Ch9 计算机算术¶
整数：2 的补码法¶
- \(N\) bit 整数，最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。
- 正数：最高位为 0，剩下 \(N-1\) 位为二进制。
- 负数：先写出对应正数，然后对 \(N\) 位全部按位取反，再将其视作无符号数 \(+1\)。
- 表示范围：\(N\) bit 能表示：\([-2^{N-1},2^{N-1}-1]\) 范围内的整数。
- 符号填充：符号位移到新最高位，空余的，对正数填全 0，对负数填全 1。
整数的加减法¶
- 用加法实现减法
- 溢出规则：两个数相加，若他们同为正或同为负，当且仅当结果符号相反时发生上溢。
无符号乘法¶
- \(M\times Q=AQ\)，\(M\) 为被乘数，\(Q\) 为乘数，\(AQ\) 为结果，由寄存器 \(A\) 和寄存器 \(Q\) 拼接而成。
- 每个循环，若 \(Q\) 最低位为 1，则将 \(M\) 加在 \(A\) 上；若为 0，则不相加。
- 然后将 \(AQ\) 整体右移一位，\(Q\) 最低位舍弃，\(A\) 最高位为相加的溢出位。
- \(Q\) 有几位，就执行几个循环。
有符号乘法：Booth 算法¶
- \(Q_0Q_{-1}=10\)，则 \(A=A-M\)（记忆：最高位为 1，负数，减），然后 shift
- \(Q_0Q_{-1}=01\)，则 \(A=A+M\)（记忆：最高位为 0，正数，加），溢出位舍去，然后 shift
- \(Q_0Q_{-1}=00\) 或 \(11\)，则直接 shift
- Shift 将 \(Q_{-1}\) 舍去，\(Q_0\) 位移到 \(Q_{-1}\)，新最高位和原最高位相同。
- \(Q\) 有几位，循环几个周期。最终结果为 \(AQ\) 相拼接，不算 \(Q_{-1}\)！
浮点数表示¶
以 32bit 为例：
- 1bit 符号位 \(m\) + 8bit 指数 \(E\)（移码表示）+ 23bit 有效数 \(B\)
- 移码表示：\(N\) bit 二进制，按照无符号数理解，得到在 \(0~2^N-1\) 之间的整数，再减去一个固定的偏阶（为 \(2^{N-1}-1\)），得到真正的指数，范围为 \(-2^{N-1}+1~2^{N-1}\)
- 8bit 范围为-127~+128
- 移码表示：\(N\) bit 二进制，按照无符号数理解，得到在 \(0~2^N-1\) 之间的整数，再减去一个固定的偏阶（为 \(2^{N-1}-1\)），得到真正的指数，范围为 \(-2^{N-1}+1~2^{N-1}\)
- 规格化数：有效数的最高位一定为 1，且不实际存储到内存中。因此，23bit 有效数 \(B\) 实际表示 24bit，表示一个二进制小数：1.B
- 综上，浮点数被表示为：\((-1)^m×1.B×2^{E-2^{N-1}+1}\)
- 范围：
- 以 32bit 为例：正数在 \(2^{-127}~(2-2^{-23})×2^{128}\)，负数在 \(-(2-2^{-23})×2^{128}~-2^{-127}\)
- 因此有正上溢、正下溢、负上溢、负下溢
IEEE754 的一些特殊表示:¶
- 当 \(E=0\) 且 \(M=0\) 时,表示 0。
- 当 \(E=0\) 且 \(M≠0\) 时,表示非规格化数(下溢数)。
- 当 \(E=255\) 且 \(M=0\) 时,表示∞。
- 当 \(E=255\) 且 \(M≠0\) 时, 表示 NAN。
浮点数加减法：¶
- 零检查
- 若是减法运算，则改变减数符号并改为加法运算。若某个操作数为 0，则另一个操作数直接作为结果。否则，将存储的 23bit 有效数扩充成 24bit 实际有效数。
- 对齐
- 若两数指数不相等，则增加较小的指数，并右移其有效位数。若此过程中出现有效位数为 0，则另一个数直接作为结果。
- 有效数相加
- 即 1.B 相加。若产生上溢，则右移有效位数并增加指数。若此操作产生了指数上溢，报错。
- 规格化
- 若加法结果最高位不为 1，则左移有效位数并减小指数。若此操作产生了指数下溢，报错。
注：有效数右移时可以在右边增加保护位以确保精度。
浮点数乘法¶
- 预处理
- 零检查：若有一个操作数为 \(0\)，则另一个操作数直接作为结果。
- 符号位计算：\(m = m_1 \oplus m_2\)，即两个操作数的符号位进行异或运算。
- 规格化
- 指数相加
- \(E = E_1 + E_2 - 127\)，即两个操作数的指数相加后减去偏阶。
- 有效数相乘
- \(B = B_1 \times B_2\)，即两个操作数的有效数相乘。
- 规格化
- 若乘法结果的有效数最高位不为 \(1\)，则左移有效位数并减小指数。若此操作产生了指数下溢，报错。
- 若乘法结果的有效数最高位为 \(1\)，则直接将结果存储为 \(1.B\) 的形式。
浮点数除法¶
- 零检查
- 指数相减
- \(E = E_1 - E_2 + 127\)，即被除数的指数减去除数的指数后加上偏阶。
- 判断溢出
- 有效数相除
- 规格化