第八章假设检验¶

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假设检验¶

参数假设检验的基本步骤¶

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，一般来说 $F(x)$ 完全或部分末知，又设 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 为总体 $X$ 的一个简单随机样本，相应的样本观测值为 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$

把实际问题转换为假设检验问题，提出 原假设 $H_{0}$ 和 备择假设 $H_{1}$（通常把研究者要证明的假设作为 备择假设 ；将所作出的声明/现状/不能轻易否定的假设作为 原假设 ）
在 $H_{0}$ 成立的条件下，构造适当的 检验统计量 ，例如 $U=g\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right)$，要求 $U$ 的分布完全已知（不含末知参数）
给定一个很小的 $\alpha$（称为 显著性水平 ），由 $U$ 构造拒绝域 $\mathscr{W}$，使得当 $H_{0}$ 成立时，

\[ P\left(\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right) \in \mathscr{W}\right) \leqslant \alpha \]

即构造一个小概率事件“$\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right) \in \mathscr{W}$”
代入样本数据，计算检验统计量 $U$ 的观测值 $\hat{U}=g\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)$，由此判断 $\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right)$ 是否落在 $\mathscr{W}$ 中，从而做出决策，即
- 若 $\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right) \in \mathscr{W}$，则拒绝 $H_{0}$
- 若 $\left(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\right) \notin \mathscr{W}$，则接受 $H_{0}$

决策错误¶

第一类错误¶

如果原假设 $H_0$ 为真，由于样本的随机性，恰巧使所构造的小概率事件发生了，根据上述方法做出拒绝 $H_0$ 的决策，此时就犯了错误，称这类错误为 第Ⅰ类错误（又称为 “弃真”错误）

犯第Ⅰ类错误的概率为

\[ P\left(\text{拒绝} H_{0} \mid H_{0} \text{为真}\right) \leqslant \alpha \]
犯第Ⅰ类错误的概率不会超过显著性水平 $\alpha$，$\alpha$ 越小，犯第 Ⅰ 类错误的概率就越小
- 当 $\alpha = 0.05$ 时，拒绝 $H_0$ 称为是“显著”的
- 当 $\alpha = 0.01$ 时，拒绝 $H_0$ 称为是“高度显著”的

第二类错误¶

而如果 $H_0$ 实际上为假（即 $H_1$ 为真），但根据样本错误地接受了 $H_0$，此时也犯了错误，称这类错误为 第Ⅱ类错误（又称为 “存伪”错误）

犯第Ⅱ类错误的概率为

\[ P \left(\text{接受} H_{0} \mid H_{0} \text{为假}\right)=P \left(\text{接受} H_{0} \mid H_{1} \text{为真}\right)=\beta \]

两种情况¶

		所做判断
		接受 $H_0$	拒绝 $H_0$
实际情况	$H_0$ 为真	正确（$1-\alpha$）	犯第Ⅰ类错误（$\le \alpha$）
实际情况	$H_0$ 为假	犯第Ⅱ类错误（$\beta$）	正确（$1-\beta$）

p 检验法¶

在 $p$ 值检验法中，无须事先给出显著性水平，在原假设 $H_{0}$ 成立的基础上所构造的检验统计量 $U$ 以及拒绝域 $\mathscr{W}$ 都与经典方法相同

p 检验的基本步骤
- 首先算出检验统计量的观测值（把它记为 $u_{0}$），再计算事件 $|U|> \left|u_{0}\right|$ 的概率，假设 $P\left(|U|>\left|u_{0}\right|\right)=p$，这个 $p$ 值就等于拒绝原假设的概率
- 如果这个 $p$ 值很小，我们认为发生这个事件的可能性非常小，因而拒绝 $H_{0}$；如果这个概率不算太小，则接受原假设
p 值检验法和经典方法的关联：
- 假设设定了一个显著性水平 $\alpha$，此时如果 $p \leqslant \alpha$，则表明比 $\alpha$ 更小概率值的事件发生了，故拒绝 $H_{0}$；
- 反之，若 $p>\alpha$，则接受 $H_{0}$

单个正态总体参数的假设检¶

单个正态总体均值的假设检验¶

方差已知 (U 检验法)¶

检验统计量：

\[ U=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域 $\mathscr{W}$
$\mu=\mu_0$	$\mu\ne\mu_0$	$\mid U\mid\ge z_\frac{\alpha}{2}$
$\mu\ge\mu_0$	$\mu<\mu_0$	$U\le -z_\alpha$
$\mu\le\mu_0$	$\mu>\mu_0$	$U\ge z_\alpha$

方差未知¶

小样本 ($n<30$) 情况下，用 t 分布来检验总体均值，通常称为 t 检验，统计量

\[ T=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) \]

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域 $\mathscr{W}$
$\mu=\mu_0$	$\mu\ne\mu_0$	$\mid T\mid\ge t_\frac{\alpha}{2}(n-1)$
$\mu\ge\mu_0$	$\mu<\mu_0$	$T\le -t_\alpha(n-1)$
$\mu\le\mu_0$	$\mu>\mu_0$	$T\ge t_\alpha(n-1)$

单个正态总体方差的假设检验¶

均值已知¶

选取检验统计量

\[ \chi^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}{\sigma_{0}^{2}} \sim \chi^{2}(n) \]

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域 $\mathscr{W}$
$\sigma^2=\sigma_0^2$	$\sigma^2\ne\sigma_0^2$	$\chi^2\ge \chi_\frac{\alpha}{2}(n)$ 或 $\chi^2\le \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)$
$\sigma^2\ge\sigma_0^2$	$\sigma^2<\sigma_0^2$	$\chi^2\le \chi_{1-\alpha}(n)$
$\sigma^2\le\sigma_0^2$	$\sigma^2>\sigma_0^2$	$\chi^2\ge \chi_\alpha(n)$

均值未知¶

选取检验统计量

\[ \chi^{2}=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{\sigma_{0}^{2}} \sim \chi^{2}(n-1) \]

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域 $\mathscr{W}$
$\sigma^2=\sigma_0^2$	$\sigma^2\ne\sigma_0^2$	$\chi^2\ge \chi_\frac{\alpha}{2}(n-1)$ 或 $\chi^2\le \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$
$\sigma^2\ge\sigma_0^2$	$\sigma^2<\sigma_0^2$	$\chi^2\le \chi_{1-\alpha}(n-1)$
$\sigma^2\le\sigma_0^2$	$\sigma^2>\sigma_0^2$	$\chi^2\ge \chi_\alpha(n-1)$

随机事件概率 p 的假设检验¶

选取检验统计量

\[ U=\frac{\bar{X}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}\left(1-p_{0}\right) / n}} \stackrel{\text { 近似 }}{\sim} N(0,1) \]

原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	拒绝域 $\mathscr{W}$
$p=p_0$	$p\ne p_0$	$\mid U\mid\ge z_\frac{\alpha}{2}$
$p\ge p_0$	$p<p_0$	$U\le -z_\alpha$
$p\le p_0$	$p>p_0$	$U\ge z_\alpha$

原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	拒绝域 \(\mathscr{W}\)
\(\mu=\mu_0\)	\(\mu\ne\mu_0\)	\(\mid U\mid\ge z_\frac{\alpha}{2}\)
\(\mu\ge\mu_0\)	\(\mu<\mu_0\)	\(U\le -z_\alpha\)
\(\mu\le\mu_0\)	\(\mu>\mu_0\)	\(U\ge z_\alpha\)

原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	拒绝域 \(\mathscr{W}\)
\(\mu=\mu_0\)	\(\mu\ne\mu_0\)	\(\mid T\mid\ge t_\frac{\alpha}{2}(n-1)\)
\(\mu\ge\mu_0\)	\(\mu<\mu_0\)	\(T\le -t_\alpha(n-1)\)
\(\mu\le\mu_0\)	\(\mu>\mu_0\)	\(T\ge t_\alpha(n-1)\)

原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	拒绝域 \(\mathscr{W}\)
\(\sigma^2=\sigma_0^2\)	\(\sigma^2\ne\sigma_0^2\)	\(\chi^2\ge \chi_\frac{\alpha}{2}(n)\) 或 \(\chi^2\le \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)\)
\(\sigma^2\ge\sigma_0^2\)	\(\sigma^2<\sigma_0^2\)	\(\chi^2\le \chi_{1-\alpha}(n)\)
\(\sigma^2\le\sigma_0^2\)	\(\sigma^2>\sigma_0^2\)	\(\chi^2\ge \chi_\alpha(n)\)

原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	拒绝域 \(\mathscr{W}\)
\(\sigma^2=\sigma_0^2\)	\(\sigma^2\ne\sigma_0^2\)	\(\chi^2\ge \chi_\frac{\alpha}{2}(n-1)\) 或 \(\chi^2\le \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)
\(\sigma^2\ge\sigma_0^2\)	\(\sigma^2<\sigma_0^2\)	\(\chi^2\le \chi_{1-\alpha}(n-1)\)
\(\sigma^2\le\sigma_0^2\)	\(\sigma^2>\sigma_0^2\)	\(\chi^2\ge \chi_\alpha(n-1)\)

原假设 \(H_0\)	备择假设 \(H_1\)	拒绝域 \(\mathscr{W}\)
\(p=p_0\)	\(p\ne p_0\)	\(\mid U\mid\ge z_\frac{\alpha}{2}\)
\(p\ge p_0\)	\(p<p_0\)	\(U\le -z_\alpha\)
\(p\le p_0\)	\(p>p_0\)	\(U\ge z_\alpha\)

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相关概念¶

参数假设检验的基本步骤¶

决策错误¶

第一类错误¶

第二类错误¶

两种情况¶

p 检验法¶

单个正态总体参数的假设检¶

单个正态总体均值的假设检验¶

方差已知 (U 检验法)¶

方差未知¶

单个正态总体方差的假设检验¶

均值已知¶

均值未知¶

随机事件概率 p 的假设检验¶

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