第二章 关系模型和关系运算理论

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关系模型概述

• 关系数据库系统：是支持关系模型的数据库系统。
• 关系模型的组成
  • 关系数据结构
  • 关系操作集合
  • 关系完整性约束

关系数据结构

核心概念

• 单一的数据结构——关系：现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示；
• 数据的逻辑结构——二维表：从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表。

基础定义

域（Domain）

• 域是一组 具有相同数据类型的值的集合。
• 例如：
  • 整数
  • 实数
  • 介于某个取值范围的整数
  • 长度指定长度的字符串集合
  • {‘男’,‘女’}
  • 介于某个取值范围的日期

笛卡儿积（Cartesian Product）

• 定义：域上的一种集合运算。给定一组域 \(D_{1}, D_{2},\cdots, D_{n}\)，这些域中可以有相同的。其笛卡儿积为：

  \[ D_{1} × D_{2} × ... × D_{n}=\left\{\left(d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}\right) | d_{i} \in D_{i}, i=1,2, ..., n\right\} \]

• 特点

  • 所有域的所有取值的一个组合
  • 不能重复

• 基数（Cardinal number）：若 \(D_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）为有限集，其基数为 \(m_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），则 \(D_{1} × D_{2} ×\cdots× D_{n}\) 的基数 \(M\) 为：

  \[ M = m_1×m_2×\cdots×m_n = \prod_{i=1}^{n} m_i \]

• 笛卡尔积的表示方法：笛卡儿积可表示为一个二维表，表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域。

关系（Relation）

• 关系：\(D_{1} × D_{2} ×\cdots× D_{n}\) 的子集叫作在域 \(D_{1}, D_{2},\cdots, D_{n}\) 上的关系，表示为

  \[ R(D_{1}, D_{2},\cdots, D_{n}) \]
  • \(R\) 为关系名
  • \(n\) 为关系的目或度（Degree）
  • 注意：只有笛卡儿积中 具有实际含义的子集才构成关系。
  • 元组：关系中的每个元素是关系中的元组，通常用 \(t\) 表示。
  • 单元关系与二元关系：
  • 当 \(n=1\) 时，称该关系为单元关系（Unary relation）
  • 当 \(n=2\) 时，称该关系为二元关系（Binary relation）
  • 关系的表示：关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。
  • 属性：关系中不同列可以对应相同的域，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）。
  • \(n\) 目关系必有 \(n\) 个属性。
  • 码：
  • 候选码（Candidate key）：若关系中的 某一属性组的值能唯一地标识一个元组，而其子集不能，则称该属性组为候选码。
    • 在最简单的情况下，候选码只包含一个属性。
    • 全码（All-key）：在最极端的情况下，关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码。
    • 主码（Primary key）：
      • 若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码；
  • 候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）；
    • 不包含在任何候选码中的属性称为非主属性（Non-key attribute）。
  • 三类关系：
  • 基本关系（基本表或基表）：实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
  • 查询表：查询结果对应的表。
  • 视图表：由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据。
  • 注意
  • 关系是笛卡儿积的 有限子集，无限关系在数据库系统中无意义。
  • 数学上笛卡儿积不满足交换律，但关系作为数据结构满足交换律，通过为列附加属性名取消元组有序性。

基本关系的性质

1. 列是同质的（Homogeneous）：每一列中的分量是同一类型的数据，来自同一个域。
2. 不同的列可出自同一个域：其中的每一列称为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名。
3. 列的顺序无所谓：列的次序可以任意交换。
   • 遵循这一性质的数据库产品如 ORACLE，增加新属性时，永远是插至最后一列；
   • 也有许多关系数据库产品没有遵循这一性质，例如 FoxPro 仍然区分了属性顺序；
4. 任意两个元组的候选码不能完全相同：由笛卡儿积性质决定
   • 但部分数据库产品（如 Oracle、FoxPro）允许重复元组，除非用户定义约束。
5. 行的顺序无所谓：行的次序可以任意交换。
   • 遵循这一性质的数据库产品如 ORACLE，插入一个元组时永远插至最后一行；
   • 但也有许多关系数据库产品没有遵循这一性质，例如 FoxPro 仍然区分了元组的顺序；
6. 分量必须取原子值：每一个分量都必须是不可分的数据项，这是规范条件中最基本的一条。

关系模式

定义

• 关系模式（Relation Schema）是对关系的描述，是“型”；关系是“值”，是关系模式在某一时刻的状态或内容。
• 关系模式是对关系的描述
  • 元组集合的结构
    • 属性构成
    • 属性来自的域
    • 属性与域之间的映象关系
  • 元组语义以及完整性约束条件；
  • 属性间的数据依赖关系集合。

形式化表示

• 关系模式可形式化地表示为：\(R(U,D,dom,F)\)

  符号	含义	示例
  \(R\)	关系名	学生
  \(U\)	组成该关系的属性名集合	{学号, 姓名, 性别, 专业号, 年龄}
  \(D\)	属性组 \(U\) 中属性所来自的域的集合	{整数, 字符串, 日期}
  \(dom\)	属性向域的映象集合	{学号 \(\to\) 整数, 姓名 \(\to\) 字符串, 性别 \(\to\) {‘男’,‘女’}, 专业号 \(\to\) 整数, 年龄 \(\to\) 整数}
  \(F\)	属性间的数据依赖关系集合	{学号 \(\to\) 姓名, 学号 \(\to\) 性别, 学号 \(\to\) 专业号, 学号 \(\to\) 年龄}

• 关系模式通常简记为 \(R(U)\) 或 \(R(A_1, A_2, \cdots, A_n)\)，其中 \(R\) 为关系名，\(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 为属性名。

  • 域名及属性向域的映象常常直接说明为属性的类型、长度。

关系模式与关系的区别

特征	关系模式	关系
性质	静态的、稳定的	动态的、随时间不断变化的
含义	对关系的描述	关系模式在某一时刻的状态或内容

注：关系模式和关系往往统称为关系，通过上下文加以区别。

关系数据库

定义

在一个给定的应用领域中，所有 实体及实体之间联系的关系的集合 构成一个关系数据库。

关系数据库的型与值

• 关系数据库的型：称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述
  • 若干域的定义
  • 在这些域上定义的若干关系模式。
• 关系数据库的值：是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常简称为关系数据库。

关系操作

• 常用的关系操作
  1. 查询：选择、投影、连接、除、并、交、差、笛卡儿积，查询的表达能力是最主要的部分。
     • 加粗：五种基本运算
  2. 数据更新：插入、删除、修改。
• 关系操作的特点
  • 集合操作方式：操作的对象和结果都是集合。
    • 非关系数据模型的数据操作方式：一次一记录；
    • 关系数据模型的数据操作方式：一次一集合；
• 关系数据语言的种类
  1. 关系代数（代数方式）：用对关系的运算来表达查询要求
     • 典型代表：ISBL
  2. 关系演算（逻辑方式）：用谓词来表达查询要求，分为：
     • 元组关系演算语言：
       • 谓词变元的基本对象是元组变量
       • 典型代表：APLHA、QUEL
     • 域关系演算语言：
       • 谓词变元的基本对象是域变量
       • 典型代表：QBE
  3. 具有关系代数和关系演算双重特点的结构化查询语言
     • 典型代表：SQL
• 关系数据语言的特点:
  • 关系数据语言是一种高度非过程化的集合操作语言：
    • 存取路径的选择由 DBMS 的优化机制完成
    • 用户不必用循环结构即可完成数据操作
  • 可嵌入高级语言中使用。
  • 表达能力等价：关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上完全等价。

关系的完整性

• 关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件
• 三类完整性约束：实体完整性、参照完整性、用户定义的完整性。
  • 其中，实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的完整性约束条件，被称作关系的 两个不变性，应由关系系统自动支持。

实体完整性

• 实体完整性规则（Entity Integrity）：若属性 \(A\) 是基本关系 \(R\) 的 主属性，则属性 \(A\) 不能取空值。
  • 空值即“不存在”或“无意义”的值。
  • 实体完整性规则规定基本关系的 所有主属性都不能取空值。
• 关系模型必须遵守实体完整性规则的原因
  1. 实体完整性规则针对基本关系，基本表通常对应现实世界的实体集或多对多联系。
  2. 现实世界中的实体和实体间的联系具有唯一性标识。
  3. 关系模型中以主码作为唯一性标识。
• 示例：选修（学号，课程号，成绩）
  • “学号、课程号”为主码，则两个属性都不能取空值。

参照完整性

关系间的引用

• 在关系模型中，实体及实体间的联系都用关系描述，因此存在关系与关系间的引用。
• 示例：学生实体、专业实体以及专业与学生间的一对多联系：
  • 学生（学号, 姓名, 性别, 专业号, 年龄）
  • 专业（专业号, 专业名）

外码（Foreign Key）

• 设 \(F\) 是基本关系 \(R\) 的一个或一组属性，但不是关系 \(R\) 的码。如果 \(F\) 与基本关系 \(S\) 的主码 \(K_s\) 相对应，则称 \(F\) 是基本关系 \(R\) 的 外码（Foreign Key）；
  • 基本关系 \(R\) 称为参照关系（Referencing Relation）
  • 基本关系 \(S\) 称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）
• 说明
  • 关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系。
  • 目标关系 \(S\) 的主码 \(K_s\) 和参照关系的外码 \(F\) 必须定义在同一个（或一组）域上。
  • 外码并不一定要与相应的主码同名；当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名字，以便于识别。

• 示例：学生实体及其内部的领导联系（一对多）：

  学号	姓名	性别	专业号	年龄	班长
  801	张三	女	01	19	802
  802	李四	男	01	20
  803	王五	男	01	20	802
  804	赵六	女	02	20	805
  805	钱七	男	02	19

参照完整性规则

• 若属性（或属性组）\(F\) 是基本关系 \(R\) 的外码，它与基本关系 \(S\) 的主码 \(K_s\) 相对应（基本关系 \(R\) 和 \(S\) 不一定是不同的关系），则对于 \(R\) 中每个元组在 \(F\) 上的值必须为：
  • 或者取空值（\(F\) 的每个属性值均为空值）；
  • 或者等于 \(S\) 中某个元组的主码值。
• 示例：
  • 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）与专业（专业号，专业名）：
    • “专业号”的属性只取两类值：
      1. 空值，表示尚未给该学生分配专业；
      2. 非空值，这时该值必须是专业关系中某个元组的“专业号”值，表示该学生不可能分配到一个不存在的专业中。
    • “班长”属性值可以取两类值：
      1. 空值，表示该学生所在班级尚未选出班长，或该学生本人即是班长；
      2. 非空值，这时该值必须是本关系中某个元组的学号值。
  • 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）与课程（课程号，课程名，学分）与选修（学号*，*课程号，成绩），则选修关系中的：
    • 主码：{学号, 课程号}
    • 外码：{学号} 和 {课程号}
      • 学号引用学生关系的主码学号；
      • 课程号引用课程关系的主码课程号。
    • 外码可以为空，但是{学号, 课程号}不能为空，因为它是选修关系的主码，为空违背了实体完整性规则。

用户定义的完整性

• 用户定义的完整性是针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。
• 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能。
• 示例：课程（课程号，课程名，学分）：
  • 非主属性“课程名”也不能取空值；
  • “学分”属性只能取值{1,2,3,4}。

关系代数

• 关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。
• 关系代数运算的三个要素
  • 运算对象：关系
  • 运算结果：关系
  • 运算符：四类

关系代数的四类运算符

运算符类别	具体运算符	含义	特点
集合运算符	$\cup$	并	将关系看成元组的集合。 从关系的“水平”方向（行的角度）进行运算。
	$-$	差
	$\cap$	交
	$\times$	笛卡儿积
专门的关系运算符	$\sigma$	选择	不仅涉及行而且涉及列。
	$\pi$	投影
	$\bowtie$	连接
	$\div$	除
比较运算符	$>$	大于	辅助专门的关系运算符进行操作。
	$\geq$	大于等于
	$<$	小于
	$\leq$	小于等于
	$<>$	不等于
逻辑运算符	$\neg$	非	辅助专门的关系运算符进行操作。
	$\land$	与
	$\lor$	或

关系代数的表示记号

1. \(R, t \in R, t[A_i]\)：
   • 设关系模式为 \(R(A_1, A_2, \cdots, A_n)\)，它的一个关系设为 \(R\)；
     • \(t \in R\) 表示 \(t\) 是 \(R\) 的一个元组（行）；
     • \(t[A_i]\) 则表示元组 \(t\) 中相应于属性 \(A_i\) 的一个分量（列）。
2. \(A, t[A], \overline{A}\)：
   • 若 \(A=\{A_{i1}, A_{i2}, \cdots, A_{ik}\}\)，其中 \(A_{i1}, A_{i2}, \cdots, A_{ik}\) 是 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 中的一部分，则 \(A\) 称为 属性列或属性组。
   • \(t[A]=(t[A_{i1}],t[A_{i2}],\cdots,t[A_{ik}])\)，表示元组 \(t\) 在属性列 \(A\) 上诸分量的集合。
   • \(\overline{A}\) 则表示 \(\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}\) 中去掉 \(\{A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{ik}\}\) 后剩余的属性组。
3. \(\overset{\frown}{t_r t_s}\)：
   • \(R\) 为 \(n\) 目关系，\(S\) 为 \(m\) 目关系。
   • \(t_r \in R\)，\(t_s \in S\)；
   • \(\overset{\frown}{t_r t_s}\) 称为元组的连接（元组的串接）。它是一个 \(n+m\) 列的元组，前 \(n\) 个分量为 \(R\) 中的一个 \(n\) 元组，后 \(m\) 个分量为 \(S\) 中的一个 \(m\) 元组。

4. 象集 \(Z_x\)：

   • 给定一个关系 \(R(X,Z)\)，\(X\) 和 \(Z\) 为属性组。当 \(t[X]=x\) 时，\(X\) 在 \(R\) 中的象集（Images Set）为

     \[ Z_x=\{t[Z] | t \in R, t[X]=x\} \]

   • 表示 \(R\) 中属性组 \(X\) 上值为 \(x\) 的诸元组在 \(Z\) 上分量的集合。

传统的集合运算

并（Union）

• 前提：
  • \(R\) 和 \(S\) 具有相同的目 \(n\)（即两个关系都有 \(n\) 个属性）
  • 相应的属性取自同一个域

• 定义：

  \[ R \cup S = \{t | t \in R \lor t \in S\} \]
  • 仍为 \(n\) 目关系，由属于 \(R\) 或属于 \(S\) 的元组组成。
  • 性质：\(R \cup S = S \cup R\)。

差（Difference）

• 前提：
  • \(R\) 和 \(S\) 具有相同的目 \(n\)
  • 相应的属性取自同一个域。

• 定义：

  \[ R - S = \{t | t \in R \land t \notin S\} \]
  • 仍为 \(n\) 目关系，由属于 \(R\) 而不属于 \(S\) 的所有元组组成。
  • 性质：\(R - S \neq S - R\)。

交（Intersection）

• 前提：
  • \(R\) 和 \(S\) 具有相同的目 \(n\)
  • 相应的属性取自同一个域。

• 定义：

  \[ R \cap S = \{t | t \in R \land t \in S\} \]
  • 仍为 \(n\) 目关系，由既属于 \(R\) 又属于 \(S\) 的元组组成。
  • 性质：\(R \cap S = S \cap R\)。

广义笛卡儿积（Extended Cartesian Product）

• 前提：
  • \(R\) 为 \(n\) 目关系，有 \(k_1\) 个元组；
  • \(S\) 为 \(m\) 目关系，有 \(k_2\) 个元组。

• 定义：

  \[ R×S = \{\overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S\} \]
  • 列：为 \(n+m\) 列的元组集合
    • 元组的前 \(n\) 列是关系 \(R\) 的一个元组
    • 后 \(m\) 列是关系 \(S\) 的一个元组
  • 行：\(k_1 \times k_2\) 个元组

专门的关系运算

选择（Selection）

• 选择又称为限制（Restriction）。

• 定义：在关系 \(R\) 中选择满足给定条件的诸元组：

  \[ \sigma_F(R) = \{t | t \in R \land F(t) = \text{True}\} \]
  • \(F\)：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：\([\neg(] X_1 \theta Y_1 [)][\phi [\neg(] X_2 \theta Y_2 [)]]\ldots\)
    • \(\theta\)：比较运算符（\(>, <, \geq, \leq, =, <>\)）
    • \(X_1,Y_1\) 等：属性名、常量、简单函数，属性名也可以用它的序号来代替
    • \(\phi\)：逻辑运算符（\(\neg, \land, \lor\)）
    • \([\ ]\)：表示任选项
    • \(\cdots\)：表示上述格式可以重复下去
  • 特点：从行的角度进行运算，选出满足条件的元组。
  • 示例：

  • 查询信息系（IS 系）全体学生：\(\sigma_{Sdept='IS'}(Student)\) 或 \(\sigma_{5='IS'}(Student)\)：

    Sno	Sname	Ssex	Sage	Sdept
    201215125	张立	男	19	IS

  • 查询年龄小于 20 岁的学生：\(\sigma_{Sage<20}(Student)\) 或 \(\sigma_{4<20}(Student)\)：

    Sno	Sname	Ssex	Sage	Sdept
    201215122	刘晨	女	19	CS
    201215123	王敏	女	18	MA
    201215125	张立	男	19	IS

投影（Projection）

• 定义：从 \(R\) 选择出若干属性列组成新的关系：

  \[ \pi_A(R) = \{t[A] | t \in R\} \]
  • 其中 \(A\) 为 \(R\) 中的属性列。
  • 特点：从列的角度进行运算，投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）。
  • 示例：

  • 查询学生的姓名和所在系，即求 Student 关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影：\(\pi_{Sname,Sdept}(Student)\) 或 \(\pi_{2,5}(Student)\)：

    Sname	Sdept
    李勇	CS
    刘晨	CS
    王敏	MA
    张立	IS

  • 查询学生关系 Student 中都有哪些系：\(\pi_{Sdept}(Student)\)，结果（取消重复元组）：

    Sdept
    CS
    IS
    MA

连接（Join）

• 连接也称为 \(\theta\) 连接。

• 定义：从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组：

  \[ R \underset{A\theta B}{\bowtie} S = \{\overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] \theta t_s[B]\} \]
  • \(A\) 和 \(B\)：分别为 \(R\) 和 \(S\) 上度数相等且可比的属性组；
  • \(\theta\)：比较运算符。
  • 本质：从 \(R\) 和 \(S\) 的广义笛卡儿积 \(R\times S\) 中选取在 \(A\) 属性组上的值与 \(S\) 关系在 \(B\) 属性组上值满足比较关系的元组。
  • \(\sigma_{ t_r[A] \theta t_s[B]}(R \times S)\)
  • 两类常用连接运算：

  • 等值连接（equi join）：\(\theta\) 为 \(=\) 的连接运算

    \[ \begin{aligned} R \underset{A=B}{\bowtie} S &= \{\overset{\frown}{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[A] = t_s[B]\} \\ &= \sigma_{ t_r[A] = t_s[B]}(R \times S) \end{aligned} \]
    • 从关系 \(R\) 与 \(S\) 的广义笛卡儿积中选取 \(A\)、\(B\) 属性值相等的那些元组。
    • 若 \(R\) 为 \(n\) 目关系，\(S\) 为 \(m\) 目关系，且 \(A\) 和 \(B\) 分别为 \(R\) 和 \(S\) 上的 \(k\) 个属性，则连接结果为 \(n+m\) 列的关系。
      • 自然连接（Natural join）：一种特殊的等值连接，两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，且在结果中 把重复的属性列去掉。
    \[ \begin{aligned} R \bowtie S &= \{\overset{\frown}{t_r t_s}[U-B] | t_r \in R \land t_s \in S \land t_r[B] = t_s[B]\} \\ &= \pi_{U-B}(\sigma_{ t_r[A] = t_s[B]}(R \times S)) \end{aligned} \]
    • 自然连接 不需要写明连接条件
    • 其中 \(R\) 和 \(S\) 具有相同的属性组 \(B\)，\(U\) 为 \(R\) 和 \(S\) 的全体属性集合。
    • 若 \(R\) 为 \(n\) 目关系，\(S\) 为 \(m\) 目关系，且 \(A\) 和 \(B\) 分别为 \(R\) 和 \(S\) 上的 \(k\) 个属性，则连接结果为 \(n+m-k\) 列的关系。
    • 外连接（Outer Join）：如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（Null），这种连接就叫做外连接。
      • 左外连接（LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN）：只把左边关系 R 中要舍弃的元组保留。
      • 右外连接（RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN）：只把右边关系 S 中要舍弃的元组保留。
    • 注意：
      • 选择和投影运算的时间复杂度为 \(n\) 数量级（\(n\) 为元组个数）；
      • 连接运算的时间复杂度为 \(n \times m\) 数量级（\(n\) 和 \(m\) 分别是两个关系中的元组个数）
      • 为减少关系运算的时间复杂度，从而提高效率，通常 先做选择运算，再做投影运算，最后做连接运算。
    • 先 WHERE，再 SELECT，最后 JOIN。
    • 先选择：减少行数，再投影：减少列数，最后连接：减少笛卡儿积的计算量。

除（Division）

• 给定关系 \(R(X,Y)\) 和 \(S(Y,Z)\)，其中 \(X, Y, Z\) 为属性组。\(R\) 中的 \(Y\) 与 \(S\) 中的 \(Y\) 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

• 定义：\(R\) 与 \(S\) 的除运算得到一个新的关系 \(P(X)\)，\(P\) 是 \(R\) 中满足在 \(X\) 上分量值 \(x\) 的象集 \(Y_x\) 包含 \(S\) 在 \(Y\) 上投影的集合的元组在 \(X\) 属性列上的投影：

  \[ R ÷ S = \{t_r[X] | t_r \in R \land \pi_Y(S) \subseteq Y_x\} \]
  • 其中 \(Y_x\) 为 \(x\) 在 \(R\) 中的象集，\(x = t_r[X]\)。
  • 特点：同时从行和列角度进行运算。
  • 示例

  • 关系 \(R\)：

    \(A\)	\(B\)	\(C\)
    \(a_1\)	\(b_1\)	\(c_2\)
    \(a_2\)	\(b_3\)	\(c_7\)
    \(a_3\)	\(b_4\)	\(c_6\)
    \(a_1\)	\(b_2\)	\(c_3\)
    \(a_4\)	\(b_6\)	\(c_6\)
    \(a_2\)	\(b_2\)	\(c_3\)
    \(a_1\)	\(b_2\)	\(c_1\)

  • 关系 \(S\)：

    \(B\)	\(C\)	\(D\)
    \(b_1\)	\(c_2\)	\(d_1\)
    \(b_2\)	\(c_1\)	\(d_1\)
    \(b_2\)	\(c_3\)	\(d_2\)

  • 求 \(R ÷ S\)：

    • 在关系 \(R\) 中，\(A\) 可以取 \(a_1, a_2, a_3, a_4\) 四个值
      • \(a_1\) 的象集为 \(\{(b_1,c_2),(b_2,c_3),(b_2,c_1)\}\)
      • \(a_2\) 的象集为 \(\{(b_3,c_7),(b_2,c_3)\}\)
      • \(a_3\) 的象集为 \(\{(b_4,c_6)\}\)
      • \(a_4\) 的象集为 \(\{(b_6,c_6)\}\)
    • 关系 \(S\) 在 \((B,C)\) 属性组上的投影为 \(\{(b_1,c_2),(b_2,c_1),(b_2,c_3)\}\)。
    • 只有 \(a_1\) 的象集包含了 \(S\) 在 \((B,C)\) 属性组上的投影，所以 \(R ÷ S = \{a_1\}\)。