第二章 环¶
环的定义和基本性质¶
环的定义¶
设 \(R\) 是一个非空集合，如果在 \(R\) 上定义了两数运算“\(+\)”（称为加法）和“\(\cdot\)”（称为乘法），并且满足
- (R1) \(R\) 关于加法构成一个 交换群
-
(R2) 乘法结合律成立，即对任意的 \(a,b,c\in R\)，有
\[ (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b \cdot c) \] -
(R3) 乘法对加法的两个分配律成立，即对任意的 \(a,b,c \in R\)，有
\[ \begin{aligned} a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c\\ (b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a \end{aligned} \]
则称 \((R,+,\cdot)\) 为一个 环 ，或简称 \(R\) 为环
- 由环的定义知 \((R,+)\) 是一个交换群，称为环的加法群。与前两章中关于加群的记号一样，\(R\) 的加法单位元常用 0 表示，称为环 \(R\) 的 零元，环 \(R\) 的元素 \(a\) 的加法逆元称为 \(a\) 的 负元 ，记作 \(-a\)，由群的性质可知，\(R\) 的零元及每个元素的负元都是唯一的
- 如果环 \(R\) 的乘法还满足交换律，则称为 交换环
-
如果环中存在元素 \(e\)，使对任意的 \(a\in R\)，有
\[ ae = ea = a \]则称 \(R\) 是一个有单位元的环，并称 \(e\) 为 \(R\) 的 单位元 （注意：环的单位元是乘法单位元）
-
一个环 不一定有单位元，如果环有单位元，则单位元是唯一的
-
设环 \(R\) 是有单位元的环，\(a\in R\)，如果存在 \(b \in R\)，使
\[ ab=ba=e \]则称 \(a\) 是 \(R\) 的一个 可逆元 或 单位 ，并称 \(b\) 为 \(a\) 的 逆元 ，记作 \(a^{-1}\)
-
环的一个元素不一定是可逆的，如果 \(a\) 可逆则 \(a\) 的逆元是唯一的
- 对于一个有单位元的环 \(R\)，其所有可逆元组成的集合关于环 \(R\) 的乘法构成群。这个群称为环 \(R\) 的 单位群 ，记作 \(U(R)\)
- 设 \(R=\{0\}\)，规定 \(0+0=0\cdot 0=0\)，则 \(R\) 构成环称为 零环，零环是唯一的一个有单位元且单位元等于零元，并且零元也可逆的环
- 今后，如无特别声明，凡提到有单位元的环时我们总假定这个环不是零环，因此环的单位元也就不等于零元
常见的环¶
- 整数集 \(\mathbb{Z}\)、有理数集 \(\mathbb{Q}\)、实数集 \(\mathbb{R}\)、复数集 \(\mathbb{C}\) 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 \(1\) 的交换环，分别称为 整数环、有理数域、实数域、复数域 、它们的单位群分别是 \(\{ 1,-1 \}\)、\(\mathbb{Q}^*\)、\(\mathbb{R}^*\) 和 \(\mathbb{C}^*\)
- 数域 \(F\) 上全体 \(n(n>1)\) 阶方阵 \(M_n(F)\) 的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元 \(E\)（单位矩阵）的非交换环，称为数域 \(F\) 上的 \(n\) 阶全矩阵环，这个环的单位群是 \(GL_n(F)\)
-
设 \(m\) 为大于 \(1\) 的正整数，则 \(\mathbb{Z}\) 的模 \(m\) 剩余类集
\[ Z_m=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} \]关于剩余类的加法和乘法构成有单位元的交换环，称为 模 m 剩余类环 ，这个环的单位群是 \(U(m) = \{\overline{x} \mid 1 \leq x < m, (x,m)=1\}\)
-
设 \(R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}\) 为 \(n\) 个环。令
\[ R=R_{1} \oplus R_{2} \oplus \cdots \oplus R_{n}=\left\{\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \mid a_{i} \in R_{i},i=1,2,\cdots; n\right\} \]对任意的 \(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right),\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) \in R\)，规定
\[ \begin{aligned} \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right),\\ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2},\cdots,a_{n} b_{n}\right) \end{aligned} \]则 \(R\) 关于上面所定义的加法与乘法构成一个环。这个环称为环 \(R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}\) 的 直和
- \(R\) 有单位元的充分必要条件是每个 \(R_{i}\) 都有单位元
- \(R\) 是交换环的充分必要条件是每个 \(R_{i}\) 都是交换环
环的性质¶
-
设 \(R\) 是一个环，\(a,b \in R\)，则
- \(a \cdot 0=0 \cdot a=0\)
- \(-(-a)=a\)
- \(a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-a b\)
- \((-a) \cdot(-b)=a b\)
-
利用负元的概念，可以定义环 \(R\) 的减法“\(-\)”，即对任意的 \(a,b \in R\)，令
\[ a-b=a+(-b) \] -
移项法则：对任意的 \(a,b,c \in R\)，有以下移项法则：
\[ a+b=c \Longleftrightarrow a=c-b \]乘法对于减法还满足分配律，即对任意的 \(a,b,c \in R\)，有
\[ \begin{aligned} a(b-c)=a b-a c \\ (b-c) a=b a-c a \end{aligned} \] -
倍数法则：对任意的 \(m,n \in \mathbf{Z}\)，\(a,b \in R\)，
- \(m a+n a=(m+n) a\)
- \(m(a+b)=m a+m b\)
- \(m(n a)=(m n) a=n(m a)\)
- \(m(a b)=(m a) b=a(m b)\)
-
指数法则：对任意的 \(m,n \in \mathbf{N}\)，\(a,b \in R\)，
- \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}\)
- \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
- 如果 \(R\) 的元素 \(a\) 是不可逆的，则 \(a^{0}\) 与 \(a^{-n}(n>0)\) 通常是没有意义的
- 当 \(a b \neq b a\) 时，等式 \((a \cdot b)^{n}=a^{n} \cdot b^{n}\) 一般也不成立
-
广义分配律： 设 \(a \in R\)，则对 \(b_{i} \in R(i=1,2,\cdots,n)\)，有
\[ a\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a b_{i},\quad\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right) a=\sum_{i=1}^{n} b_{i} a \]设 \(a_{i},b_{j} \in R(i=1,2,\cdots,n\)；\(j=1,2,\cdots,m)\)，则
\[ \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{m} b_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j} \]
子环的定义¶
设 \((R,+,\cdot)\) 是一个环，\(S\) 是 \(R\) 的一个非空子集。如果 \(S\) 关于 \(R\) 的运算构成环，则称 \(S\) 为 \(R\) 的一个 子环 ，记作 \(S<R\)
- 如果 \(S\) 是 \(R\) 的子环，则 \((S,+)\) 是 \((R,+)\) 的子加群
- \(R\) 的零元 \(0\) 就是 \(S\) 的零元
- \(S\) 中元素 \(a\) 在 \(R\) 中的负元 \(-a\) 就是 \(a\) 在 \(S\) 中的负元
- 环 \(R\) 本身以及由单独一个零元 \(\{0\}\) 所构成的集合关于 \(R\) 的运算显然都构成 \(R\) 的子环，这两个子环称为环 \(R\) 的 平凡子环
- 即使一个环有单位元，其子环也可能没有单位元
- 即使一个环没有单位元，其子环也可能有单位元
子环的判定¶
- 设 \(R\) 是一个环，\(S\) 是 \(R\) 的一个非空子集，则 \(S\) 是 \(R\) 的子环的充分必要条件是
- \((S,+)\) 是 \((R,+)\) 的加法子群
- \(S\) 关于 \(R\) 的乘法封闭，即对任意的 \(a,b \in S\)，有 \(a b \in S\)
- 设 \(R\) 是一个环，\(S\) 是 \(R\) 的一个非空子集，则 \(S\) 是 \(R\) 的子环的充分必要条件是
- 对任意的 \(a,b \in S\)，\(a-b \in S\)
- 对任意的 \(a,b \in S\)，\(a b \in S\)
- 这就是说，环 \(R\) 的子环 \(S\) 是 \(R\) 的关于减法与乘法封闭的非空子集
中心¶
设 \(R\) 为环，则
为 \(R\) 的一个子环，这个子环称为 \(R\) 的 中心
整环和域¶
零因子¶
设 \(R\) 为环，\(a\)，\(b\) 为 \(R\) 的两个 非零元素，如果
则称 \(a\) 为 \(R\) 的一个 左零因子 ，\(b\) 为 \(R\) 的一个 右零因子
- 左零因子与右零因子统称为 零因子
- 在一个有零因子的环中，右零因子不一定是左零因子，左零因子也不一定是右零因子
- 如果一个环有左零因子，也就一定有右零因子，反之亦然
- 如果一个环没有左零因子，当然也就没有右零因子，从而也就没有零因子
- 一个没有零因子的环称为 无零因子环
- 在一个无零因子的环中，两个消去律成立，即对任意的 \(a,b,c \in R\)，\(c \neq 0\)，如果 \(a c=b c\) 或 \(c a=c b\)，则 \(a=b\)
- 如果环 \(R\) 中两个消去律有一个成立，则 \(R\) 必是无零因子环，从而另一个消去律也成立
整环¶
一个 无零因子 的，有 单位元 \(e \neq 0\) 的 交换环 \(R\) 称为 整环
- 整数环 \(\mathbf{Z}\)，高斯整环 \(\mathbf{Z}[\mathrm{i}]\)，模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbf{Z}_m\)，数域 \(\mathbf{F}\) 上的一元多项式环 \(\mathbf{F}[x]\) 都是整环。
-
全体形如
\[ \mathbf{Z}[\mathrm{i}]=\{a+b \mathrm{i} \mid a,b \in \mathbf{Z}\} \]的复数关于通常数的运算构成一个整环，环 \(\mathbf{Z}[\mathrm{i}]\) 称为 高斯整环，单位群为 \(\mathbf{Z}[\mathrm{i}]^{\times}=\{1,-1,\mathrm{i},-\mathrm{i}\}\)
-
类似地可以证明，对任一无平方因子的整数 \(d(d \neq 1)\)，数集
\[ \mathbf{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b \sqrt{d} \mid a,b \in \mathbf{Z}\} \]也是整环
域¶
设 \(F\) 是一个有 单位元 \(1_{F} \neq 0\) 的 交换环。如果 \(F\) 中 每个非零元都可逆，则称 \(F\) 是一个 域
- 由于可逆元一定不是零因子，所以 每个域都是整环
- 整环却不一定是域，如整数环 \(\mathbf{Z}\)，高斯整环 \(\mathbf{Z}[\mathrm{i}]\) 都不是域
- \(\mathrm{Q}\)，\(\mathrm{R}\)，\(\mathrm{C}\) 都是域，分别称为有理数域、实数域和复数域
- 设 \(p\) 是一个素数，则模 \(p\) 剩余类环 \(\mathbf{Z}_{p}\) 是一个含 有 \(p\) 个元素的域，称为 素数域
理想和商环¶
理想的定义¶
设 \(R\) 为环，\(I\) 为 \(R\) 的非空子集，如果 \(I\) 满足
- 对任意的 \(r_{1}\)，\(r_{2} \in I\)，\(r_{1}-r_{2} \in I\)
- 对任意的 \(r \in I\)，\(s \in R\)，\(r s,s r \in I\)
则称 \(I\) 为环 \(R\) 的一个 理想 ，记作 \(I \triangleleft R\)。又如果 \(I \subsetneq R\)，则称 \(I\) 为 \(R\) 的 真理想
- 如果 \(I\) 为 \(R\) 的理想，则 \(I\) 必为 \(R\) 的子环
- \(\{0\}\) 与 \(R\) 本身显然都是 \(R\) 的理想，这两个理想称为 \(R\) 的 平凡理想
- \(\mathbb{Z}\) 的所有理想是 \(\{d\mathrm{Z} \mid d\in \mathbb{Z}, d\ge 0\}\)
- \(\mathbb{Z}_{m}\) 的所有理想是 \(\{d\mathrm{Z}_{m} \mid d=0 \text{ 或 } d\mid m\}\)
理想的运算¶
设 \(R\) 为环，\(I\)，\(J\) 都是 \(R\) 的理想，集合
分别称为理想 \(I\) 与 \(J\) 的 和 与 交
- 设 \(R\) 为环，\(I\)，\(J\) 都是 \(R\) 的理想，则 \(I\) 与 \(J\) 的和与交都是 \(R\) 的理想
- 环 \(R\) 的任意 有限 多个理想的和还是 \(R\) 的理想
- 环 \(R\) 的任意（有限或无限 ）多个理想的交还是 \(R\) 的理想
主理想¶
设 \(a \in R\)，考察 \(R\) 中含有元素 \(a\) 的全部理想的集合
因为 \(a \in R\)，且 \(R \triangleleft R\)，所以 \(R \in \Sigma\)，从而 \(\Sigma\) 非空。令
则 \(\langle a\rangle\) 为 \(R\) 的一个理想，这个理想称为 \(R\) 的由 \(a\) 生成的 主理想
- 因为 \(a \in I(I \in \Sigma)\)，所以 \(a \in\langle a\rangle\)，从而 \(\langle a\rangle \in \Sigma\)
- 我们看到：一方面，\(\langle a\rangle\) 是包含 \(a\) 的理想；另一方面，\(\langle a\rangle\) 是所有包含 \(a\) 的理想的交，所以 \(\langle a\rangle\) 是 \(R\) 的包含 \(a\) 的最小理想
主理想的构成¶
设 \(R\) 为环，\(a \in R\)，则
-
一般地
\[ \langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i}+x a+a y+m a \mid x_{i},y_{i},x,y \in R,\,n \in \mathbf{N},\,m \in \mathbf{Z}\right\} \] -
如果 \(R\) 是有单位元的环，则
\[ \langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i} \mid x_{i},y_{i} \in R,\,n \in \mathbf{N}\right\} \] -
如果 \(R\) 是交换环，则
\[ \langle a\rangle=\{x a+m a \mid x \in R,m \in \mathbf{Z}\}; \] -
如果 \(R\) 是有单位元的交换环，则
\[ \langle a\rangle=a R=\{a r \mid r \in R\} \]
则有
- 整数环 \(\mathbf{Z}\) 的每个理想都是主理想
- 模 \(m\) 剩余类环 \(\mathbf{Z}_{m}\) 的每个理想都是主理想
多元理想¶
设 \(R\) 为环，\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{s} \in R\)，则 \(\left\langle a_{1}\right\rangle,\left\langle a_{2}\right\rangle,\cdots,\left\langle a_{s}\right\rangle\) 都是 \(R\) 的理想。令
则 \(\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle\) 为 \(R\) 的理想，称为 \(R\) 的由 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\) 生成的理想。易知，\(\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\right\rangle\) 是 \(R\) 的含 \(a_{1},a_{2},\cdots,a_{s}\) 的最小理想
商环¶
设 \(R\) 是一个环，\(I\) 是环 \(R\) 的一个理想，则 \((I,+)\) 是 \((R,+)\) 的子加群，从而 \((I,+)\) 是 \((R,+)\) 的正规子群，于是有商群：
其加法运算定义为
定义 \(R / I\) 的乘法：
称环 \(R / I\) 为环 \(R\) 关于它的理想 \(I\) 的 商环
设 \(R\) 为环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则
- \(\overline{0}=I\) 为 \(R / I\) 的零元
- 如果 \(R\) 有单位元 \(e\)，且 \(e \notin I\)，则 \(\bar{e}=e+I\) 为 \(R / I\) 的单位元
- 如果 \(R\) 是交换环，则 \(R / I\) 也是交换环
环的同态¶
环同态的定义¶
设 \(R\) 和 \(R^{\prime}\) 为两个环，\(\phi\) 是集合 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的映射。如果对任意的 \(a,b \in R\)，有
- \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\)
- \(\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)\)
则称 \(\phi\) 为环 \(R\) 到环 \(R^{\prime}\) 的一个 同态映射 ，简称 同态
- 环同态就是环之间保持运算的映射
- 如果 \(\phi\) 是单映射，则称 \(\phi\) 为单同态
- 如果 \(\phi\) 是满映射，则称 \(\phi\) 为满同态
- 如果 \(\phi\) 既是单同态，又是满同态，则称 \(\phi\) 为 同构 ，此时，称环 \(R\) 与 \(R^{\prime}\) 同构 ，记作 \(\phi: R \cong R^{\prime}\)
- 与群的相应概念类似，环的同构是环之间的一个等价关系，并且从环的观点来看，同构的环有完全相同的代数性质
零同态¶
设 \(R\) 与 \(R^{\prime}\) 是两个环，对任意的 \(a \in R\)，令
则对任意的 \(a,b \in R\)，
所以 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的一个同态，这个同态称为 零同态
自然同态¶
设 \(R\) 是环，\(I\) 是 \(R\) 的理想。对任意的 \(a \in R\)，令
则 \(\eta\) 为 \(R\) 到它的商环 \(R / I\) 的满映射。又对任意的 \(a\)，\(b \in R\)，
所以 \(\eta\) 为 \(R\) 到它的商环 \(R / I\) 的一个 满同态 ，这个同态称为 自然同态
环同态的性质¶
-
设 \(\phi\) 是环 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的同态，则对任意的 \(a \in R\)
- \(\phi\left(0_{R}\right)=0_{R^{\prime}}\)
- \(\phi(n a)=n \phi(a),\quad \forall n \in \mathbf{Z}\)
- \(\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n},\quad \forall n \in \mathbf{N}\)
-
设 \(R\) 与 \(R^{\prime}\) 都是有单位元的环，\(e\) 与 \(e^{\prime}\) 分别是它们的单位元，\(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的环同态
-
如果 \(\phi\) 是满同态，则 \(\phi(e)=e^{\prime}\)
- 如果 \(R^{\prime}\) 为无零因子环，且 \(\phi(e) \neq 0\)，则 \(\phi(e)=e^{\prime}\)
- 如果 \(\phi(e)=e^{\prime}\)，则对 \(R\) 的任一单位 \(u\)，\(\phi(u)\) 是 \(R^{\prime}\) 的单位，且 \((\phi(u))^{-1}=\phi\left(u^{-1}\right)\)
核¶
设 \(\phi\) 为环 \(R\) 到环 \(R^{\prime}\) 的同态映射，称集合
为环同态 \(\phi\) 的 核 ，记作 \(\operatorname{Ker} \phi\)，且 \(\operatorname{Ker} \phi\) 为 \(R\) 的理想。
环同态基本定理¶
设 \(\phi\) 是环 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的满同态，则有环同构
环的第二同构定理¶
设 \(S\) 为 \(R\) 的子环，\(I\) 为 \(R\) 的理想，则 \(S \cap I\) 是 \(S\) 的理想且
环的第三同构定理¶
设 \(R\) 是环，\(I\) 和 \(J\) 都是 \(R\) 的理想，且 \(I \subseteq J\)。则有环同构
素理想和极大理想¶
素理想¶
设 \(R\) 是一个交换环，\(P\) 是 \(R\) 的真理想。如果对任意的 \(a,b \in R\)，由 \(a b \in P\)，可推出 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)，则称 \(P\) 为 \(R\) 的一个 素理想
-
\(\mathbf{Z}\) 的全部素理想为
\[ \langle p\rangle \quad \text{以及}\quad \{0\} \] -
设 \(R\) 是有单位元 \(e \neq 0\) 的交换环，\(I\) 是 \(R\) 的理想，则 \(I\) 是 \(R\) 的素理想的充分必要条件是 \(R / I\) 是整环
极大理想¶
设 \(R\) 是一个交换环，\(M\) 是 \(R\) 的真理想。如果对 \(R\) 的任一包含 \(M\) 的理想 \(N\)，必有 \(N=M\) 或 \(N=R\)，则称 \(M\) 为 \(R\) 的一个 极大理想
-
设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的交换环，\(I\) 为 \(R\) 的理想，则 \(I\) 是 \(R\) 的极大理想的充分必要条件是 \(R / I\) 是域
-
设 \(R\) 是一个有单位元的交换环，则 \(R\) 的每个极大理想都是素理想
- 若没有单位元，则不一定成立
- 素理想不一定是极大理想
中国剩余定理¶
如果 \(I\) 和 \(J\) 是包含单位元 \(1\) 的交换环 \(R\) 的两个理想，满足 \(I+J=R\)，则有
- \(I\cap J=IJ\)
- \(R/IJ \cong R/I \times R/J\)
环的特征与素域¶
特征¶
特征的定义¶
设 \(R\) 为环，如果存在最小的正整数 \(n\)，使得对所有的 \(a \in R\)，有 \(n a=0\)，则称 \(n\) 为环 \(R\) 的 特征 。如果这样的正整数不存在，则称环 \(R\) 的特征为 \(0\)。环 \(R\) 的特征记作 \(\operatorname{Char} R\)。
- \(\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}\) 的特征都等于 \(0\)
- 一般地，如果 \(R\) 是一个数环，则 \(\operatorname{Char} R=0\)
-
设 \(\mathbf{Z}_{m}\) 是模 \(m\) 剩余类环，则对每个 \(\bar{n} \in \mathbf{Z}_{m}\)，有
\[ m \bar{n}=\overline{m n}=\overline{0} \]而对于任何正整数 \(k<m\)，有
\[ k \overline{1}=\bar{k} \neq \overline{0} \]所以 \(\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}=m\)
-
对于 \(\mathbf{Z}_{m}\) 上的一元多项式环 \(\mathbf{Z}_{m}[x]\)，也有 \(\operatorname{Char} \mathbf{Z}_{m}[x]=m\)
- 一个有限环的特征是一个正整数
特征的性质¶
-
设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的环，如果 \(e\) 关于加法的阶为无穷大，那么 \(R\) 的特征等于 \(0\)。如果 \(e\) 关于加法的阶等于 \(n\)，那么 \(\operatorname{Char} R=n\)。
-
整环的特征是 \(0\) 或者是一个素数，域同理。
-
设 \(R\) 是有单位元 \(e\) 的环，则映射
\[ \begin{aligned} \phi:\mathbf{Z} & \longrightarrow R,\\ n & \longmapsto n e \end{aligned} \]是环 \(\mathbf{Z}\) 到 \(R\) 的同态
-
设 \(R\) 是有单位元的环
- 如果 \(R\) 的特征为 \(n>0\)，则 \(R\) 包含一个与 \(\mathbf{Z}_{n}\) 同构的子环 \(R^{\prime} = \{m e \mid m \in \mathbf{Z}\}\)
- 如果 \(R\) 的特征为 \(0\)，则 \(R\) 包含一个与 \(\mathbf{Z}\) 同构的子环 \(R^{\prime} = \{m e \mid m \in \mathbf{Z}\}\)
-
设 \(F\) 是域
- 如果 \(F\) 的特征是 \(0\)，则 \(F\) 包含一个与有理数域 \(\mathbf{Q}\) 同构的子域
- 如果 \(F\) 的特征是素数 \(p\)，则 \(F\) 包含一个与模 \(p\) 剩余类环 \(\mathbf{Z}_{p}\) 同构的子域
素域¶
-
一个域 \(F\) 如果不含任何真子域，则称 \(F\) 是一个 素域
-
设 \(F\) 是个域
- 如果 \(\operatorname{Char} F=0\)，那么 \(F\) 包含一个与 \(\mathbf{Q}\) 同构的素域
- 如果 \(\operatorname{Char} F=p>0\)，那么 \(F\) 包含一个与 \(\mathbf{Z}_{p}\) 同构的素域