第一章群¶

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等价关系与集合的分类¶

二元关系¶

设 $S$ 是一个 非空集合 ，$\mathcal{R}$ 是关于 $S$ 的元素的一个条件。如果对 $S$ 中任意一个有序元素对 $(a,b)$，我们总能确定 $a$ 与 $b$ 是否满足条件 $\mathcal{R}$，就称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个关系。如果 $a$ 与 $b$ 满足条件 $\mathcal{R}$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\mathcal{R}$，记作 $a\mathcal{R}b$；否则称 $a$ 与 $b$ 无关系 $\mathcal{R}$。

关系 $\mathcal{R}$ 也称为 二元关系。
注意 $\mathcal{R}$ 的确定性，“总能”表示忽略验证所需的时间和复杂度

等价关系¶

设 $\mathcal{R}$ 是非空集合 $S$ 的一个关系，如果 $\mathcal{R}$ 满足

反身性，即对任意的 $a \in S$，有 $a \mathcal{R} a$
对称性，即若 $a \mathcal{R} b$，则 $b \mathcal{R} a$
传递性，即若 $a \mathcal{R} b$，且 $b \mathcal{R} c$，则 $a \mathcal{R} c$

则称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个 等价关系 ，并且如果 $a \mathcal{R} b$，则称 $a$ 等价于 $b$，记作 $a \sim b$

注意可能存在孤立元素，即存在 $a$，对于任意 $b$，$a \not\sim b$。
不能根据传递性和对称性推出自反性。（反例：$a$ 可以是孤立元素且没有自反性）

等价类¶

如果是集合 $S$ 的一个等价关系，对 $a \in S$，令

\[ [a]=\{x \in S \mid x \sim a\} \]

称子集 $[a]$ 为 $S$ 的一个 等价类 。$S$ 的全体等价类的集合称为集合 $S$ 在等价关系下的商集，记 $S / \sim$

同余关系与剩余类¶

设 $m$ 是正整数，在整数集 $\mathbf{Z}$ 中，规定

\[ a \mathcal{R} b \Longleftrightarrow m \mid a-b,\quad \forall a,b \in \mathbf{Z} \]

则

对任意整数 $a$，有 $m \mid a-a$
若 $m \mid a-b$，则 $m \mid b-a$
若 $m \mid a-b$，$m \mid b-c$，则 $m \mid a-c$

所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个等价关系。显然 $a$ 与 $b$ 等价当且仅当 $a$ 与 $b$ 被 $m$ 除有相同的余数，因此称这个关系为 同余关系 ，并记作 $a \equiv b(\bmod m)$

设 $a \in \mathbb{Z}$，则

\[ \begin{aligned} {[a]} & =\{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \quad(\bmod m)\} \\ & =\{x \in \mathbb{Z} \mid m| x-a\} \\ & =\{a+m z \mid z \in \mathbb{Z}\} \end{aligned} \]

$[a]$ 称为整数集 $\mathbb{Z}$ 的一个（与 $a$ 同余的）模 m 剩余类 ，在数论中，$[a]$ 常记作 $\bar{a}$，而相应的商集称为 $\mathbb{Z}$ 的模 m 剩余类集，记作 $\mathbb{Z}_{m}$
由

\[ \bar{a}=\bar{b} \Longleftrightarrow m \mid a-b \]

易得

\[ \begin{array}{l} \overline{0}=\{\cdots,-2 m,-m,0,m,2 m,\cdots\},\\ \overline{1}=\{\cdots,-2 m+1,-m+1,1,m+1,2 m+1,\cdots\},\\ \cdots \cdots \\ \overline{m-1}=\{\cdots,-2 m-1,-m-1,-1,m-1,2 m-1,\cdots\} \end{array} \]

是模 $m$ 的全体不同的剩余类，所以

\[ \mathbb{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} \]

分类¶

如果非空集合 $S$ 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 $S$ 的一种分类，其中每个子集称为 $S$ 一个类。如果 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类，则记作 $\mathcal{P}=\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 由此定义可知，集合 $S$ 的子集族 $\left\{S_{i} \mid i \in I\right\}$ 构成 $S$ 的一种分类当且仅当

$S=\bigcup_{i \in I} S_{i}$
$S_{i} \cap S_{j}=\varnothing$，$i \neq j$

第一个条件说明 $\left\{S_{i}\right\}$ 这些子集 无遗漏地包含 了 $S$ 的全部元素，第二个条件说明两个不同的子集无公共元素，从而 $S$ 的元素属于且仅属于一个子集

这表明，$S$ 的一个分类必须满足 不漏不重 的原则

分类与等价关系的关系¶

集合 $S$ 的任何一个等价关系都确定了 $S$ 的一种分类，且其中每一个类都是集合 $S$ 的一个等价类。
反之，集合 $S$ 的任何一种分类也都给出了集合 $S$ 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。
也就是说，一个集合的分类可以通过等价关系来描述；另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示

等价关系数目¶

如果用 $B(n)$ 表示一个具有 $n$ 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式：

\[ B(n+1)=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} B(k),\quad n \geqslant 1 \]

其中 $\mathrm{C}_{n}^{k}$ 为二项式系数，并规定 $B(0)=1,B(1)=1$

怎么理解：这个递推公式的含义是，划分具有 $n+1$ 个元素的集合时，考虑第 $n+1$ 个元素，若其自成一类，则剩余 $n$ 个元素的划分方式就是 $B(n)$；若其从剩余 $n$ 个元素中选出 $1$ 个元素与之同类，则有 $\mathrm{C}_{n}^{1}$ 种选择方式，剩余 $n-1$ 个元素的划分方式就是 $B(n-1)$，共有 $\mathrm{C}_{n}^{1} B(n-1)$ 种划分方式；以此类推，若其从剩余 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素与之同类，则有 $\mathrm{C}_{n}^{k} B(k)$ 种划分方式。所有这些情况加起来就是 $B(n+1)$

群的概念¶

代数运算¶

设 $A$ 是一个非空集合，若对 $A$ 中任意两个元素 $a,b$，通过某个法则“$\cdot$”，有 $A$ 中唯一确定的元素 $c$ 与之对应，则称法则“$\cdot$”为集合 $A$ 上的一个 代数运算 。元素 $c$ 是 $a,b$ 通过运算“$\cdot$” 作用的结果，将此结果记为 $a \cdot b=c$

换句话说代数运算满足封闭性和唯一性：

$\forall a,b \in A$，$a\cdot b\in A$
若 $a_1\cdot b_1=c_1$，$a_2\cdot b_2=c_2$，$a_1=a_2$，$b_1=b_2$，则必有 $c_1=c_2$

群的定义¶

设 $G$ 是一个非空集合，“$\cdot$”是 $G$ 上的一个代数运算，即

(G0) 对所有的 $a,b \in G$，有 $a \cdot b \in G$。

如果 $G$ 的运算还满足

(G1) 结合律，即对所有的 $a,b,c \in G$，有 $(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)$
(G2) $G$ 中有元素 $e$，使对每个 $a \in G$，有 $e \cdot a=a \cdot e=a$
(G3) 对 $G$ 中每个元素 $a$，存在元素 $b \in G$，使 $a \cdot b=b \cdot a=e$

则称 $G$ 关于运算“$\cdot$”构成一个群，记作 $(G,\cdot)$。在不致引起混淆的情况下，也称 $G$ 为群。

(G2) 中的元素 $e$ 称为群 $G$ 的 单位元 或恒等元；
(G3) 中的元素 $b$ 称为 $a$ 的逆元
群 $G$ 的单位元 $e$ 和每个元素的逆元都是唯一的
$G$ 中元素 $a$ 的唯一的逆元通常记作 $a^{-1}$
如果群 $G$ 的运算还满足交换律，即对任意的 $a$，$b \in G$，有 $a \cdot b=b \cdot a$，则称 $G$ 是一个 交换群 或 阿贝尔群
群 $G$ 中元素的个数称为群 $G$ 的阶，记为 $|G|$。如果 $|G|$ 是有限数，则称 $G$ 为 有限群 ，否则称 $G$ 为 无限群
当群 $G$ 的运算用加号“+”表示时，通常将 $G$ 的单位元记作 $0$，并称 $0$ 为 $G$ 的零元；将 $a \in G$ 的逆元记作 $-a$，并称 $-a$ 为 $a$ 的负元
习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群
相应地，将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积。在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写
今后，如不作特别声明，总假定群的运算是乘法

群表¶

形如下表的表通常称为群的 乘法表 ，也称群表或 凯莱表。人们常用群表来表示有限群的运算

$\circ$	$e$	$\cdots$	$b$	$\cdots$
$e$	$e$	$\cdots$	$b$	$\cdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\ddots$
$a$	$a$	$\cdots$	$a \circ b$	$\cdots$

在一个群表中，

表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）
表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面）
表的最左列按同样的次序列出群的所有元素
表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积
注意，在乘积 $a \circ b$ 中，左边的因子 $a$ 是左列上的元素，右边的因子 $b$ 是最上面一行的元素
由群表很容易确定一个元素的逆元素
如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群

群的性质¶

设 $G$ 为群，则有

群 $G$ 的单位元是唯一的
群 $G$ 的每个元素的逆元是唯一的
对任意的 $a \in G$，有 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
对任意的 $a,b \in G$，有 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
在群中消去律成立，即设 $a,b,c \in G$，如果 $a b=a c$，或 $b a=c a$，则 $b=c$

设 $G$ 是群，那么对任意的 $a,b \in G$，方程

\[ a x=b \quad \text{及} \quad y a=b \]

在 $G$ 中都有唯一解

方幂¶

群的定义中的结合律表明，群中三个元素 $a,b,c$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成：$a b c$。进一步可知，在群 $G$ 中，任意 $k$ 个元素 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 $a_{1} a_{2} \cdots a_{k}$。据此，可以定义群的元素的方幂：

乘群¶

对任意的正整数 $n$，定义

\[ a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{个} a} \]

再约定

\[ \begin{aligned} a^{0} & =e,\\ a^{-n} & =\left(a^{-1}\right)^{n} \quad(n \text{为正整数}), \end{aligned} \]

则 $a^{n}$ 对任意整数 $n$ 都有意义，并且不难证明，对任意的 $a \in G$，$m,n \in \mathbf{Z}$，有下列的指数法则：

$a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}$
$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n m}$
如果 $G$ 是交换群，则 $(a b)^{n}=a^{n} b^{n}$

加群¶

当 $G$ 是加群时，元素的方幂则应改写为倍数

\[ \begin{aligned} n a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text{个} a}\\ 0 a=0,\\ (-n) a=n(-a) \end{aligned} \]

相应地，指数法则变为倍数法则，

$n a+m a=(n+m) a$
$m(n a)=(m n) a$
$n(a+b)=n a+n b$

因为加群是交换群，所以第三条总是成立的

群的判定¶

设 $G$ 是一个具有代数运算的非空集合，则 $G$ 关于所给的运算构成群的 充分必要条件 是
- $G$ 的运算满足结合律
- $G$ 中有一个元素 $e$（称为 $G$ 的左单位元），使对任意的 $a \in G$，有 $e a=a$
- 对 $G$ 的每一个元素 $a$，存在 $a^{\prime} \in G$（称为 $a$ 的左逆元），使 $a^{\prime} a=e$。这里 $e$ 是 $G$ 的左单位元
换句话说，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群。同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 $G$，如果满足结合律，有右单位元，且 $G$ 中每个元素有右逆元，则 $G$ 也构成群
设 $G$ 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 $G$ 构成群的 充分必要条件 是对任意的 $a,b \in G$，方程

\[ a x=b \quad \text{与}\quad y a=b \]

在 $G$ 中都有解
设 $G$ 是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果 $G$ 满足结合律，且两个消去律成立，则 $G$ 构成群
- 要注意的是，如果没有有限的条件，一个具有代数运算的集合，仅仅满足结合律和两个消去律，并不一定构成群

常用例子¶

整数集 $\mathbf{Z}$ 关于数的加法构成群，这个群称为整数加群
全体非零有理数的集合 $\mathbf{Q}^{*}$ 关于数的乘法构成交换群
全体非零实数的集合 $\mathbf{R}^{*}$ 关于数的乘法也构成交换群
全体非零复数的集合 $\mathbf{C}^{*}$ 关于数的乘法也构成交换群
全体 $n$ 次单位根组成的集合

\[ \begin{aligned} U_{n} & =\left\{x \in \mathbf{C} \mid x^{n}=1\right\} \\ & =\left\{\left.\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right\rvert\,k=0,1,2,\cdots,n-1\right\} \end{aligned} \]

关于数的乘法构成一个 $n$ 阶交换群，通常称这个群为 n 次单位根群
设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，记

\[ \mathbf{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} \]

则 $\mathbf{Z}_{m}$ 关于剩余类的加法构成加群，这个群称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 剩余类加群
设 $m$ 是大于 $1$ 的正整数，记

\[ U(m)=\left\{\bar{a} \in \mathbf{Z}_{m} \mid(a,m)=1\right\} \]

则 $U(m)$ 关于剩余类的乘法构成群，群 $(U(m),\cdot)$ 称为 $\mathbf{Z}$ 的模 $m$ 单位群，显然这是一个交换群，不一定是循环群。当 $p$ 为素数时，$U(p)$ 常记作 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，易知

\[ \mathbf{Z}_{p}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\} \]

这是一个循环群，$U(m)$ 的阶等于欧拉函数 $\phi(m)$

子群¶

子群的定义¶

设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 关于 $G$ 的运算也构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的一个子群，记作 $H<G$

对任意群 $G$，$G$ 本身以及只含单位元 $e$ 的子集 $H=\{e\}$ 是 $G$ 的子群，这两个子群称为 $G$ 的 平凡子群 。群 $G$ 的其他子群称为 $G$ 的 非平凡子群
群 $G$ 的不等于它自身的子群称为 $G$ 的 真子群
设 $m$ 是一个整数，令

\[ H=\{m z \mid z \in \mathbf{Z}\} \]

则 $H$ 为整数加群 $\mathbf{Z}$ 的子群。这个群称为由 $m$ 所 生成的子群 ，常记作 $m \mathbf{Z}$ 或 $\langle m\rangle$

子群的判定¶

由于群 $G$ 的运算满足结合律，所以结合律在 $G$ 的任何关于 $G$ 的运算封闭的非空子集 $H$ 上都成立。于是，由群的定义知，如果群 $G$ 的非空子集 $H$ 满足下列条件，则 $H$ 是群 $G$ 的子群：
- $H$ 在群的运算下封闭
- $H$ 有单位元
- $H$ 包含它的每个元素的逆元
设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的 非空子集 ，则 $H$ 成为群 $G$ 的子群的 充分必要条件 是
- 对任意 $a,b \in H$，有 $a b \in H$
- 对任意 $a \in H$，有 $a^{-1} \in H$
设 $G$ 为群，$H$ 是群 $G$ 的 非空子集 ，则 $H$ 成为 $G$ 的子群的 充分必要条件 是
- 对任意的 $a,b \in H$，有 $a b^{-1} \in H$

子群的性质¶

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，则
- 群 $G$ 的单位元 $e$ 是 $H$ 的单位元；
- 对任意的 $a \in H$，$a$ 在 $G$ 中的逆元 $a^{-1}$ 就是 $a$ 在 $H$ 中的逆元
设 $G$ 为群，记

\[ C(G)=\{g \in G \mid g x=x g,\forall x \in G\} \]

则 $C(G)$ 是 $G$ 的子群。称 $C(G)$ 为 $G$ 的中心。
设 $a$ 是群 $G$ 的元素，定义 $a$ 在 $G$ 中的 中心化子 为

\[ C(a)=\{g \in G \mid g a=a g\} \]

则 $C(a)$ 是 $G$ 的子群，且满足

\[ C(G)=\bigcap_{a \in G} C(a) \]
群 $G$ 的任意两个子群的交集一定是 $G$ 的子群
群 $G$ 的任意两个子群的并集 不一定 是 $G$ 的子群

生成子群¶

生成子群的定义¶

设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，令 $M$ 表示 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群所组成的集合，即

\[ M=\{H < G \mid S \subseteq H\} \]

本身显然包含 $S$，所以 $G \in M$，从而 $M$ 非空。令

\[ K=\bigcap_{H \in M} H \]

则 $K$ 是 $G$ 的子群，称 $K$ 为群 $G$ 的由子集 $S$ 所生成的子群，简称 生成子群 ，记作 $\langle S\rangle$，即

\[ \langle S\rangle=\bigcap_{S \subseteq H < G} H \]

子集 $S$ 称为 $\langle S\rangle$ 的 生成元组

如果 $S=\left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\}$ 为有限集，则记

\[ \langle S\rangle=\left\langle a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\right\rangle \]

生成子群的性质¶

设 $S$ 是群 $G$ 的非空子集，则

$\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群
$\langle S\rangle=\left\{a_{1}^{l_{1}} a_{2}^{l_{2}} \cdots a_{k}^{l_{k}} \mid a_{i} \in S, l_{i}= \pm 1, k \in \mathbf{N}\right\}$

特别注意 ：上式中的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 可以取重复的值。若我们用不重复的 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 来表示，那么这个乘法式子可能是无限长（因为不一定有交换律），不太好表示了。

特例¶

当 $S$ 只包含群 $G$ 的一个元素 $a$ 时，由于

\[ a^{l_{1}} a^{l_{2}} \cdots a^{l_{k}}=a^{\sum_{i=1}^{k} l_{i}} \]

所以

\[ \langle a\rangle=\left\{a^{r} \mid r \in \mathbf{Z}\right\} \]

这种由一个元素 $a$ 生成的子群称为由 $a$ 生成的 循环群
当 $S$ 只包含群 $G$ 的两个元素 $a,b$，且 $a b=b a$，则

\[ \langle a,b\rangle=\left\{a^{m} b^{n} \mid m,n \in \mathbf{Z}\right\} \]

群的同构¶

同构的定义¶

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一一对应，使

\[ \phi(a \cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b),\quad \forall a,b \in G, \]

则称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个 同构映射 ，简称同构，并称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构，记作

\[ \phi: \, G \cong G^{\prime} \]

群 $G$ 到它自身的同构映射称为群 $G$ 的 自同构 ，恒等同构是自同构
同构映射一定是可逆变换（双射），且其逆映射也是同构映射
同构的群之间可以有不止一个同构映射
在群同构的定义中，虽然使用了同一个符号“ $\cdot$ ”表示群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的运算，但事实上，$a \cdot b$ 与 $\phi(a) \cdot \phi(b)$ 分别是在群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 中进行的运算，一般来说它们是不相同的

证明两个群同构的步骤¶

构造群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 单映射 。即对任意的 $x,y \in G$，证明由 $\phi(x)=\phi(y)$ 可推出 $x=y$
证明 $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 满映射 。即对任意的 $x^{\prime} \in G^{\prime}$，证明存在 $x \in G$，使 $\phi(x)=x^{\prime}$
证明 $\phi$ 保持运算 。即对任意的 $x,y \in G$，证明 $\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)$

同构的性质¶

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a$ 是 $G$ 的任一元素，则
- $\phi(e)=e^{\prime}$
- $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
- $\phi$ 是可逆映射，且 $\phi$ 的逆映射 $\phi^{-1}$ 是群 $G^{\prime}$ 到群 $G$ 的同构映射
设群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 同构
- 如果 $G$ 是交换群（Abel 群），则 $G^{\prime}$ 也是交换群
- 如果 $G$ 是有限群，则 $G^{\prime}$ 也是有限群，且 $|G|=\left|G^{\prime}\right|$
群的同构是一个等价关系，即对群 $G,G^{\prime},G^{\prime \prime}$
- 反身性：$G \cong G$
- 对称性：若 $G \cong G^{\prime}$，则 $G^{\prime} \cong G$
- 传递性：若 $G \cong G^{\prime}$，$G^{\prime} \cong G^{\prime \prime}$，则 $G \cong G^{\prime \prime}$
- 注意：同构关系是等价关系，映射不是等价关系！

变换群¶

变换群的定义¶

非空集合 $X$ 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 $S_x$ 称为集合 $X$ 的 对称群 ，$S_x$ 的任一子群称为 $X$ 的一个 变换群。

凯莱定理¶

每一个群都同构于一个变换群。

证明凯莱定理，需要先构造一个变换群，如对于群 $G$，$a \in G$，定义变换 $\phi_{a}$ 为

\[ \phi_{a}(x)=a x \quad(x \in G) \]

则 $\phi_{a}$ 是 $G$ 到 $G$ 的一个变换。令

\[ G_{l}=\{\phi_{a} \mid a \in G\} \]

则可以证明 $G_{l}$ 是对称群 $S_{G}$ 的一个子群，即 $G_{l}$ 是群 $G$ 的一个变换群。又可以证明 $G_{l} \cong G$，即群 $G$ 同构于它的变换群 $G_{l}$

变换群 $G_{l}$ 称为群 $G$ 的 左正则表示，变换 $\phi_{a}$ 称为群 $G$ 由元素 $a$ 所定义的 左平移。

循环群¶

群的阶¶

阶的定义¶

设 $G$ 是一个群，$e$ 是 $G$ 的单位元，$a \in G$。如果存在正整数 $r$，使 $a^{r}=e$，则称 $a$ 是 有限阶 的，否则称 $a$ 是 无限阶 的。使 $a^{r}=e$ 的最小正整数 $r$ 称为元素 $a$ 的阶，记作 $\operatorname{ord} a=r$。如果 $a$ 是无限阶的，则记作 $\operatorname{ord} a=\infty$。

在任何一个群中，单位元的阶总是 $1$
在整数加群 $\mathbf{Z}$ 中，除零元 $0$ 外，每个元素都是无限阶的

阶的性质¶

设 $G$ 为群，$e$ 为 $G$ 的单位元
- 对任意的 $a \in G$，有 $\operatorname{ord} a=\operatorname{ord} a^{-1}$
- 设 $\operatorname{ord} a=n$，如果有 $m \in \mathbf{Z}$，使 $a^{m}=e$，则 $n \mid m$
- 设 $\operatorname{ord} a=n$，则对任意的 $m \in \mathbf{Z}$，$\operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n,m)}$
- 设 $\operatorname{ord} a=n$，$\operatorname{ord} b=m$，如果 $a b=b a$，且 $\operatorname{gcd}(n,m)=1$，则 $\operatorname{ord}(a b)=m n$
其中 $(n,m)$ 与 $\operatorname{gcd}(n,m)$ 表示 $n$ 与 $m$ 的最大公约数
设 $G$ 是一个有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，$a$ 是有限阶的，且 $\operatorname{ord} a\mid \left| G \right|$，即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。

循环群¶

循环群的定义¶

设 $G$ 是群，如果存在 $a \in G$，使得 $G=\langle a\rangle$（a 的生成子群），则称 $G$ 为一个 循环群 ，并称 $a$ 为 $G$ 的一个 生成元 。当 $G$ 的元素个数无限时，称 $G$ 为 无限循环群 ；当 $G$ 的元素个数为 $n$ 时，称 $G$ 为 n 阶循环群。

整数加群 $\mathbf{Z}$ 是无限循环群
设 $m$ 为正整数，则模 $m$ 剩余类加群 $\mathbf{Z}_{m}$ 是 $m$ 阶循环群
$n$ 次单位根群 $U_{n}$ 是一个 $n$ 阶循环群

由循环群的定义可知：

$\langle a\rangle = \langle a^{-1}\rangle$
如果 $G$ 是循环群，则 $G = \langle a\rangle \Leftrightarrow |G| = \operatorname{ord} a$，即 $G$ 的阶等于 $a$ 的阶
如果 $G$ 是无限循环群，则 $G = \{e, a, a^{-1}, a^{2}, a^{-2}, \cdots\}$，且对 $k, l \in \mathbf{Z}$，有 $a^{k} = a^{l} \Leftrightarrow k = l $
如果 $G$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G = \{e, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}\}$，且对 $k, l \in \mathbf{Z}$，有 $a^{k} = a^{l} \Leftrightarrow k \equiv l(\bmod n)$

循环群的性质¶

设 $p$ 为素数，则 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 是 $p-1$ 阶循环群。对于循环群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$，如果 $\bar{a}$ 是 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$ 的生成元，则称数 $a$ 是 $\mathbf{Z}$ 的一个 模 p 原根
设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，则
- 如果 $|G|=\infty$，则 $a$ 与 $a^{-1}$ 是 $G$ 的两个仅有的生成元
- 如果 $|G|=n$，则 $G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元，且 $a^{r}$ 是 $G$ 的生成元的充分必要条件是 $(n,r)=1$，其中，$\phi(n)$ 是欧拉函数
原根判定定理：设 $m \geqslant 3$，$(g,m)=1$，则 $g$ 是模 $m$ 的原根的充要条件是，对于 $\varphi(m)$ 的每个素因数 $p$，都有 $g^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not \equiv 1(\bmod m)$
循环群的任一子群也是循环群
设 $\operatorname{ord} a=n$，$r$ 是任一整数。如果 $(n,r)=d$，则

\[ \left\langle a^{r}\right\rangle=\left\langle a^{d}\right\rangle \]
设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群，
- 如果 $|G|=\infty$，则 $G$ 的全部子群为
  
  \[ \left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d=0,1,2,\cdots\right\} \]
- 如果 $|G|=n$，则 $G$ 的全部子群为
  
  \[ \left\{\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d \mathrm{为} n \mathrm{的正因子}\right\} \]

循环群的结构定理¶

设 $G$ 为循环群

如果 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群，则 $G \cong(\mathbf{Z},+)$
如果 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则 $G \cong\left(\mathbf{Z}_{n},+\right)$

置换群与对称群¶

前面提到非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 $X$ 的对称群 $S_X$，并且把 $S_X$ 的任一子群叫做 $X$ 的一个变换群。如果 $X$ 是由 $n$ 个元素组成的有限集合，则通常把的一个可逆变换叫做一个 $n$ 阶置换，称 $S_X$ 为 n 次对称群 ，并把 $S_X$ 记作 $S_n$（因为集合 $X$ 有哪些元素与群的特性无关），同时称 $S_n$ 的子群为 置换群 。

定理：每一个有限群都同构于一个置换群

置换¶

由于集合 $X$ 的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以可不妨记

\[ X=\{1,2,3,\cdots,n\} \]

设 $\sigma$ 为 $X$ 的任一置换，如果 $\sigma$ 把 $1$ 映成 $k_{1}$，$2$ 映成 $k_{2}$，……，$n$ 映成 $k_{n}$，则可以把这个置换记作

\[ \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{n} \end{array}\right) \]

如果固定第一行元素的次序，则第二行就是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列，且 每一个置换都唯一对应了一个这样的排列 。反之，每一个 $n$ 阶排列也可按上式得到唯一的一个 $n$ 阶置换。由于 $n$ 个数共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列，所以 $n$ 个元素的集合共有 $n!$ 个 $n$ 阶置换。换句话说，$n$ 次对称群 $S_{n}$ 的阶是 $n!$，即 $|S_{n}|=n!$。

置换的合成¶

置换的乘法习惯上总是按 从右到左 的顺序进行的。在本教材中，总是按从右到左的顺序计算置换的乘法。

两个置换 $\sigma,\tau$ 的乘积 $\sigma \cdot \tau$ 是按通常映射合成的法则进行的，即

\[ (\sigma \cdot \tau)(i)=\sigma(\tau(i)),\quad i=1,2,\cdots,n \]

它是先用 $\tau$ 作用于 $i$，再用 $\sigma$ 作用于 $\tau(i)$

当 $n \geqslant 3$ 时，$S_{n}$ 都不是交换群

置换的性质¶

设置换

\[ \tau=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \end{array}\right) \]

则对任一 $n$ 阶置换 $\sigma$，

\[ \sigma \tau \sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(k_{n}\right) \end{array}\right) \]

轮换¶

设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换，如果存在 $1$ 到 $n$ 中的 $r$ 个不同的数 $i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}$，使

\[ \sigma\left(i_{1}\right)=i_{2},\sigma\left(i_{2}\right)=i_{3},\cdots,\sigma\left(i_{r-1}\right)=i_{r},\sigma\left(i_{r}\right)=i_{1} \]

并且 $\sigma$ 保持其余的元素不变，则称 $\sigma$ 是一个长度为 $r$ 的轮换，简称 $r$ 轮换，记作

\[ \sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right) \]

2 轮换称为对换
1 轮换就是 恒等置换，并且显然有 $(1)=(2)=\cdots=(n)$
轮换的表示一般不是唯一的 $.$ 例如，置换

\[ \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\ 2 & 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 7 \end{array}\right) \]

可分别表示为

\[ \begin{aligned} \sigma & =\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 2 & 4 & 6 & 1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 6 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ \end{aligned} \]

轮换的性质¶

设 $\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)$ 与 $\tau=\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{s}\right)$ 是两个轮换，如果

\[ i_{k} \neq j_{l},\quad k=1,2,\cdots,r;\,l=1,2,\cdots,s \]

则称 $\sigma$ 与 $\tau$ 为两个 不相交 的轮换
- 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的
- 一个置换不一定就是轮换，但是每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
- 将一个置换分解为不相交轮换的乘积，如果不考虑因子的次序和乘积中 $1$ 轮换的个数，则这个分解式是唯一的
对于轮换的乘积，容易证明下面一些有用的等式：

\[ \begin{array}{l} (k\ l)(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d) \\ (k\ l)(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)\\ (k\ c \cdots d)(k\ a \cdots b)=(k\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ (k\ l\ c \cdots d)(k\ l\ a \cdots b)=(k\ c \cdots d)(l\ a \cdots b) \\ (l\ k\ c \cdots d)(k\ l\ a \cdots b)=(k)(l\ a \cdots b\ c \cdots d) \\ \end{array} \]
- 其中 $a,\cdots,b,c,\cdots,d,k,l$ 为互不相同的正整数
- 注意置换是从右到左
如果 $\sigma$ 是一个 $r$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=r$
如果 $\sigma$ 是一些不相交轮换的乘积

\[ \sigma=\sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{s} \]

其中 $\sigma_{i}$ 是 $r_{i}$ 轮换，则 $\operatorname{ord} \sigma=\left[r_{1},r_{2},\cdots,r_{s}\right]$
每个置换都可表为对换的乘积
将一个置换表为对换的乘积，表法一般不唯一
将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。可表成偶数个对换的乘积的置换叫 偶置换 ，可表成奇数个对换的乘积的置换叫 奇置换
- 任何两个偶（奇）置换之积是偶置换
- 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换
- 一个偶（奇）置换的逆置换仍是一个偶（奇）置换
- 当 $n>1$ 时，在全体 $n$ 阶置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个
- 在 $S_{n}$ 中，全体偶置换构成 $S_{n}$ 的子群，称为 n 次交代群 ，记作 $A_{n}$

子群的陪集¶

子集的运算¶

乘积¶

设 $A$ 与 $B$ 是群 $G$ 的两个非空子集，称集合

\[ A B=\{a b \mid a \in A,b \in B\} \]

为群的子集 $A$ 与 $B$ 的乘积。如果 $g$ 为群 $G$ 的一个元素，$A=\{g\}$，则 $A B$ 与 $B A$ 分别简记为

\[ g B=\{g b \mid b \in B\} \quad \mathrm{和} \quad B g=\{b g \mid b \in B\} \]

和¶

当 $G$ 为加群时，上述记号应相应地改为

\[ \begin{aligned} A+B & =\{a+b \mid a \in A,b \in B\},\\ g+A & =\{g+a \mid a \in A\},\\ A+g & =\{a+g \mid a \in A\} \end{aligned} \]

并称 $A+B$ 为 $A$ 与 $B$ 的和

简单性质¶

“和”有交换律

\[ A+B=B+A,\quad g+A=A+g \]
当群 $G$ 不是交换群时，$A B$ 与 $B A$ 一般是不相同的；即使 $A B=B A$，也并不意味着对任意的 $a \in A$，$b \in B$，一定有 $a b=b a$，$A B=B A$ 的意思是，对任意的 $a \in A, b \in B$，存在 $a^{\prime} \in A, b^{\prime} \in B$，使 $a b=b^{\prime} a^{\prime}$
由 $A B=A C$，一般不能推出 $B=C$
设 $A,B,C$ 是群 $G$ 的非空子集，$g$ 是群 $G$ 的一个元素，则
- $A(B C)=(A B) C$
- 如果 $g A=g B$ 或 $A g=B g$，则 $A=B$
- 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，则 $H \cdot H=H$
- 如果 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群，则 $A B$ 也是群 $G$ 的子群的充分必要条件是 $A B=B A$

陪集¶

陪集的定义¶

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。对任意的 $a \in G$，群 $G$ 的子集

\[ a H=\{a h \mid h \in H\} \quad \mathrm{与} H a=\{h a \mid h \in H\} \]

分别称为 $H$ 在 $G$ 中的 左陪集 和 右陪集

$H$ 的一个陪集一般不是 $G$ 的子群
$G$ 的两个不同的元素可能生成 $H$ 的同一个左陪集
$H$ 的一个左陪集 $aH$ 一般不等于相应的右陪集 $Ha$

陪集的性质¶

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，$a,b \in G$，则

$a \in a H$
$a H=H$ 的充分必要条件是 $a \in H$
$a H$ 为子群的充分必要条件是 $a \in H$
$a H=b H$ 的充分必要条件是 $a^{-1} b \in H$
$a H$ 与 $b H$ 或者完全相同，或者无公共元素
$|a H|=|b H|$

由此定理可以知道，群 $G$ 可表示成子群 $H$ 的一些互不相交的左陪集之并。因此，群 $G$ 的子群 $H$ 的全体左陪集的集合组成群 $G$ 的一个分类，即

\[ G=\bigcup_{g_{i} \in G} g_{i} H \]

其中 $g_{i}$ 取遍 $H$ 的不同陪集的代表元素。特别地，如果 $G$ 为有限群，则

\[ |G|=\sum_{i=1}^{t}\left|g_{i} H\right|=\sum_{i=1}^{t}|H|=t|H| \]

其中 $t$ 为 $H$ 的不同左陪集的个数

左陪集与右陪集¶

相应的结论对右陪集也成立，特别地：

\[ H a=H b \Longleftrightarrow b a^{-1} \in H \]

用 $G / H$ 与 $H \backslash G$ 分别表示 $H$ 的全体左陪集和全体右陪集组成的集合，即

\[ \begin{aligned} G / H=\{g H \mid g \in G\} \\ H \backslash G=\{H g \mid g \in G\} \end{aligned} \]

则两者间有下述关系

\[ \begin{aligned} \phi: \quad G / H & \longrightarrow H \backslash G,\\ a H & \longmapsto H a^{-1} \end{aligned} \]

是 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的 一一对应

拉格朗日定理¶

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群。称子群 $H$ 在群 $G$ 中的左陪集或右陪集的个数（有限或无限）为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记作 $[G:H]$
拉格朗日定理：设 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的子群，则

\[ |G|=|H|[G:H] \]
- 拉格朗日定理说明，有限群 $G$ 的子群 $H$ 的阶数与它在 $G$ 中的指数，都是群 $G$ 的阶数的因子
- 设 $G$ 是有限群，则 $G$ 中每一个元素的阶都是 $|G|$ 的因子
- 设 $G$ 为有限群，$|G|=n$，则对任意的 $a \in G$，有 $a^{n}=e$
  - 应用到模 $p$ 单位群 $\mathbf{Z}_{p}^{*}$（$p$ 是素数），可以得到 费马小定理：设 $p$ 为素数，则对任意一个与 $p$ 互素的整数 $a$，有
    
    \[ a^{p-1} \equiv 1 \quad(\bmod p) \]
- 应用拉格朗日定理，可以推测在一个有限群中，可能有怎样阶数的子群与元素，只是一种可能性，不能仅仅依据这种可能性，就断定这样的子群或元素一定存在

各阶群的结构¶

一阶群是循环群：$G=\{e\}$
二阶群是循环群：$G=\{e, a\} = \langle a\rangle$
三阶群是循环群：$G=\{e, a, a^2\} = \langle a\rangle$
四阶群是循环群或克莱因四元群：
- $G=\{e, a, a^2, a^3\} = \langle a\rangle$
- $G=\{e,a,b,ab\}$，$ab=ba$，$a^2=b^2=e$
五阶群是循环群：$G=\{e, a, a^2, a^3, a^4\} = \langle a\rangle$
六阶群是循环群或三次对称群
- $G=\{e, a, a^2, a^3, a^4, a^5\} = \langle a\rangle$
- $G \cong S_3 = \{(1), (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$

正规子群与商群¶

正规子群¶

正规子群的定义¶

设 $H$ 是群 $G$ 的子群，如果对每个 $a \in G$，都有 $a H=H a$，则称 $H$ 是群 $G$ 的一个 正规子群 或 不变子群 ，记作 $H \triangleleft G$

条件 $a H=H a$ 仅仅表示两个集合 $a H$ 与 $H a$ 相等，即对任意的 $h \in H$，存在 $h^{\prime} \in H$，使 $a h=h^{\prime} a$；不可推出 $a h=h a$ 对 $H$ 中所有的元素 $h$ 都成立
群 $G$ 的单位元群 $\{e\}$ 和群 $G$ 本身都是 $G$ 的正规子群，这两个正规子群称为 $G$ 的 平凡正规子群
如果群 $G$ 只有平凡的正规子群，且 $G \neq{e}$，则称 $G$ 为单群

正规子群的性质¶

如果 $G$ 是 交换群 ，则 $G$ 的一切子群都是 $G$ 的正规子群
设 $H, K$ 都是 $G$ 的子群，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群且 $H \subseteq K$，则 $H$ 也是 $K$ 的正规子群
设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的子群，如果 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]=2$，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群
若 $H$ 是 $K$ 的正规子群，$K$ 是 $G$ 的正规子群，$H$ 不一定是 $G$ 的正规子群（正规子群没有传递性）

正规子群的判定¶

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子群，则下列四个条件等价：
- $H$ 是 $G$ 的正规子群
- 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1}=H$
- 对任意的 $a \in G$，有 $a H a^{-1} \subseteq H$
- 对任意的 $a \in G$，$h \in H$，有 $a h a^{-1} \in H$
设 $G$ 为群，$H_{1}$，$H_{2}$ 是 $G$ 的正规子群，则

\[ H_{1} \cap H_{2} \mathrm{与} H_{1} H_{2} \]

都是 $G$ 的正规子群
- 事实上，前面提到，两个子群的交一定是子群，而两个子群的合成要是子群的充分必要条件是可交换。而只要其中一个子群是正规子群，那么就是可交换的

商群¶

陪集的乘法¶

正规子群的基本特点是：它的每一个左陪集与相应的右陪集完全一致。因此，对于群 $G$ 的正规子群 $H$，可不必区分它的左陪集 $a H$ 与右陪集 $H a$，而直接称 $a H$ 或 $H a$ 为它的一个陪集。用 $G / H$ 表示它的所有陪集组成的集合，即

\[ G / H=\{a H \mid a \in G\} \]

下面规定 $G / H$ 的运算，以使 $G / H$ 关于给定的运算构成群。

对任意的 $a H, b H \in G / H$，规定：

\[ (a H) \cdot(b H)=(a b) H \]

设 $a^{\prime} H=a H$，$b^{\prime} H=b H$，则

\[ \begin{aligned} a^{\prime} H \cdot b^{\prime} H & =\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) H=a^{\prime}\left(b^{\prime} H\right)=a^{\prime}(b H)=a^{\prime}(H b) \\ & =\left(a^{\prime} H\right) b=(a H) b=a(H b)=(a b) H\\\ & =a H \cdot b H \end{aligned} \]

所以 $H$ 的任意两个陪集 $a H$ 与 $b H$ 的乘积是唯一确定的，并且与 $a$ 与 $b$ 的选择无关，所以上述乘法是 $G / H$ 的一个代数运算。

商群的定义¶

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群。$H$ 的所有陪集 $G / H$ 关于陪集的乘法 $a H \cdot b H=(a b) H$ 构成的群称为群 $G$ 关于子群 $H$ 的商群，仍记作 $G / H$，即

\[ G / H=\{a H \mid a \in G\} \]

商群 $G / H$ 的单位元是 $e H(=H)$
$a H$ 在 $G / H$ 中的逆元是 $a^{-1} H$

商群的性质¶

设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的任一子群。如果 $G$ 是交换群，则商群 $G / H$ 也是交换群。由于 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G:H]$ 就是 $H$ 在 $G$ 中的陪集的个数，所以 $|G / H|= [G:H]$。特别地，当 $G$ 是有限群时

\[ |G / H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|} \]
- 有限群 $G$ 的商群的阶是群 $G$ 的阶数的因子。
- $\mathbf{Z}$ 关于 $\langle m\rangle$ 的商群 $\mathbf{Z}/\langle m\rangle$ 就是 $\mathbf{Z}$ 关于模 $m$ 的剩余类加群 $\mathbf{Z}_m$，因此有
\[ \mathbf{Z}/\langle m\rangle=\mathbf{Z}_m \]

群的同态与同态基本定理¶

群同态¶

群同态定义¶

设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射。如果对任意的 $a,b \in G$ 有

\[ \phi(a b)=\phi(a) \phi(b) \]

则称 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个 同态映射 ，简称同态

当同态映射 $\phi$ 是满射时，称 $\phi$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 满同态
当同态映射 $\phi$ 是单射时，称 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 单同态
群的同构映射一定是既单且满的同态映射；反之，当群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射 $\phi$ 既是单同态又是满同态时，$\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同构映射
在上式中，虽然用同一个记号“$\cdot$”来表示群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的运算，但这不表示等式两边的运算 $a b$ 与 $\phi(a) \phi(b)$ 是一样的，而是分别表示群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的运算。
自然同态：设 $G$ 为群，$H$ 是 $G$ 的正规子群，对商群 $G / H$，令

\[ \begin{aligned} \eta:G & \longrightarrow G / H,\\ a & \longrightarrow a H, \end{aligned} \]

则 $\eta$ 是满映射，且对任意 $a$，$b \in G$，有

\[ \eta(a b)=(a b) H=a H \cdot b H=\eta(a) \eta(b) \]

所以 $\eta$ 是 $G$ 到它的商群 $G / H$ 的同态映射。通常称这样的同态映射为自然同态。

群同态的性质¶

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单位元，$a \in G$，则

$\phi$ 将 $G$ 的单位元映到 $G^{\prime}$ 的单位元，即 $\phi(e)=e^{\prime}$
$\phi$ 将 $a$ 的逆元映到 $\phi(a)$ 的逆元，即 $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$
设 $n$ 是任一整数，则 $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n}$
如果 $\operatorname{ord} a$ 有限，则 $\operatorname{ord} \phi(a) \mid \operatorname{ord} a$

象和原象¶

设 $\phi$ 为群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的映射，$A, B$ 分别为 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的非空子集，记

\[ \begin{aligned} \phi(A) & =\{\phi(x) \mid x \in A\},\\ \phi^{-1}(B) & =\{x \in G \mid \phi(x) \in B\} \end{aligned} \]

则 $\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别是 $G^{\prime}$ 与 $G$ 的非空子集。$\phi(A)$ 与 $\phi^{-1}(B)$ 分别称为子集 $A$ 与 $B$ 在 $\phi$ 下的象与原象
- 注意，$\phi^{-1}(B)$ 仅仅是一个集合的记号，并不表示映射 $\phi$ 是可逆的
设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 同态映射 ，$H$ 与 $K$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的子群，则
- $\phi(H)$ 是 $G^{\prime}$ 的子群
- $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的子群
- 如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $\phi(H)$ 是 $\phi(G)$ 的正规子群
- 如果 $K$ 是 $G^{\prime}$ 的正规子群，则 $\phi^{-1}(K)$ 是 $G$ 的正规子群

核¶

设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映射，$e^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元，则称 $e^{\prime}$ 在 $G$ 中的原象

\[ \phi^{-1}\left(\left\{e^{\prime}\right\}\right)=\left\{a \in G \mid \phi(a)=e^{\prime}\right\} \]

为同态映射 $\phi$ 的核，记作 $\operatorname{Ker} \phi$

群同态基本定理¶

设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的满同态，$K=\operatorname{Ker} \phi$，则

\[ G / K \cong G^{\prime} \]

应用群同态基本定理证明群的同构，一般有以下五个步骤：

建立群 $G$ 与群 $G^{\prime}$ 的元素之间的对应关系 $\phi$，并证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射
证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 满映射
证明 $\phi$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的 同态映射，即证明保持运算
计算同态的核 $\operatorname{Ker} \phi$
应用群同态基本定理得 $G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}$

第二同构定理¶

设 $H$ 为 $G$ 的子群，$K$ 为 $G$ 的正规子群，则 $H \cap K$ 是 $H$ 的正规子群且

\[ H /(H \cap K) \cong H K / K \]

第三同构定理¶

设 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，$K$ 是 $G$ 的正规子群，且 $K \subseteq H$，则

\[ (G / K) /(H / K) \cong G / H \]

群的直积¶

外直积¶

外直积的定义¶

设 $G_{1},G_{2}$ 是两个群，构造集合 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的卡氏积

\[ G=\left\{\left(a_{1},a_{2}\right) \mid a_{1} \in G_{1},a_{2} \in G_{2}\right\} \]

并在 $G$ 中定义乘法运算

\[ \left(a_{1},a_{2}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2}\right)=\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2}\right),\quad\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right) \in G \]

则 $G$ 关于上述定义的乘法构成群，称为群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的 外直积 ，记作 $G=G_{1} \times G_{2}$

如果 $e_{1},e_{2}$ 分别是群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的单位元，则 $\left(e_{1},e_{2}\right)$ 是 $G_{1} \times G_{2}$ 的单位元
设 $\left(a_{1},a_{2}\right) \in G$，则 $\left(a_{1},a_{2}\right)^{-1}=\left(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}\right)$
当 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是加群时，$G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积也可记作 $G_{1} \oplus G_{2}$

外直积的性质¶

设 $G=G_{1} \times G_{2}$ 是群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积，则
- $G$ 是有限群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是有限群。
- 当 $G$ 是有限群时，有
  
  \[ |G|=\left|G_{1}\right| \cdot\left|G_{2}\right| \]
- $G$ 是交换群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是交换群
- $G_{1} \times G_{2} \cong G_{2} \times G_{1}$
设 $G_{1}$，$G_{2}$ 是两个群，$a$ 和 $b$ 分别是 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 中的有限阶元素，则对于 $(a,b) \in G_{1} \times G_{2}$，有

\[ \operatorname{ord}(a,b)=[\operatorname{ord} a,\operatorname{ord} b] \]
设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 分别是 $m$ 阶及 $n$ 阶的循环群，则 $G_{1} \times G_{2}$ 是循环群的充要条件是 $(m,n)=1$

内直积¶

内直积的定义¶

设 $H$ 和 $K$ 是群 $G$ 的正规子群。如果群 $G$ 满足条件

\[ G=H K,\quad H \cap K=\{e\} \]

则称 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的 内直积

内直积的判定¶

设 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的子群，则 $G$ 是 $H$ 和 $K$ 的内直积的充分必要条件是 $G$ 满足如下两个条件：

$G$ 中每个元素可唯一地表为 $h k$ 的形式，其中 $h \in H$，$k \in K$
$H$ 中每个元素与 $K$ 中任意元素可交换，即：对任意 $h \in H$，$k \in K$，有 $h k=k h$

内外直积的关系¶

如果群 $G$ 是正规子群 $H$ 和 $K$ 的内直积，则 $H \times K \cong G$

反之，如果群 $G=G_{1} \times G_{2}$，则存在 $G$ 的正规子群 $G_{1}^{\prime}$ 和 $G_{2}^{\prime}$，且 $G_{i}^{\prime}$ 与 $G_{i}$ 同构 $(i=1,2)$，使得 $G$ 是 $G_{1}^{\prime}$ 与 $G_{2}^{\prime}$ 的内直积

从本定理中可看到，内外直积的概念本质上是一致的，所以有时可不对内外直积加以区分，而统称为群的直积

多个群的直积¶

设 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 是有限多个群。构造集合

\[ G=\left\{\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \mid a_{i} \in G_{i},i=1,2,\cdots,n\right\} \]

并在 $G$ 中定义运算

\[ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2},\cdots,a_{n} b_{n}\right) \]

则 $G$ 关于上述运算构成群，称为群 $G_{1},G_{2},\cdots,G_{n}$ 的外直积
设 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 是群 $G$ 的有限多个正规子群。如果 $G$ 满足以下两个条件，就称 $G$ 是 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积：
- $G=H_{1} H_{2} \cdots H_{n}=\left\{h_{1} h_{2} \cdots h_{n} \mid h_{i} \in H_{i}\right\}$
- $\left(H_{1} H_{2} \cdots H_{i}\right) \cap H_{i+1}=\{e\},i=1,2,\cdots,n-1$（任意两个交起来都是单位群）
对于多个群的直积，如果群 $G$ 是有限多个子群 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的内直积，则 $G$ 同构于 $H_{1},H_{2},\cdots,H_{n}$ 的外直积

\(\circ\)	\(e\)	\(\cdots\)	\(b\)	\(\cdots\)
\(e\)	\(e\)	\(\cdots\)	\(b\)	\(\cdots\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)
\(a\)	\(a\)	\(\cdots\)	\(a \circ b\)	\(\cdots\)

第一章 群¶

等价关系与集合的分类¶

二元关系¶

等价关系¶

等价类¶

同余关系与剩余类¶

分类¶

分类与等价关系的关系¶

等价关系数目¶

群的概念¶

代数运算¶

群的定义¶

群表¶

群的性质¶

方幂¶

乘群¶

加群¶

群的判定¶

常用例子¶

子群¶

子群的定义¶

子群的判定¶

子群的性质¶

生成子群¶

生成子群的定义¶

生成子群的性质¶

特例¶

群的同构¶

同构的定义¶

证明两个群同构的步骤¶

同构的性质¶

变换群¶

变换群的定义¶

凯莱定理¶

循环群¶

群的阶¶

阶的定义¶

阶的性质¶

循环群¶

循环群的定义¶

循环群的性质¶

循环群的结构定理¶

置换群与对称群¶

置换¶

置换的合成¶

置换的性质¶

轮换¶

轮换的性质¶

子群的陪集¶

子集的运算¶

乘积¶

和¶

简单性质¶

陪集¶

陪集的定义¶

陪集的性质¶

左陪集与右陪集¶

拉格朗日定理¶

各阶群的结构¶

正规子群与商群¶

正规子群¶

正规子群的定义¶

正规子群的性质¶

正规子群的判定¶

商群¶

陪集的乘法¶

商群的定义¶

商群的性质¶

群的同态与同态基本定理¶

群同态¶

群同态定义¶

群同态的性质¶

象和原象¶

核¶

群同态基本定理¶

第二同构定理¶

第三同构定理¶

群的直积¶

外直积¶

外直积的定义¶

第一章群¶