第五章 矩阵的相似对角化

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5.1 矩阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念

• 特征值与特征向量：设 \(\boldsymbol{A}\) 为数域 \(F\) 上的一个 \(n\) 阶方阵，\(\lambda\in F\)，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(F\) 上的 \(n\) 维非零列向量。若

  \[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha} \]

  则称 \(\lambda\) 为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的一个 特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于特征值 \(\lambda\) 的 特征向量。

  • 性质：移项有

    \[ (\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} \]
    • 因此，若 \(\lambda\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为对应于 \(\lambda\) 的特征向量，则 \(\boldsymbol{\alpha}\) 为齐次线性方程组 \((\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{X} = 0\) 的非零解向量
    • 反之，若存在某个数 \(\lambda\) 使得齐次线性方程组 \((\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{X} = 0\) 有非零解，则 \(\lambda\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值，方程组的任意一个非零解向量均为 \(\lambda\) 对应的特征向量
      • 推论：
    • \(\lambda\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值的充分必要条件为 \(|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0\)
    • 若 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 是对应于某个特征值 \(\lambda_0\) 的任意 \(s\) 个特征向量，则它们的任一非零线性组合 \(\sum_{i=1}^{s} k_i \boldsymbol{\alpha}_i\) 也是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于 \(\lambda_0\) 的特征向量
    • 特征子空间：矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 对应于某个特征值 \(\lambda_0\) 的全体特征向量连同零向量一起组成 \(n\) 维向量空间 \(F^n\) 的一个子空间，它是齐次线性方程组 \((\lambda_0\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}\) 的解空间，称之为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于特征值 \(\lambda_0\) 的 特征子空间，记为 \(V_{\lambda_0}\)
      • 几何重数：特征子空间 \(V_{\lambda_{0}}\) 的维数称为特征值 \(\lambda_{0}\) 的几何重数。
    • 特征多项式与特征方程：设数域 \(F\) 上的 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\)，称
  \[ f(\lambda)=|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{vmatrix} \]

  为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 特征多项式，\(|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0\) 叫作 \(\boldsymbol{A}\) 的 特征方程。

• 特征根：由 \(n\) 阶行列式的定义可知，特征多项式的展开式 \(f(\lambda)\) 为 \(\lambda\) 的 \(n\) 次多项式，在复数域内恰有 \(n\) 个根（重根按重数计算），所以 \(n\) 阶方阵在复数域内必有 \(n\) 个特征值（重根按重数计算）。

  \[ \begin{aligned} f(\lambda)&=\lambda^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}|\boldsymbol{A}| \\ &=(\lambda-\lambda_{1})^{n_{1}}(\lambda-\lambda_{2})^{n_{2}}\cdots(\lambda-\lambda_{s})^{n_{s}} \end{aligned} \]

  其中 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\in\mathbb{C}\) 两两不同，\(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{s}=n\)。

  • 代数重数：称特征值 \(\lambda_{i}\) 为此特征多项式的 \(n_{i}\) 重根，\(n_{i}\) 叫作 \(\lambda_{i}\) 的 代数重数。
  • 特别地，代数重数为 1 的特征值也称为单特征值或特征多项式的 单根。

特征值与特征向量的求法

• 特征值与特征向量的求法：给定一个 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\)，可按如下步骤求它的特征值与特征向量：

  1. 计算 \(\boldsymbol{A}\) 的特征多项式 \(f(\lambda)=|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|\)，并求特征方程 \(f(\lambda)=0\) 的所有根，即为 \(\boldsymbol{A}\) 的所有特征值。设解得 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(s\) 个不同特征值 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)

  2. 对每一个特征值 \(\lambda_{i}\)（\(i=1,2,\cdots,s\)），求出齐次线性方程组

     \[ (\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{X}=\boldsymbol{0} \]

     的一个基础解系 \(\boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{ir_{i}}\)，此基础解系的所有非零线性组合 \(\sum_{j=1}^{r_{i}}k_{ij}\boldsymbol{\alpha}_{ij}\)（\(k_{ij}\) 不全为零）即为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于 \(\lambda_{i}\) 的全部特征向量。

• 说明：

  1. 对角矩阵 的特征值就是对角线上的所有元素，同阶的单位矩阵的列向量可分别看作是它们所对应的一个特征向量
  2. 行和相等的方阵，这个行和一定是它的一个特征值，而分量均为 1 的列向量必为这个特征值所对应的一个特征向量

特征值与特征向量的性质

1. 设 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\) 为 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\) 的 \(n\) 个特征值，则

   \[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}) \\ \prod_{j=1}^{n}\lambda_{j}=|\boldsymbol{A}| \]

2. 方阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\) 有相同的特征多项式及相同的特征值。

   \[ |\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}|=|(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}|=|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| \]

3. 设 \(\lambda\) 为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于 \(\lambda\) 的特征向量，则

   1. \(k\lambda\) 是 \(k\boldsymbol{A}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 也为 \(k\boldsymbol{A}\) 的对应于特征值 \(k\lambda\) 的特征向量，其中 \(k\) 为任意常数
   2. \(\lambda^{m}\) 是 \(\boldsymbol{A}^{m}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 也为 \(\boldsymbol{A}^{m}\) 的对应于特征值 \(\lambda^{m}\) 的特征向量，其中 \(m\) 为任意正整数

   3. \(g(\lambda)\) 是 \(g(\boldsymbol{A})\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 也为 \(g(\boldsymbol{A})\) 的对应于特征值 \(g(\lambda)\) 的特征向量，其中 \(g(x)\) 为数域 \(F\) 上的多项式，\(m\) 为正整数

      \[ g(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} \]

4. \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充分必要条件为 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(n\) 个特征值全不为零。

5. 设 \(\lambda\) 为可逆矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于 \(\lambda\) 的特征向量，则
   1. \(\frac{1}{\lambda}\) 为其逆矩阵 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 的特征值，且 \(\boldsymbol{\alpha}\) 是 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 的对应于特征值 \(\frac{1}{\lambda}\) 的特征向量
   2. \(\frac{1}{\lambda}\cdot|\boldsymbol{A}|\) 为其伴随矩阵 \(\boldsymbol{A}^{*}\) 的特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 也是 \(\boldsymbol{A}^{*}\) 的对应于特征值 \(\frac{1}{\lambda}\cdot|\boldsymbol{A}|\) 的特征向量。
6. 设 \(\lambda_{0}\) 是方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的一个特征值，它的几何重数（维数）和代数重数（特征根的重数）分别为 \(r\) 和 \(k\)。则 \(r\leqslant k\)。
   • 设 \(\lambda_{0}\) 为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的一个单特征值，则 \(\boldsymbol{A}\) 的对应于 \(\lambda_{0}\) 的线性无关的特征向量有且仅有一个。
7. 设 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\) 为 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(s\) 个不同特征值，\(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 分别是对应它们的特征向量，则 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 线性无关。

   • 设 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\) 为 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(s\) 个不同特征值，\(\boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{ir_{i}}\) 为对应于特征值 \(\lambda_{i}\) 的 \(r_{i}\) 个线性无关的特征向量，\(1\leqslant i\leqslant s\)。则向量组

     \[ \boldsymbol{\alpha}_{11},\boldsymbol{\alpha}_{12},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{1r_{1}};\boldsymbol{\alpha}_{21},\boldsymbol{\alpha}_{22},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{2r_{2}};\cdots;\boldsymbol{\alpha}_{s1},\boldsymbol{\alpha}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{sr_{s}} \]

     线性无关。

5.2 相似矩阵和矩阵的对角化

相似矩阵

• 相似矩阵：设 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 都是数域 \(F\) 上的 \(n\) 阶方阵，若存在 \(F\) 上的 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 使得

  \[ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} \]

  则称方阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相似，记作 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\)。

• 相似矩阵的性质:

  1. 方阵的相似关系是一种 等价关系：
     1. 反身性：设 \(\boldsymbol{A}\in F^{n\times n}\)，则 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{A}\)
     2. 对称性：设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in F^{n\times n}\)，若 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\)，则 \(\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{A}\)
     3. 传递性：设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\in F^{n\times n}\)，若 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\) 且 \(\boldsymbol{B}\sim\boldsymbol{C}\)，则 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{C}\)
  2. 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值、相同的行列式和相同的迹。
  3. 设 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\)，且 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，则 \(\boldsymbol{B}\) 可逆，且 \(\boldsymbol{A}^{-1}\sim\boldsymbol{B}^{-1}\)。

  4. 设 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\)，则

     1. \(k\boldsymbol{A}\sim k\boldsymbol{B}\)，\(k\in F\)
     2. \(\boldsymbol{A}^{m}\sim\boldsymbol{B}^{m}\)，其中 \(m\) 是任意正整数

     3. \(g(\boldsymbol{A})\sim g(\boldsymbol{B})\)，其中 \(g(x)\) 为数域 \(F\) 上的 \(m\) 次多项式，\(m\) 为非负整数。

        \[ g(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} \]

  5. 设 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 为数域 \(F\) 上的分块对角阵，其中 \(\boldsymbol{A}_{i}\) 与 \(\boldsymbol{B}_{i}\) 都是 \(n_{i}\) 阶方阵

     \[ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{1}&&&\\ &\boldsymbol{A}_{2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\boldsymbol{A}_{t}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{B}_{1}&&&\\ &\boldsymbol{B}_{2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\boldsymbol{B}_{t}\end{pmatrix} \]

     若对所有的 \(i\)，\(1\leqslant i\leqslant t\)，\(\boldsymbol{A}_{i}\sim\boldsymbol{B}_{i}\)，则 \(\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}\)。

  6. 设 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\) 为复数域 \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 阶方阵，则存在复数域 \(\mathbb{C}\) 上的上三角矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 与矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 相似。

矩阵相似对角阵

• 可对角化：设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶方阵，若 \(\boldsymbol{A}\) 相似于对角阵，即若存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 使得

  \[ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda} \]

  其中 \(\boldsymbol{\Lambda}\) 为 \(n\) 阶对角阵，则称 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化。

• 可对角化条件：设 \(\boldsymbol{A}\) 为复数域 \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 阶方阵，则 \(\boldsymbol{A}\) 相似于对角阵的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。

  • 若 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(n\) 个不同的特征值，则 \(\boldsymbol{A}\) 必可对角化。（充分条件）

  • 设 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(s\) 个不同的特征值 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)。对 \(1\leqslant i\leqslant s\)，\(\lambda_{i}\) 的代数重数与几何重数分别为 \(n_{i}\) 与 \(m_{i}\)，则方阵 \(\boldsymbol{A}\) 相似于对角阵的充分必要条件为

    \[ m_{i}=n_{i},\quad i=1,2,\cdots,s. \]

• 判断及求解方法：判断一个方阵 \(\boldsymbol{A}_{n}\) 是否相似于对角阵，及求使得 \(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\) 为对角阵的可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 的一般步骤为：

  1. 求出方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的所有特征值 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)，它们的代数重数分别为 \(n_{1},n_{2},\cdots,n_{s}\)，\(\sum\limits_{i=1}^{s}n_{i}=n\)

  2. 对每个特征值 \(\lambda_{i}\)，计算 \(r(\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\)，若下式成立，则 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化，否则不能对角化

     \[ r(\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=n-n_{i},\quad i=1,2,\cdots,s \]

  3. 在可对角化的情况下，对每个特征值 \(\lambda_{i}\)，求出齐次线性方程组 \((\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的基础解系

     \[ \boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_{i}},\quad i=1,2,\cdots,s \]

  4. 令

     \[ \boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_{11},\boldsymbol{\alpha}_{12},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{1n_{1}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s1},\boldsymbol{\alpha}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{sn_{s}}) \]

     则 \(\boldsymbol{P}\) 可逆，且有

     \[ \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{1}}_{n_{1}\text{个}},\underbrace{\lambda_{2},\cdots,\lambda_{2}}_{n_{2}\text{个}},\cdots,\underbrace{\lambda_{s},\cdots,\lambda_{s}}_{n_{s}\text{个}}) \]

5.3 实对称矩阵的相似对角化

实对称矩阵的特征值与特征向量

• 一般性质：见上文
• 特殊性质：
  1. 实对称矩阵的特征值全是实数。
  2. 实对称矩阵的属于不同特征值的实特征向量正交。

实对称矩阵正交相似对角阵

• 定理：设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，则存在 \(n\) 阶正交矩阵 \(\boldsymbol{Q}\)，使得

  \[ \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}, \]

  其中

  \[ \boldsymbol{\Lambda}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&&\\ &\lambda_{2}&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_{n}\end{pmatrix},\quad \lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\text{ 为 }\boldsymbol{A}\text{ 的特征值}. \]
  • \(n\) 阶实对称矩阵必有 \(n\) 个线性无关的特征向量。
  • \(n\) 阶实对称矩阵的每个特征值的几何重数必等于它的代数重数。
  • 求实对称矩阵正交相似对角阵的方法：对任意实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\)，找出正交矩阵 \(\boldsymbol{Q}\) 使得 \(\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}\)（对角阵）的方法如下：
  • 求出实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)，它们的代数重数分别为 \(n_{1},n_{2},\cdots,n_{s}\)，\(\sum_{i=1}^{s}n_{i}=n\)

  • 对每个特征值 \(\lambda_{i}\)，求出齐次线性方程组 \((\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的基础解系

    \[ \boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_{i}},\quad i=1,2,\cdots,s \]

  • 对 \(\boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_{i}}\) 正交化、单位化得 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{i1},\boldsymbol{\varepsilon}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{in_{i}}\)，即得到两两正交的单位特征向量

    \[ \boldsymbol{\varepsilon}_{11},\boldsymbol{\varepsilon}_{12},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{1n_{1}},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{s1},\boldsymbol{\varepsilon}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{sn_{s}} \]

  • 令

    \[ \boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{\varepsilon}_{11},\boldsymbol{\varepsilon}_{12},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{1n_{1}},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{s1},\boldsymbol{\varepsilon}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{sn_{s}}) \]

    则 \(\boldsymbol{Q}\) 为正交矩阵，且有

    \[ \boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}=\mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{1}}_{n_{1}\text{个}},\underbrace{\lambda_{2},\cdots,\lambda_{2}}_{n_{2}\text{个}},\cdots,\underbrace{\lambda_{s},\cdots,\lambda_{s}}_{n_{s}\text{个}}) \]