第一章 线性方程组与矩阵

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1.1 线性方程组的消元法

数域

• 数集：设 \(F\) 为一个数集，如果 \(F\) 中任意两个数作某种运算的结果仍属于 \(F\)，称数集 \(F\) 对这种运算封闭。

  \[ \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \]

• 数域：设 \(F\) 是包含 0 和 1 的数集，若 \(F\) 对四则运算封闭，则称 \(F\) 为一个数域，记为 \(F\).

  • 任何数域必定包含有理数域

线性方程组

• 线性方程组：形如

  \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \qquad\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

  的方程组称为一个 \(m\) 行 \(n\) 列的线性方程组，简记为 \(m \times n\) 的线性方程组或线性系统。其中，\(a_{ij},b_i \in F\)；\(i=1,2,\cdots,m\)；\(j=1,2,\cdots,n\)；\(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 为未知变量，\(a_{ij}\) 表示第 \(i\) 个方程中第 \(j\) 个未知数 \(x_j\) 前面的系数，\(b_i\) 称为第 \(i\) 个方程的常数项.

• 方程组的解与解集：

  • 若存在一组数 \(c_1,c_2,\cdots,c_n \in F\) 满足方程组每个方程，则称 \(x_1 = c_1,x_2 = c_2,\cdots,x_n = c_n\) 为该方程组的一组解或一个解，记为 \((c_1,c_2,\cdots,c_n)\)。
  • 方程组的全体解所构成的集合称为该方程组的解集。
• 同解方程组：如果两个方程组的解集相同，则称这两个方程组为同解方程组或称两个方程组同解.
• 线性方程组的消元法（高斯消元法）：
  1. 把第一个变量的系数不为 0 的方程作为方程组的第一个方程，用第一个方程的倍数加到其余方程，使其余方程的第一个变量消失，化为新方程组；
  2. 在新方程组中，选择第二个变量的系数不为 0 的方程作为新方程组的第二个方程，用此第二个方程的倍数加到下面其余方程，使第二个变量消失；
  3. 继续这样的步骤，有限步之后得到阶梯状结构的方程组；
  4. 观察此阶梯状结构方程组中的最后一个非零方程，从而可判断方程组解的情况：唯一解、无解、无穷多解

1.2 矩阵的概念和矩阵的初等行变换

矩阵

• 矩阵：由 \(m\times n\) 个数 \(a_{ij}\in F\) 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表，形如

  \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \quad 或 \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \]

  称为域数 \(F\) 上一个 \(m\times n\) 的矩阵，记为 \((a_{ij})_{m×n}\) 或 \([a_{ij}]_{m×n}\)。其中每个数称为矩阵的一个 元素，\(a_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 列交叉位置上的元素，也说成 \((i,j)\) 位置上的元素。

  • 通常也用大写的黑体英文字母 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C},\dots\) 表示矩阵，如矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m\times n}\) 或 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n}\).
  • 特别地，\(1 \times 1\) 的矩阵与数等同，即 \((a)_{1 \times 1}=a\)
  • 增广矩阵：若线性方程组对应系数矩阵为 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n}\)，常数项列向量为 \(\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T\)，则将系数矩阵与常数项列向量并列组成的矩阵称为该线性方程组的增广矩阵，记为:
  \[ \tilde{\boldsymbol{A}} = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\ \hline\vphantom{\Big|} & & \text{系数矩阵} & & \text{常数项} \\ \end{array} \right) \]

• 矩阵相等：设矩阵 \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}\)，\(\boldsymbol{B} = (b_{ij})_{s \times t}\)。如果 \(m = s\)，\(n = t\)，则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 同型。若矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 同型，且 \(a_{ij} = b_{ij}\)，则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相等，记作 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\)。

常用矩阵

• 零矩阵：元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 \(\boldsymbol{O}_{m \times n}\) 或 \(\boldsymbol{O}\).
• 行矩阵和列矩阵: 仅有一行（列）的矩阵，称为行（列）矩阵，也称为行（列）向量.
• 方阵: 行数和列数相同的矩阵。\(n\) 阶方阵记为 \(\boldsymbol{A}_{n}\)，其中从 \((1,1)\) 位置到 \((n,n)\) 位置的直线称为方阵的 主对角线。主对角线上的元素称为 主对角元。

• 对角矩阵: \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})_n\) 中，\(a_{ii} = 0\)，\(i \neq j\)，称 \(\boldsymbol{A}\) 为对角矩阵，简称对角阵，即

  \[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & & \\ & a_{22} & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix} \]

  未标出的元素为 \(0\)，简记为 \(\boldsymbol{A} = \operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})\).

• 单位矩阵: 主对角元均为 \(1\) 的对角矩阵称为单位矩阵，记为 \(\boldsymbol{E}_n\) 或 \(\boldsymbol{I}_n\)，即

  \[ \boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix} \]

• 数量矩阵：主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵，记为 \(k \boldsymbol{E}_n\)，其中 \(k \in F\)，即

  \[ k \boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} k & & \\ & k & \\ & & \ddots & \\ & & & k \end{pmatrix} \]

• 三角矩阵：主对角线上方（下方）元素全为零的方阵称为上（三）角矩阵

  • 上三角矩阵：

    \[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix},a_{ij} = 0,i > j \]

  • 严格上三角矩阵：主对角元也为 0 的上三角矩阵，即 \(a_{ij} = 0,i \geq j\)

  • 下三角矩阵与严格下三角矩阵类似，此处略
  • 对称与反对称矩阵：
  • 对称矩阵：若方阵 \(\boldsymbol{A}\) 满足 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^\intercal\)，则称 \(\boldsymbol{A}\) 为对称矩阵，即 \(a_{ij} = a_{ji}\)
  • 反对称矩阵：若方阵 \(\boldsymbol{A}\) 满足 \(\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{A}^\intercal\)，则称 \(\boldsymbol{A}\) 为反对称矩阵，即 \(a_{ij} = -a_{ji}\)，且 \(a_{ii} = 0\)

矩阵的初等行变换

• 矩阵的初等行变换：
  • 交换矩阵的两行： \(r_i \leftrightarrow r_j\)
  • 某一行乘以非零常数： \(k r_i \quad (k \neq 0)\)
  • 某一行加上另一行的若干倍： \(r_j + k r_i\)（注意不能写成 \(k r_i + r_j\)）
• 行阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵：
  • 行阶梯形矩阵（简称：阶梯形矩阵）：
    1. 所有零行（元素全为零的行）都在非零行的下方；
    2. 每个非零行的首个非零元（称为该行的主元）位于其前一行主元的右侧。
  • 简化行阶梯形矩阵（简称：简化阶梯形矩阵、行最简形、规范阶梯形、厄密特（Hermite）标准形）：
    1. 是阶梯形矩阵；
    2. 主元均为 \(1\) ；
    3. 主元所在列的其他元素均为 \(0\)。
  • 任何一个矩阵都可经过初等行变换化为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵.

1.3 线性方程组解的判别与求法

解的判别

• 高斯消元法：线性方程组对应的增广矩阵 \(\tilde{\boldsymbol{A}}\) 通过初等行变换化为一个（简化）阶梯形矩阵，通过（简化）阶梯形矩阵求解线性方程组的方法，称为线性方程组的高斯消法.
  • 线性方程组的高斯消元法得到的新方程组与原方程组 同解.
• 解的判别：对于 \(m \times n\) 的线性方程组，设其增广矩阵化成阶梯形有 \(r\) 个非零行，对应系数矩阵部分有 \(s\) 个非零行，则：
  • 一般地，线性方程组有解的充要条件是 \(s = r\)，且：
    1. \(s = r = n\)，有唯一解；
    2. \(s = r < n\)，有无穷多解；
    3. \(s < r\)，无解.
  • 对于 齐次线性方程组，由于其增广矩阵的最后一列全为零，所以初等行变换在这一列不会引进非零元，从而增广矩阵经初等行变化到阶梯形矩阵时，其非零行必是系数矩阵的非零行，即 \(s=r\) 总是成立。因此有如下推论：
    1. \(s=n\)，有唯一零解；
    2. \(s<n\)，有无穷多解；
    3. \(m<n\)，必有非零解.

解的求法

• 非齐次线性方程组的求解:
  1. 对增广矩阵作初等行变换化到阶梯形；
  2. 判断解的情况；
  3. 有解时，进一步作初等行变换化到简化阶梯形；
  4. 若有唯一解，可直接写出；
  5. 若有无穷多解，写出简化阶梯形对应的方程组，从而确定自由未知量，写出所有解（称为一般解）
• 齐次线性方程组的求解：
  1. 对系数矩阵进行初等行变换化到阶梯形；
  2. 判断解的情况；
  3. 若只有零解，则直接写出；
  4. 若有非零解，则写出简化阶梯形对应的方程组，从而确定自由未知量，写出所有解（称为基础解系）