第十一章 函数¶
函数和选择公理¶
函数定义¶
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定义：对集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的关系 \(f\)，若满足下列条件：
- 单值性：对任意的 \(x \in \operatorname{dom}(f)\)，存在唯一的 \(y \in \operatorname{ran}(f)\)，使 \(x f y\) 成立
- 定义域：\(\operatorname{dom}(f)=A\)
则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的 函数 ，或称 \(f\) 把 \(A\) 映射到 \(B\)
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一个从 \(A\) 到 \(B\) 的函数 \(f\)，可以写成 \(f:A \rightarrow B\)，这时若 \(x f y\)，则可记作 \(f:x \mid \rightarrow y\) 或 \(f(x) =y\)
- 函数的两个条件可以写成：
- \((\forall x)\left(\forall y_{1}\right)\left(\forall y_{2}\right)\left(\left(x f y_{1} \wedge x f y_{2}\right) \rightarrow y_{1}=y_{2}\right)\)
- \((\forall x)(x \in A \rightarrow(\exists y)(y \in B \wedge x f y))\)
- 如果一个关系是函数，则它的关系矩阵中每行恰好有一个 \(1\)，其余为 \(0\)，它的关系图中每个 \(A\) 中的顶点恰好发出一条有向边
特殊函数¶
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象：
- 对集合 \(A\) 和 \(B\)，从 \(A\) 到 \(B\) 的所有函数的集合记为 \(A_{B}\) 于是，\(A_{B}=\{f \mid f:A \rightarrow B\}\)
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象的定义：设 \(f:A \rightarrow B\)，\(A_{1} \subseteq A\)，定义 \(A_{1}\) 在 \(f\) 下的象 \(f\left[A_{1}\right]\) 为
\[ f\left[A_{1}\right]=\left\{y \mid(\exists x)\left(x \in A_{1} \wedge y=f(x)\right)\right\} \] -
完全原象：设 \(B_{1} \subseteq B\)，定义 \(B_{1}\) 在 \(f\) 下的 完全原象 \(f^{-1}\left[B_{1}\right]\) 为
\[ f^{-1}\left[B_{1}\right]=\left\{x \mid x \in A \wedge f(x) \in B_{1}\right\} \] -
单射双射满射
- 对于函数 \(f:A\rightarrow B\)，
- 满射：\(\operatorname{ran}(f)=B\)，则称 \(f\) 是满射的，或称 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 上的
- 如果 \(f:A \rightarrow B\) 是满射的，则对任意的 \(y \in B\)，存在 \(x \in A\)，使 \(f(x)=y\)
- 单射：若对任意的 \(x_{1},x_{2} \in A,x_{1} \neq x_{2}\)，都有 \(f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\)，则称 \(f\) 是单射的，或内射的，或一对一的
- 如果 \(f:A \rightarrow B\) 是单射的，则对任意的 \(y \in \operatorname{ran}(f)\)，存在唯一的 \(x \in A\)，使 \(f(x)=y\)
- 双射：若 \(f\) 是满射的又是单射的，则称 \(f\) 是 双射 的
- 满射：\(\operatorname{ran}(f)=B\)，则称 \(f\) 是满射的，或称 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 上的
- 特别地，\(\emptyset:\emptyset \rightarrow B\) 是单射的，\(\emptyset:\emptyset \rightarrow \emptyset\) 是双射的
- 对于函数 \(f:A\rightarrow B\)，
常用函数¶
- 常函数：设 \(f:A \rightarrow B\)，如果存在一个 \(y \in B\)，使得对所有的 \(x \in A\)，有 \(f(x)=y\)，即有 \(f[A]=\{y\}\)，则称 \(f:A \rightarrow B\) 为常函数。
- 恒等函数：\(A\) 上的恒等关系 \(I_{A}:A \rightarrow A\) 称为恒等函数。对任意的 \(x \in A\)，有 \(I_{A}(x)=x\)。
- 单调递增/减函数：
- 对实数集 \(\mathbb{R}\)，设 \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)，如果 \((x \leqslant y) \rightarrow(f(x) \leqslant f(y))\)，则称 \(f\) 为 单调递增 的
- 如果 \((x<y) \rightarrow(f(x)<f(y))\)，则称 \(f\) 为 严格单调递增 的
- 类似可定义单调递减和严格单调递减的函数
- \(n\) 元运算：对集合 \(A\)，\(n \in \mathbb{N}\)，把函数 \(f:A^{n} \rightarrow A\) 称为 \(A\) 上的 \(n\) 元运算
- 泛函：设 \(A,B,C\) 是集合，\(B_{C}\) 为从 \(B\) 到 \(C\) 的所有函数的集合，则 \(F:A \rightarrow B_{C}\) 称为一个 泛函 （有时 \(G:B_{C} \rightarrow A\) 称为一个泛函）
- 泛函 \(F\) 也是函数，它把 \(A\) 的元素 \(a\) 映射到从 \(B\) 到 \(C\) 的函数 \(f : B \rightarrow C\)。即函数值 \(F(a)\) 是函数 \(f : B \rightarrow C\)。
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特征函数：设 \(E\) 是全集，对任意的 \(A \subseteq E\)，\(A\) 的特征函数 \(\chi_{A}\) 定义为：
\[ \chi_{A}:E \rightarrow\{0,1\},\chi_{A}(a)=\left\{\begin{array}{ll} 1,& a \in A \\ 0,& a \notin A \end{array}\right. \] -
自然映射：设 \(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，令 \(g:A \rightarrow A / R\)，\(g(a)=[a]_{R}\)，则称 \(g\) 为从 \(A\) 到商集 \(A / R\) 的 典型映射 或 自然映射
选择公理¶
- 选择公理：对任意的关系 \(R\)，存在函数 \(f\)，使得 \(f \subseteq R\) 且 \(\operatorname{dom}(f)=\operatorname{dom}(R)\)
函数的合成和函数的逆¶
函数的合成¶
- 设 \(g:A \rightarrow B\)，\(f:B \rightarrow C\)，则
- \(f \circ g\) 是函数 \(f \circ g:A \rightarrow C\)
- 对任意的 \(x \in A\)，有 \((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
- 设 \(g:A \rightarrow B\)，\(f:B \rightarrow C\)，则
- 若 \(f,g\) 是满射的，则 \(f \circ g\) 是满射的
- 若 \(f,g\) 是单射的，则 \(f \circ g\) 是单射的
- 若 \(f,g\) 是双射的，则 \(f \circ g\) 是双射的
- 设 \(g:A \rightarrow B\)，\(f:B \rightarrow C\)，则
- 若 \(f \circ g\) 是满射的，则 \(f\) 是满射的
- 若 \(f \circ g\) 是单射的，则 \(g\) 是单射的
- 若 \(f \circ g\) 是双射的，则 \(f\) 是满射的，\(g\) 是单射的
- 设 \(f:A \rightarrow B\)，则
- \(f=f \circ I_{A}=I_{B} \circ f\)
函数的逆¶
- 一个关系的逆不一定是函数，一个函数的逆也不一定是函数
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逆函数：若 \(f:A \rightarrow B\) 是双射的，则 \(f^{-1}\) 是函数 \(f^{-1}:B \rightarrow A\)
\[ \begin{aligned} \left(f^{-1}\right)^{-1}&=f \\ f^{-1} \circ f&=E_{A} \\ f \circ f^{-1}&=E_{B} \end{aligned} \] -
两个可逆函数 \(f,g\) 的合成：\((g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}\)
- 反函数：设 \(f:A \rightarrow B\) 是双射的，则称 \(f^{-1}:B \rightarrow A\) 为 \(f\) 的反函数
- 若 \(f:A \rightarrow B\) 是双射的，则 \(f^{-1}:B \rightarrow A\) 是双射的
- 若 \(f:A \rightarrow B\) 是双射的，则对任意的 \(x \in A\)，有 \(f^{-1}(f(x))=x\)，对任意的 \(y\in B\)，有 \(f\left(f^{-1}(y)\right)=y\)
- 左/右逆：设 \(f:A \rightarrow B\)，\(g:B \rightarrow A\)，
- 如果 \(g \circ f=I_{A}\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的左逆
- 如果 \(f \circ g=I_{B}\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的右逆
- 设 \(f:A \rightarrow B\)，\(A \neq \emptyset\)，则
- \(f\) 存在左逆，当且仅当 \(f\) 是单射的
- \(f\) 存在右逆，当且仅当 \(f\) 是满射的
- \(f\) 存在左逆又存在右逆，当且仅当 \(f\) 是双射的
- 若 \(f\) 是双射的，则 \(f\) 的左逆等于右逆