第四章 线性空间与线性变换

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4.1 线性空间的概念

线性空间

• 线性空间的定义：设 \(V\) 是一个非空集合，\(F\) 是数域。定义 加法和纯量乘法 运算并满足以下几个定律，则称集合 \(V\) 关于向量加法与纯量乘法组成数域 \(F\) 上的一个 线性空间，或称 \(V\) 为 \(F\) 上的一个线性空间。
  • 特别地，当 \(F\) 为实数域时，称 \(V\) 为 实线性空间。
• 加法：在 \(V\) 的元素之间定义加法运算，记作 \(+\)，即对任意两个元素 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，有唯一的一个元素 \(\boldsymbol{\delta}\in V\) 与之对应，称 \(\boldsymbol{\delta}\) 为 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\boldsymbol{\beta}\) 的和，记作 \(\boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\)。满足：
  1. 交换律：\(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}\)
  2. 结合律：\((\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})\)
  3. 零元存在性：\(V\) 中存在一个零元 \(\boldsymbol{0}\)，对 \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V\)，有 \(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{\alpha}\)
  4. 负元存在性：对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，都存在 \(\boldsymbol{\beta}\in V\)，称 \(\boldsymbol{\beta}\) 为 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的负元，使得 \(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}\)
• 纯量乘法：在数域 \(F\) 和集合 \(V\) 之间还定义纯量乘法，即对 \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V,k\in F\)，有唯一的元素 \(\boldsymbol{\eta}\in V\) 与之对应，称为 \(k\) 与 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的乘积，记为 \(\boldsymbol{\eta}=k\boldsymbol{\alpha}\)，使对 \(\forall k,l\in F,\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，都有：
  1. \(1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}\)
  2. \(k(l\boldsymbol{\alpha})=l(k\boldsymbol{\alpha})=(kl)\boldsymbol{\alpha}\)
  3. \((k+l)\boldsymbol{\alpha}=k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\alpha}\)
  4. \(k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\boldsymbol{\alpha}+k\boldsymbol{\beta}\)
• 常用线性空间：
  • 数域 \(F\) 上的全体 \(n\) 维向量的集合依照向量的加法和向量与数的纯量乘法构成数域 \(F\) 上的线性空间，记作 \(F^n\)。
  • 数域 \(F\) 上的全体 \(m \times n\) 阶矩阵的集合，关于矩阵的加法和矩阵的纯量乘法构成数域 \(F\) 上的线性空间，记为 \(F^{m \times n}\)。
  • 数域 \(F\) 上的全体一元多项式，依照多项式的加法和数与多项式的乘法构成数域 \(F\) 上的线性空间，记为 \(F[x]\)。特别地，所有的实系数一元多项式，依照多项式的加法和多项式与数的乘法构成实线性空间，记为 \({\mathbb R}[x]\)。
• 线性空间的性质：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，则
  1. 零元唯一，记作 \(\boldsymbol{0}\)
  2. \(V\) 中元素 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的负元唯一，记为 \(-\boldsymbol{\alpha}\)
  3. \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V\)，有 \(0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)，\((-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}\)
  4. \(\forall k\in F\)，有 \(k\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\)
  5. 若 \(k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)，则有 \(k=0\) 或 \(\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)

线性子空间

• 线性子空间：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的 非空子集合，若对于 \(V\) 上的加法和乘法运算，\(W\) 也是 \(F\) 上的线性空间，则称 \(W\) 为 \(V\) 的一个线性子空间，简称为 子空间。
• 性质：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，则 \(V\) 的非空子集合 \(W\) 为 \(V\) 的一个子空间的充分必要条件为 \(W\) 对于 \(V\) 的加法和纯量乘法运算封闭。
• 平凡子空间
  • 零子空间：线性空间 \(V\) 的仅含零向量的子集合是 \(V\) 的一个子空间，常称为零子空间。
  • 全子空间：\(V\) 本身也是 \(V\) 的一个子空间，常称为全子空间。

• 生成子空间：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，\(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\in V\)，集合

  \[ L=\{\boldsymbol{\beta}\mid\boldsymbol{\beta}=k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m},k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\in F\} \]

  构成线性空间 \(V\) 的子空间，称该子空间为 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 生成的子空间，记为

  \[ L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}) \]

4.2 线性空间的基、维数与坐标

基、维数与坐标

• 基底：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，若 \(V\) 中存在一组向量 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 满足：

  1. \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 线性无关
  2. \(V\) 中任一向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 均可由 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 线性表示

  则称 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 是线性空间 \(V\) 的一组 基底 或 基。

  • \(n\) 维线性空间中任意 \(n\) 个线性无关的向量都可以作为一组基，因此，线性空间的基并不唯一。
  • 维数：称基 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 所含向量的个数 \(n\) 为线性空间 \(V\) 的 维数，记为 \(\dim V=n\)，此时也称线性空间 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，有时记作 \(V_{n}\)。
  • 因为零向量构成的线性空间 \(\{\boldsymbol{0}\}\) 没有基，不妨规定 \(\dim\{\boldsymbol{0}\}=0\)。
  • \(n\) 维线性空间与 \(0\) 维线性空间统称为 有限维线性空间，或有限生成的线性空间。
  • 如果 \(V\) 不是有限生成的，或者说，如果 \(V\) 中含有无限多个线性无关的向量，称 \(V\) 为 无限维线性空间。
  • 坐标：设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一组基，\(\boldsymbol{\gamma}\in V\)，且
  \[ \boldsymbol{\gamma}=x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{x} \]

  其中

  \[ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix} \]

  称向量 \(\boldsymbol{x}\) 为 \(\boldsymbol{\gamma}\) 在基 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 下的 坐标。

  • 由于 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 线性无关，因此 \(\boldsymbol{\gamma}\) 在此基下的坐标是 唯一的。
  • 同构映射：设 \(V\) 和 \(V'\) 是数域 \(F\) 上的两个线性空间，如果存在 \(V\) 到 \(V'\) 上的一个满足下述条件的一一对应 \(\sigma\)：
  • \(\sigma(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta})\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)
  • \(\sigma(k\boldsymbol{\alpha})=k\sigma(\boldsymbol{\alpha})\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V\)，\(\forall k\in F\)

  则称 \(\sigma\) 为线性空间 \(V\) 到 \(V'\) 的一个 同构映射，也称线性空间 \(V\) 与 \(V'\) 同构。

• 性质：数域 \(F\) 上任意一个 \(n\) 维线性空间 \(V\) 均与 \(F^{n}\) 同构。 证明：设 \(\sigma\) 是从 \(V\) 到 \(F^{n}\) 的一个映射，且 \(\sigma(\boldsymbol{\gamma})=\boldsymbol{x}\)，设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 是 \(V\) 的一组基，\(\forall\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{\delta}\in V\)，它们在 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 下的坐标分别为

  \[ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix}x_{1}'\\ x_{2}'\\ \vdots\\ x_{n}'\end{pmatrix} \]

  即

  \[ \boldsymbol{\gamma}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{x},\quad \sigma(\boldsymbol{\gamma})=\boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{\delta}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\boldsymbol{x}',\quad \sigma(\boldsymbol{\delta})=\boldsymbol{x}' \]

  对 \(\forall k,l \in F\)，令 \(k\boldsymbol{\gamma}+l\boldsymbol{\delta}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})(k\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{x}')\)，那么 \(k\boldsymbol{\gamma}+l\boldsymbol{\delta}\) 在 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 下的坐标为

  \[ k\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{x}'=k\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}+l\begin{pmatrix}x_{1}'\\ x_{2}'\\ \vdots\\ x_{n}'\end{pmatrix}, \]

  反之，\(V\) 中坐标为 \(k\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{x}'\) 的向量必是 \(k\boldsymbol{\gamma}+l\boldsymbol{\delta}\)，即有

  \[ \sigma(k\boldsymbol{\gamma}+l\boldsymbol{\delta})=k\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{x}'=k\sigma(\boldsymbol{\gamma})+l\sigma(\boldsymbol{\delta}). \]

  这说明当 \(n\) 维线性空间 \(V_{n}\) 取定了基之后，向量与它的坐标不仅一一对应，而且向量的加法与纯量乘法都可以转化为坐标之间的加法与纯量乘法运算。

基变换与坐标变换

设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 和 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 中的两组基，且

\[ \begin{cases} \boldsymbol{\eta}_{1}=c_{11}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+c_{21}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+c_{n1}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\\ \boldsymbol{\eta}_{2}=c_{12}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+c_{22}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+c_{n2}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\\ \qquad\vdots\\ \boldsymbol{\eta}_{n}=c_{1n}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+c_{2n}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+c_{nn}\boldsymbol{\varepsilon}_{n} \end{cases} \]

• 过渡矩阵：由基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 到基 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 的 过渡矩阵 为

  \[ \boldsymbol{C}=(c_{ij})_{n\times n}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{pmatrix} \]
  • \(\boldsymbol{C}\) 是可逆的
  • \(\boldsymbol{C}\) 的第 \(j\) 列恰为 \(\boldsymbol{\eta}_{j}\) 在基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 下的坐标
  • 基变换公式：由基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 到基 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 的 基变换公式 为
  \[ (\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n})=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\boldsymbol{C} \]

• 坐标变换公式：设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 和 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 中的两组基，由基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 到基 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 的过渡矩阵记为 \(\boldsymbol{C}=(c_{ij})_{n\times n}\)，若向量 \(\boldsymbol{\xi}\) 在两组基下的坐标分别为

  \[ \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix}x_{1}'\\ x_{2}'\\ \vdots\\ x_{n}'\end{pmatrix} \]

  则有 坐标变换公式

  \[ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}',\quad \boldsymbol{x}'=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{x} \]

4.3 欧氏空间

欧氏空间的定义与基本性质

• 欧氏空间：设 \(V\) 为实数域 \(\mathbb{R}\) 上的一个线性空间。对 \(V\) 中的任意一对元素 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\)，都有 \(\mathbb{R}\) 中唯一的一个实数（记作 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\)）与之对应，若此对应关系满足以下条件：

  1. 对称性：\((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha})\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)
  2. 线性性：\((k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+l(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})\)，\(\forall k,l\in\mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\in V\)
  3. 正定性：\((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})\geqslant 0\)，且 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=0\) 的充分必要条件是 \(\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)

  则称 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\) 为向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 的 内积，定义了内积的实线性空间 \(V\) 称之为一个 欧几里得空间，简称欧氏空间。

• 向量内积：设 \(V\) 为欧氏空间，对 \(V\) 中任意向量 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\)，则定义向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 的内积 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\) 为

  \[ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\beta_{i} \]

  • 性质：零向量与任意向量的内积都是零，即

    \[ (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{0})=(\boldsymbol{0},\boldsymbol{\alpha})=0,\forall \boldsymbol{\alpha}\in V \]

• 向量长度：设 \(V\) 为欧氏空间，对 \(V\) 中任意向量 \(\boldsymbol{\alpha}\)，则定义向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的长度 \(|\boldsymbol{\alpha}|\) 为

  \[ |\boldsymbol{\alpha}|=\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})} \]

  • 单位向量：若 \(|\boldsymbol{\alpha}|=1\)，则称 \(\boldsymbol{\alpha}\) 为单位向量

    • 向量单位化：若 \(\boldsymbol{\beta}\) 是 \(V\) 中的任一非零向量，则进行向量单位化后可得单位向量 \(\boldsymbol{\beta}^{0}\)，即

      \[ \boldsymbol{\beta}^{0}=\frac{1}{|\boldsymbol{\beta}|}\boldsymbol{\beta} \]

  • 定理：设 \(V\) 为欧氏空间，\(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，\(k\in\mathbb{R}\)，则

    1. \(|\boldsymbol{\alpha}|\geqslant 0\)，且 \(|\boldsymbol{\alpha}|=0\) 的充分必要条件是 \(\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\)
    2. \(|k\boldsymbol{\alpha}|=|k|\cdot|\boldsymbol{\alpha}|\)，\(\forall k\in\mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{\alpha}\in V\)
    3. 柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式：\(|(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})|\leqslant|\boldsymbol{\alpha}|\cdot|\boldsymbol{\beta}|\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，当且仅当 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 线性相关时，\(|(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})|=|\boldsymbol{\alpha}|\cdot|\boldsymbol{\beta}|\)。
       • \((a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\leqslant(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})\cdot(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\)
       • \(\left(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\right)^{2}\leqslant\int_{a}^{b}f^{2}(x)\,\mathrm{d}x\cdot\int_{a}^{b}g^{2}(x)\,\mathrm{d}x\)
  • 向量夹角：设 \(V\) 为欧氏空间，\(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\) 为 \(V\) 中的非零向量。则定义向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 的夹角 \(\langle\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\rangle\) 为
  \[ \langle\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\rangle=\arccos\frac{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})}{|\boldsymbol{\alpha}|\cdot|\boldsymbol{\beta}|} \]
  • 向量正交：当 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=0\) 时称 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 正交，记作 \(\boldsymbol{\alpha}\perp\boldsymbol{\beta}\)。
    • 零向量 \(\boldsymbol{0}\) 可看作与 \(V\) 中任意向量都正交。
  • 正交向量组：设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 为欧氏空间 \(V\) 中一组非零向量。若对任意 \(1\leqslant i,j\leqslant s\)，当 \(i\neq j\) 时都有 \(\boldsymbol{\alpha}_{i}\perp\boldsymbol{\alpha}_{j}\)，则称向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 为一个正交向量组。
    • 性质：设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 为欧氏空间 \(V\) 中的一个正交向量组，则 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 线性无关。
  • 向量距离：设 \(V\) 为欧氏空间，对 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，定义向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 的距离 \(d(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\) 为向量 \(\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}\) 的长度，即
  \[ d(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\beta}| \]

标准正交基

设 \(V\) 为 \(n\) 维欧氏空间，\(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 是 \(V\) 的一组基。设 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)，其中

\[ \begin{aligned} &\boldsymbol{\alpha}=a_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{pmatrix} \\ &\boldsymbol{\beta}=b_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+b_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+b_{n}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n}\end{pmatrix} \end{aligned} \]

则 \(\boldsymbol{\alpha}\) 与 \(\boldsymbol{\beta}\) 的内积 \((\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\) 为

\[ \begin{aligned} (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) &=(a_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n}\boldsymbol{\varepsilon}_{n},b_{1}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+b_{2}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+b_{n}\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}b_{j}(\boldsymbol{\varepsilon}_{i},\boldsymbol{\varepsilon}_{j})\\ &=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n}\end{pmatrix} \end{aligned} \]

• 基的度量矩阵：上式中矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 叫作基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 的度量矩阵，即

  \[ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{1})&(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2})&\cdots&(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\\ (\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\boldsymbol{\varepsilon}_{1})&(\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\boldsymbol{\varepsilon}_{2})&\cdots&(\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (\boldsymbol{\varepsilon}_{n},\boldsymbol{\varepsilon}_{1})&(\boldsymbol{\varepsilon}_{n},\boldsymbol{\varepsilon}_{2})&\cdots&(\boldsymbol{\varepsilon}_{n},\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\end{pmatrix} \]

• 正交基：设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 为 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 的一个正交向量组。因此是 \(V\) 的一组基，称为 \(V\) 的一组 正交基。

  • 性质：正交基的度量矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为对角矩阵。
• 标准正交基：若正交基中每一个向量都是单位向量，则称此正交基为 标准正交基。
  • 性质：标准正交基的度量矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为单位矩阵。

施密特正交化方法

• 施密特正交化方法：设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 是线性无关的向量组（\(s\geqslant 2\)）

  1. 正交化：令

     \[ \begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_{1}&=\boldsymbol{\alpha}_{1}\\ \boldsymbol{\beta}_{2}&=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}\\ \boldsymbol{\beta}_{3}&=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\beta}_{2})}{(\boldsymbol{\beta}_{2},\boldsymbol{\beta}_{2})}\boldsymbol{\beta}_{2}\\ &\quad\vdots\\ \boldsymbol{\beta}_{s}&=\boldsymbol{\alpha}_{s}-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{1})}{(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{1})}\boldsymbol{\beta}_{1}-\cdots-\frac{(\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{s-1})}{(\boldsymbol{\beta}_{s-1},\boldsymbol{\beta}_{s-1})}\boldsymbol{\beta}_{s-1} \end{aligned} \]

     则 \(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\) 是 正交向量组。

  2. 单位化：令

     \[ \boldsymbol{\eta}_{i}=\frac{1}{|\boldsymbol{\beta}_{i}|}\boldsymbol{\beta}_{i}\quad(i=1,2,\cdots,s) \]

     则 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{s}\) 为 标准正交向量组。

• 等价性：由向量组等价的传递性可得线性无关的向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 与标准正交向量组 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{s}\) 等价。如果 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 是 \(n\) 维欧氏空间的一组基，则按照上面的施密特正交化方法就得到了一组标准正交基 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\)，由于这两个向量组等价，因此由它们生成的空间是相同的，即

  \[ L(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=L(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}) \]

正交矩阵

• 正交矩阵：若 \(n\) 阶实矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组是标准正交向量组，即若记

  \[ \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}), \]

  \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 满足

  \[ (\boldsymbol{\alpha}_{i},\boldsymbol{\alpha}_{j})=\begin{cases}0,&i\neq j\\ 1,&i=j\end{cases}\quad(i,j=1,2,\cdots,n), \]

  则称 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵。

• 性质：

  1. 若 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵，则 \(|\boldsymbol{A}|=\pm 1\)
  2. 实矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵的充要条件为 \(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}\)
  3. 实矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵的充要条件为 \(\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\)
  4. 若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵，则 \(\boldsymbol{A}^{-1}\) 和 \(\boldsymbol{A}^{*}\) 也是正交矩阵
  5. 若 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 都是正交矩阵，则乘积 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) 也是正交矩阵

4.4 线性变换

线性变换的概念

• 变换：设 \(V\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，若 \(\mathscr{A}\) 是线性空间 \(V\) 到自身的一个映射，即对 \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V\)，有唯一的向量 \(\boldsymbol{\beta}\in V\) 与 \(\boldsymbol{\alpha}\) 对应，则称 \(\mathscr{A}\) 为 \(V\) 的一个变换。

• 线性变换：若变换 \(\mathscr{A}\) 满足：

  1. \(\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})+\mathscr{A}(\boldsymbol{\beta})\)
  2. \(\mathscr{A}(k\boldsymbol{\alpha})=k\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})\)，\(\forall k\in F\)

  则称 \(\mathscr{A}\) 为线性空间 \(V\) 的一个线性变换。

• 像：线性变换 \(\mathscr{A}\) 的像 \(\boldsymbol{\beta}\) 为：

  \[ \boldsymbol{\beta} = \mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha}) \]

• 值域：线性变换 \(\mathscr{A}\) 的值域 \(\mathrm{Im}(\mathscr{A})\) 为：

  \[ \mathrm{Im}(\mathscr{A})=\{\mathscr{A}(\boldsymbol{\xi})\mid\boldsymbol{\xi}\in V\} \]

• 核：线性变换 \(\mathscr{A}\) 的核 \(\mathrm{Ker}(\mathscr{A})\) 为：

  \[ \mathrm{Ker}(\mathscr{A})=\{\boldsymbol{\xi}\in V\mid\mathscr{A}(\boldsymbol{\xi})=\boldsymbol{0}\} \]

• 秩：线性变换 \(\mathscr{A}\) 的秩 \(r(\mathscr{A})\) 为：

  \[ r(\mathscr{A})=\dim(\mathrm{Im}(\mathscr{A})) \]

• 零度：线性变换 \(\mathscr{A}\) 的零度 \(r(\mathrm{Ker}(\mathscr{A}))\) 为：

  \[ r(\mathrm{Ker}(\mathscr{A}))=\dim(\mathrm{Ker}(\mathscr{A})), \]

常见线性变换

• 数乘变换：

  \[ \mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})=k\boldsymbol{\alpha},\quad \forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

• 恒等变换：即 \(k=1\) 的数乘变换

  \[ \mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\alpha},\quad \forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

• 零变换：即 \(k=0\) 的数乘变换

  \[ \mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{0},\quad \forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

• n 阶方阵相似变换：详见下文

  \[ \sigma:\,V\to V,\quad \sigma(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}. \]

• n 阶对称方阵的合同变换：详见下文

  \[ \sigma:\,V\to V,\quad \sigma(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}. \]

线性变换的运算

• 设 \(V\) 为数域 \(F\) 上的线性空间，\(k\in F\)，\(\mathscr{A}\) 与 \(\mathscr{B}\) 为 \(V\) 的两个线性变换，则

  • 和：

    \[ (\mathscr{A}+\mathscr{B})(\boldsymbol{\alpha})=\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})+\mathscr{B}(\boldsymbol{\alpha}),\quad \forall\boldsymbol{\alpha}\in V, \]

  • 数乘（纯量乘积）：

    \[ (k\mathscr{A})(\boldsymbol{\alpha})=k(\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})),\quad \forall k\in F,\forall\boldsymbol{\alpha}\in V, \]

  • 积：

    \[ (\mathscr{A}\mathscr{B})(\boldsymbol{\alpha})=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\boldsymbol{\alpha})),\quad \forall\boldsymbol{\alpha}\in V, \]

• 定理：若 \(V\) 为数域 \(F\) 上的线性空间，\(k\in F\)，\(\mathscr{A}\) 与 \(\mathscr{B}\) 为 \(V\) 中的两个线性变换，则 \(\mathscr{A}+\mathscr{B}\)，\(k\mathscr{A}\) 与 \(\mathscr{A}\mathscr{B}\) 都是 \(V\) 的线性变换。

线性变换的性质

若 \(\mathscr{A}\) 是数域 \(F\) 上的线性空间 \(V\) 的线性变换，则

1. \(\mathscr{A}(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}\)
2. \(\mathscr{A}(-\boldsymbol{\alpha})=-\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha})\)

3. 线性变换保持线性关系式不变，即对 \(\forall\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\in V\)，\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\in F\) 有

   \[ \mathscr{A}(k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m})=k_{1}\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha}_{1})+k_{2}\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha}_{2})+\cdots+k_{m}\mathscr{A}(\boldsymbol{\alpha}_{m}) \]

   即

   \[ \mathscr{A}[(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m})\boldsymbol{k}]=(\mathscr{A}\boldsymbol{\alpha}_{1},\mathscr{A}\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\mathscr{A}\boldsymbol{\alpha}_{m})\boldsymbol{k} \]

   其中 \(\boldsymbol{k}=(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m})^{\mathrm{T}}\)。

   • 线性变换 \(\mathscr{A}\) 将 \(V\) 中线性相关的向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 变换到线性相关的向量组。

4.5 线性变换的矩阵

• 线性变换在给定基下的矩阵：设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一组基，\(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 在线性变换 \(\mathscr{A}\) 下的像分别为

  \[ \begin{cases} \mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1})=a_{11}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{21}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n1}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\\ \mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{2})=a_{12}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{22}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{n2}\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\\ \qquad\vdots\\ \mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{n})=a_{1n}\boldsymbol{\varepsilon}_{1}+a_{2n}\boldsymbol{\varepsilon}_{2}+\cdots+a_{nn}\boldsymbol{\varepsilon}_{n} \end{cases} \]

  利用分块矩阵乘法，可表示为如下形式：

  \[ \mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})=(\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1}),\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{2}),\cdots,\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{n}))=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\boldsymbol{A} \]

  则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为线性变换 \(\mathscr{A}\) 在基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 下的矩阵，即

  \[ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix} \]

• 线性变换与给定基下矩阵的关系：

  • 设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 是数域 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一组基，\(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\) 是一个 \(n\) 阶方阵，那么必存在唯一的线性变换 \(\mathscr{A}\)，它在基 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 下的矩阵为 \(\boldsymbol{A}\)。

  • 设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一组基，那么 \(V\) 中所有的线性变换 \(\mathscr{A}\) 与所有的 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 之间存在一一对应的关系，这种关系由下式确定：

    \[ (\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1}),\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{2}),\cdots,\mathscr{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{n}))=(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n})\boldsymbol{A} \]

• 线性变换在不同基下矩阵间的关系：设 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 和 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的两组基，\(V\) 的线性变换 \(\mathscr{A}\) 在这两组基下的矩阵分别为 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\)，且从 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{1},\boldsymbol{\varepsilon}_{2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\) 到 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n}\) 的过渡矩阵为 \(\boldsymbol{C}\)，那么

  \[ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}. \]