第三章 n 维向量与线性方程组的结构

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3.1 n 维向量

向量的定义

• \(n\) 维向量：\(n\) 个数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 组成的有序数组 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 称为 \(n\) 维向量，数 \(a_i\) 称为该向量的第 \(i\) 个分量，\(n\) 称为该向量的维数。

  • 实向量：\(a_i \in \mathbb{R}\)；复向量：\(a_i \in \mathbb{C}\)
  • 行向量：相当于 \(1 \times n\) 矩阵；列向量：相当于 \(n \times 1\) 矩阵

  • 常用希腊字母如 \(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}\) 表示，如

    \[ \boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n),\quad \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \]

• 向量相等：若 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\boldsymbol{\beta}\) 都是行（或列）向量且对应分量相等，即 \(a_i = b_i(i=1,2,\cdots,n)\)，则称 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\boldsymbol{\beta}\) 相等，记作 \(\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\beta}\)

• 零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作 \(\boldsymbol{0}\) 。
• 负向量：若 \(\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，则 \(\boldsymbol{-\alpha}=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)\)，称为 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的负向量。

向量的线性运算

• 向量加法：设 \(\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，\(\boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\) 都是 \(n\) 维向量，则称

  \[ \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) \]

  为 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和 \(\boldsymbol{\beta}\) 的和，记作 \(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\)

• 向量数乘：设 \(k \in \mathbb{R}\)，\(\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，则称

  \[ k \boldsymbol{\alpha} = (k a_1,k a_2,\cdots,k a_n) \]

  为数 \(k\) 与向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的数乘，记作 \(k \boldsymbol{\alpha}\)

• 线性运算性质：设 \(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}\) 为任意 \(n\) 维向量，\(k,l \in \mathbb{R}\)，则

  1. 加法交换律：\(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}\)
  2. 加法结合律：\(\boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}) = (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma}\)
  3. 零元存在：对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\)，都存在一个 \(\boldsymbol{0}\)，使得 \(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha}\)
  4. 负元存在：对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\)，都存在一个 \(\boldsymbol{-\alpha}\)，使得 \(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{-\alpha} = \boldsymbol{0}\)
  5. 单位元存在：对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\)，都有 \(1 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\)
  6. 数乘结合律：\(k(l \boldsymbol{\alpha}) = (kl) \boldsymbol{\alpha}\)
  7. 数乘分配律：\((k+l) \boldsymbol{\alpha} = k \boldsymbol{\alpha} + l \boldsymbol{\alpha}\)
  8. 数乘分配律：\(k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k \boldsymbol{\alpha} + k \boldsymbol{\beta}\)

线性方程组的向量表示

设线性方程组

\[ \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \qquad\vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases} \]

记

\[ \boldsymbol{A}_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} \]

则可以把线性方程组表示为

\[ \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta} \]

由于 \(\boldsymbol{A}\) 可以用向量表示为：

\[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\gamma}_{1} \\ \boldsymbol{\gamma}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_{m} \end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\gamma}_{i} = (a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}) \quad 或\\ \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}),\quad \boldsymbol{\alpha}_{i} = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix} \]

则可以把线性方程组表示为

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &= (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}) \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\\ &= x_1\boldsymbol{\alpha}_{1} + x_2\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_{n} \\ &= \boldsymbol{\beta} \end{aligned} \]

称 \(x_1\boldsymbol{\alpha}_{1} + x_2\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots + x_n\boldsymbol{\alpha}_{n} = \boldsymbol{\beta}\) 为线性方程组的 向量表示 或称为 向量方程。

3.2 向量的线性关系

向量的线性组合

• 线性组合（表示）：对于 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m,\boldsymbol{\beta}\)，如果存在数 \(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使

  \[ \boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m) \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_m \end{pmatrix} \]

  则称向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 是向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 的一个 线性组合，或称向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 可由向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 线性表示。称 \(k_1,k_2,\cdots,k_m\) 为 组合系数或表示系数。

• n 维单位向量/基本向量：

  \[ \boldsymbol{e}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \vdots, \boldsymbol{e}_{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \]

  则任意 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\alpha} = (a_1,a_2,\cdots,a_n)^T\) 均可表示为

  \[ \boldsymbol{\alpha} = \sum_{i=1}^{n} a_i \boldsymbol{e}_i = a_1\boldsymbol{e}_1 + a_2\boldsymbol{e}_2 + \cdots + a_n\boldsymbol{e}_n \]

• 定理：\(n\) 维向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 可由 \(n\) 维向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 线性表示的充分必要条件是对应线性方程组 \(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 有解，其中 \(\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})\)

  • 可线性表示 的充分必要条件：\(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}})\)，其中 \(\boldsymbol{\tilde{A}} = (A,\boldsymbol{\beta})\)
    • 可线性表示且表示系数唯一 的充分必要条件：\(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}}) = m\)
    • 可线性表示且表示系数不唯一 的充分必要条件：\(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}}) < m\)
  • 不能线性表示 的充分必要条件：\(r(\boldsymbol{A}) \neq r(\tilde{\boldsymbol{A}})\)

向量组等价

• 向量组线性表示：设两个向量组

  \[ (\mathrm{I})\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\},\quad (\mathrm{II})\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}\} \]

  若向量组 \((\mathrm{I})\) 中每个向量都可由向量组 \((\mathrm{II})\) 中向量线性表示，则称 \((\mathrm{I})\) 可由 \((\mathrm{II})\) 线性表示

  • 充要条件：\((\mathrm{I})\) 可由 \((\mathrm{II})\) 线性表示 \(\Rightarrow r((\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t})) = r((\boldsymbol{\alpha}_{1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s},\boldsymbol{\beta}_{1},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}))\)
  • 传递性：
    • 若向量组 \((\mathrm{I})\) 可由向量组 \((\mathrm{II})\) 线性表示，且 \(\boldsymbol{\gamma}\) 可由向量组 \((\mathrm{I})\) 线性表示，则 \(\boldsymbol{\gamma}\) 可由 \((\mathrm{II})\) 线性表示
    • 若向量组 \((\mathrm{I})\) 可由向量组 \((\mathrm{II})\) 线性表示，且向量组 \((\mathrm{II})\) 可由向量组 \((\mathrm{III})\) 线性表示，则向量组 \((\mathrm{I})\) 可由向量组 \((\mathrm{III})\) 线性表示
  • 向量组等价：若两个向量组 \((\mathrm{I})\) 和 \((\mathrm{II})\) 可以互相线性表示，则称 \((\mathrm{I})\) 和 \((\mathrm{II})\) 等价
  • 反身性：\((\mathrm{I}) \cong (\mathrm{I})\)
  • 对称性：若 \((\mathrm{I}) \cong (\mathrm{II})\)，则 \((\mathrm{II}) \cong (\mathrm{I})\)
  • 传递性：若 \((\mathrm{I}) \cong (\mathrm{II})\)，且 \((\mathrm{II}) \cong (\mathrm{III})\)，则 \((\mathrm{I}) \cong (\mathrm{III})\)

线性相关与线性无关

• 线性相关：设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 为 \(n\) 维向量组，若存在不全为零的数 \(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\)，使

  \[ \sum_{i=1}^{m} k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i} = k_1\boldsymbol{\alpha}_{1} + k_2\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots + k_m\boldsymbol{\alpha}_{m}=\boldsymbol{0} \]

  则称向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性相关

• 线性无关：若只用 \(k_1=k_2=\cdots=k_m=0\) 时上式成立，则称向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性无关

• 定理：如果 \(n\) 维向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性相关（线性无关），则齐次线性方程组 \(x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} + x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2} + \cdots + x_{m}\boldsymbol{\alpha}_{m} = 0\) 有非零解（唯一零解）。
  • 令 \(\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{pmatrix},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m = \begin{pmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{pmatrix}\)，令 \(\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m)\)，则：
    • 向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 线性相关的充分必要条件是 \(r(\boldsymbol{A}) < m\) 或 \(|\boldsymbol{A}| = 0\)
    • 向量 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 线性无关的充分必要条件是 \(r(\boldsymbol{A}) = m\) 或 \(|\boldsymbol{A}| \neq 0\)
  • 对于 \(\mathbb{R}^n\) 中任意 \(m\) 个向量，当 \(m > n\) 时必线性相关
• 线性相关/无关相关性质
  • 若向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\) 中有部分向量线性相关，则该向量组必线性相关.

  • 设 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\in\mathbb{R}^{n}\)，\(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\in\mathbb{R}^{m}\) 都为列向量，令 \(n+m\) 维列向量

    \[ \boldsymbol{\gamma}_{i}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{i}\\ \boldsymbol{\beta}_{i} \end{pmatrix}, i=1,2,\cdots,s \]

    若 \(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},\cdots,\boldsymbol{\gamma}_{s}\) 线性相关，则 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 也线性相关。

    • 常称 \(\boldsymbol{\alpha}_{i}\) 为 \(\boldsymbol{\gamma}_{i}\) 的 截短向量，或 \(\boldsymbol{\gamma}_{i}\) 是 \(\boldsymbol{\alpha}_{i}\) 的 接长向量。
    • 即：若接长向量组线性相关，则其截短向量组也线性相关。
    • 等价地：若截短向量组线性无关，则其接长向量组也线性无关。
      • 设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性无关，向量组 \(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s}\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性表示，即 \((\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s})=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m})\boldsymbol{A}_{m\times s}\)，则：
    • \(\boldsymbol{\beta}_{i}\) 线性相关的充分必要条件为 \(r(\boldsymbol{A}) < s\)
    • \(\boldsymbol{\beta}_{i}\) 线性无关的充分必要条件为 \(r(\boldsymbol{A}) = s\)
      • 设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性无关，\(\boldsymbol{\beta}_{j}=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}\boldsymbol{\alpha}_{i}\)，\(j=1,2,\cdots,s\)，令 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times s}\)，则 \(r(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{s})=r(\boldsymbol{A})\)
    • 线性组合与线性相关的关系
      • 向量 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\)（\(m\geqslant2\)）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
      • 若向量 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性无关，而向量 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m},\boldsymbol{\beta}\) 线性相关，则向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 可由 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性表示，且表示系数唯一。

3.3 向量组的秩

极大线性无关组

• 极大线性无关组：设向量组 \(\mathrm{I}:\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m},\cdots\)（向量个数可有限也可无限），若存在它的部分向量组 \(\mathrm{II}:\boldsymbol{\alpha}_{i_{1}},\boldsymbol{\alpha}_{i_{2}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_{r}}\) 满足：

  1. \(\boldsymbol{\alpha}_{i_{1}},\boldsymbol{\alpha}_{i_{2}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_{r}}\) 线性无关
  2. 向量组 \(\mathrm{I}\) 中的每一个向量都可由向量组 \(\mathrm{II}\) 线性表示

  则称向量组 \(\mathrm{II}:\boldsymbol{\alpha}_{i_{1}},\boldsymbol{\alpha}_{i_{2}},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_{r}}\) 是向量组 \(\mathrm{I}\) 的一个 极大线性无关组，简称 极大无关组。

• 性质：

  • 一个向量组若有极大线性无关组，则这个向量组与其极大线性无关组等价。
  • 若向量组的极大线性无关组不唯一，则其任意两个极大线性无关组都等价。

• 定理：给定两个向量组

  \[ \mathrm{I}:\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s},\quad\mathrm{II}:\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t} \]

  若向量组 \(\mathrm{I}\) 能被向量组 \(\mathrm{II}\) 线性表示，且 \(s>t\)，则向量组 \(\mathrm{I}\) 中的向量线性相关。

  • 若向量组 \(\mathrm{I}\) 线性无关，且它们可由向量组 \(\mathrm{II}\) 线性表示，则 \(s\leqslant t\)
  • 两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量。
  • 一个向量组若有两个极大线性无关组，则它们所含向量的个数相等。

向量组的秩

• 向量组的秩：向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 的 极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组的秩，记作 \(r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m})\)。

• 性质：

  • 向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性无关的充分必要条件是 \(r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m})=m\)
  • 向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m}\) 线性相关的充分必要条件是 \(r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{m})<m\)
  • 任意两个等价的向量组的极大无关组也等价，所以等价的向量组必有相同的秩。
  • 如果一个向量组的秩为 \(r\)（\(r>0\)），则向量组中任意 \(r\) 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。

  • 设向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\) 可由向量组 \(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}\) 线性表示，则

    \[ r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s})\leqslant r(\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{t}). \]

• 向量组的秩与矩阵的秩的关系：设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(m\times n\) 矩阵，则 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 的秩等于矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩；\(\boldsymbol{A}\) 的行向量组的秩也等于 \(\boldsymbol{A}\) 的秩。

3.4 线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组

\[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0 \end{cases} \]

其矩阵形式为

\[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\quad (\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}) \]

• 有解的充分必要条件：\(r(\boldsymbol{A})=r<n\)

• 基础解系：设 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{p}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的一组解向量，如果：

  1. \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{p}\) 线性无关；
  2. 齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的任意一个解向量都可由 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{p}\) 线性表示，

  则称 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{p}\) 是齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的一个 基础解系。

• 解的性质：设有齐次线性方程组

  \[ \boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

  若 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{s}\) 是其 \(s\) 个解向量，则它们的线性组合 \(\sum_{i=1}^{s}k_{i}\boldsymbol{\eta}_{i}\) 仍是其解向量，其中 \(k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}\) 为任意常数。

• 通解形式：设有齐次线性方程组

  \[ \boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \]

  若 \(r(\boldsymbol{A})=r<n\)，则齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 存在一个由 \(n-r\) 个线性无关的解向量 \(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 构成的基础解系，它们的线性组合

  \[ \bar{\boldsymbol{\eta}}=k_{1}\boldsymbol{\eta}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r} \]

  给出了齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的所有解，称为该齐次线性方程组 通解（也称一般解），其中 \(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n-r}\) 为任意常数。

• 基础解系求法：系数矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 经初等行变换化到简化阶梯形，用分块形式表达如下：

  \[ \boldsymbol{A}_{m\times n}\xrightarrow{\text{初等行变换}}\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r}&\boldsymbol{A}_{0}\\ \boldsymbol{0}&\boldsymbol{0}\end{pmatrix}_{m\times n} \]

  则 \(\begin{pmatrix}-\boldsymbol{A}_{0}\\ \boldsymbol{E}_{n-r}\end{pmatrix}_{n\times (n-r)}\) 所在的 \(n-r\) 个列向量即为一个基础解系。

• 解的结构的特点：系数矩阵的秩 + 基础解系含解向量的个数 = 未知量的个数。

非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组

\[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} \]

其矩阵形式和向量形式分别为

\[ \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta},\quad x_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{\beta} \]

其中

\[ \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}=(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}) \\ \\ \boldsymbol{\alpha}_{j}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj}\end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n, \quad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{m}\end{pmatrix} \]

• 有解的充分必要条件（下面几个条件等价）
  • 向量 \(\boldsymbol{\beta}\) 可由 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 线性表示
  • \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\) 与 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n},\boldsymbol{\beta}\) 是等价向量组
  • \(r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n})=r(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n},\boldsymbol{\beta})\)
  • \(r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\beta})\)。

• 导出组：对于任一非齐次线性方程组，令其常数项为零得到一个齐次线性方程组，称这个齐次线性方程组为非齐次线性方程组的 导出组。

  \[ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} \xrightarrow{b_{i}=0} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\ \qquad\vdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0 \end{cases} \]

• 解的性质：

  1. 若 \(\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的任意两个解向量，则 \(\boldsymbol{\gamma}_{1}-\boldsymbol{\gamma}_{2}\) 是对应的齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的解向量。
  2. 设 \(\boldsymbol{\gamma}_{0}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的一个解向量，\(\boldsymbol{\eta}\) 是对应的齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的任一解向量，则 \(\boldsymbol{\gamma}_{0}+\boldsymbol{\eta}\) 仍是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的一个解向量。

  3. \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的任一解向量 \(\boldsymbol{\gamma}\) 都可表示成

     \[ \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+\boldsymbol{\eta}, \]

     其中 \(\boldsymbol{\gamma}_{0}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的某个解向量，\(\boldsymbol{\eta}\) 是对应的齐次线性方程组的某个解向量。

• 通解形式：设有非齐次线性方程组

  \[ \boldsymbol{A}_{m\times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} \]

  若 \(r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{\beta})=r\)，\(\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 是对应的齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的基础解系，\(\boldsymbol{\gamma}_{0}\) 是 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的某个解（称之为该非齐次线性方程组的一个 特解），则

  \[ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\gamma}_{0}+k_{1}\boldsymbol{\eta}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\eta}_{2}+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r} \]

  给出了 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的所有解，称为该非齐次线性方程组的 通解，其中 \(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n-r}\) 是任意常数。

• 解的结构：非齐次线性方程组的通解 = 非齐次线性方程组的特解 + 对应的齐次线性方程组的通解。

• 特解求法：可以从增广矩阵的简化阶梯形得到，当

  \[ (\boldsymbol{A},\boldsymbol{\beta})\xrightarrow{\text{初等行变换}}\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r}&\boldsymbol{A}_{0}&\boldsymbol{\beta}_{0}\\ \boldsymbol{0}&\boldsymbol{0}&\boldsymbol{0}\end{pmatrix}_{m\times (n+1)} \]

  则 \(\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_{0}\\ \boldsymbol{0}_{(n-r)\times 1}\end{pmatrix}_{n\times 1}\) 可作为 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}\) 的一个特解。