left(v_{i}\right)+d\left(v_{j}\right) \geqslant n_{\circ}\) 则 \(G\) 存在 \(H\) 回路的充要条件是 \(G+\left(v_{i},v_{j}\right)\) 有 \(H\) 回路。
  2. 充要条件：简单图 \(G\) 存在哈密顿回路的充要条件是其闭合图存在哈密顿回路。
  3. 充要条件推论：设 \(G(n \geqslant 3)\) 是简单图 \(K_{n}\)，若 \(C(G)\) 是完全图，则 \(G\) 有 \(H\) 回路。

必要性定理

• 必要性定理 1：如无向图 \(G=(V,E)\) 是 \(H\) 图，\(V_{1}\) 是 \(V\) 的任意非空子集，则 \(p\left(G-V_{1}\right) \leq\left|V_{1}\right|\)，其中 \(p\left(G-V_{1}\right)\) 是从 \(\mathrm{G}\) 中删除 \(V_{1}\) 后的连通支的数目。
• 必要性定理 2：如无向图 \(G=(V,E)\) 存在 \(\mathrm{H}\) 道路，\(V_{1}\) 是 \(V\) 的任意非空子集，则 \(p\left(G-V_{1}\right) \leq\left|V_{1}\right|+1\)。
• 必要性定理推论：
  • 有割点的图一定不是 \(H\) 图
  • 如无向图 \(G=(V,E)\) 是二分图，
    • 两边结点数不相同，则 \(G\) 不存在 \(H\) 回路
    • 两边结点数不相同也不相差 \(1\)，则 \(G\) 不存在 \(H\) 道路
  • \(K_{n, m}\) 中含有哈密顿道路当且仅当 \(|n-m| \leq 1\)
  • \(K_{n, m}\) 中含有哈密顿回路当且仅当 \(n=m\)