第六章 实二次型¶
6.1 二次型的基本概念及化二次型为标准形¶
二次型及其矩阵表示¶
-
二次型：称含 \(n\) 个变量 \(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\) 的二次齐次函数
\[ \begin{aligned} f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=&a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+2a_{1n}x_{1}x_{n}+\\ &a_{22}x_{2}^{2}+2a_{23}x_{2}x_{3}+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2} \end{aligned} \]为一个 \(n\) 元二次型，简称二次型。
- 实二次型：系数 \(a_{ij}\in\mathbb{R}\)
- 复二次型：系数 \(a_{ij}\in\mathbb{C}\)
-
标准二次型：只含平方项的二次型
\[ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2} \] -
规范二次型：各项的系数为 \(1\)，\(-1\) 或 \(0\) 的标准二次型
- 矩阵表示：设 \(a_{ij}=a_{ji}\)（\(i,j=1,2,\cdots,n\)），则二次型可表示为
\[ \begin{aligned} f=&a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{1}x_{n}+\\ &a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{2n}x_{2}x_{n}+\\ &\cdots+\\ &a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \end{aligned} \]又设矩阵
\[ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix} \]则 \(\boldsymbol{A}\) 为实对称矩阵，且
\[ f=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \]称上式为二次型 \(f\) 的 矩阵表示式，则二次型 \(f\) 与实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 一一对应。
-
称实对称阵 \(\boldsymbol{A}\) 为二次型 \(f\) 的矩阵，\(\boldsymbol{A}\) 的秩 \(r(\boldsymbol{A})\) 为 \(f\) 的秩，记作 \(r(f)\)，即
\[ r(f)=r(\boldsymbol{A}). \] -
标准二次型的矩阵
\[ \boldsymbol{A}_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}&&&\\ &a_{22}&&\\ &&\ddots&\\ &&&a_{nn}\end{pmatrix} \] -
规范二次型的矩阵：其中 \(r=r(\boldsymbol{A}_{2})=r(f)\)。
\[ \boldsymbol{A}_{2}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{p}&&&\\ &-\boldsymbol{E}_{r-p}&&\\ &&&\boldsymbol{0}\end{pmatrix} \]
二次型的非奇异线性替换¶
-
非奇异的线性替换：设 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) 为 \(n\) 维向量，\(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{P}\) 为可逆矩阵，称
\[ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y} \]为 非奇异（非退化）的线性替换。
合同矩阵¶
-
合同矩阵：设 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在 \(F\) 上的 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 使得
\[ \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} \]则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 合同。
-
合同矩阵的性质：
- 方阵的合同关系是一种 等价关系：
- 反身性：\(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{A}\)
- 对称性：若 \(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{B}\)，则 \(\boldsymbol{B}\) 也合同于 \(\boldsymbol{A}\)
- 传递性：若 \(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{B}\)，\(\boldsymbol{B}\) 又合同于 \(\boldsymbol{C}\)，则 \(\boldsymbol{A}\) 也合同于 \(\boldsymbol{C}\)
- 若 \(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{B}\)，则 \(r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\)
- 若 \(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{B}\) 且 \(\boldsymbol{A}\) 为对称阵，则 \(\boldsymbol{B}\) 也是对称阵。
-
一个二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 经非奇异线性替换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}\) 仍变为一个二次型 \(f=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\)，且它们的矩阵合同，即
\[ \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} \]
- 方阵的合同关系是一种 等价关系：
化二次型为标准二次型的方法¶
- 二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 化为标准二型的问题等同于实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 合同到对角矩阵的问题。
-
定理：任何一个二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 必存在 正交线性替换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}\)（\(\boldsymbol{Q}\) 为正交矩阵），使得新变量的二次型 \(\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q})\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{y}\) 为标准二次型。即
\[ \begin{aligned} f&=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\\ &\xlongequal{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}} \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q})\boldsymbol{y}\\ &\xlongequal{\boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}} \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{y}\\ &=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2} \end{aligned} \]其中 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\) 是实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值。
-
正交替换法：对任何二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)，首先求实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的正交相似对角阵 \(\boldsymbol{Q}\) ，然后用 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}\) 表示新变量，即可化为标准二次型，步骤如下：
- 求出实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的全部特征值 \(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)，它们的代数重数分别为 \(n_{1},n_{2},\cdots,n_{s}\)，\(\sum_{i=1}^{s}n_{i}=n\)
-
对每个特征值 \(\lambda_{i}\)，求出齐次线性方程组 \((\lambda_{i}\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的基础解系
\[ \boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_{i}},\quad i=1,2,\cdots,s \] -
对 \(\boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_{i}}\) 正交化、单位化得 \(\boldsymbol{\varepsilon}_{i1},\boldsymbol{\varepsilon}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{in_{i}}\)，即得到两两正交的单位特征向量
\[ \boldsymbol{\varepsilon}_{11},\boldsymbol{\varepsilon}_{12},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{1n_{1}},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{s1},\boldsymbol{\varepsilon}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{sn_{s}} \] -
则 \(\boldsymbol{Q}\) 为正交矩阵
\[ \boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{\varepsilon}_{11},\boldsymbol{\varepsilon}_{12},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{1n_{1}},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{s1},\boldsymbol{\varepsilon}_{s2},\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_{sn_{s}}) \] -
进行正交替换
\[ \boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y} \] -
则新变量的二次型为标准二次型
\[ f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{y}=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2} \]
-
定理 设二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)，则存在非奇异线性替换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}\) 化 \(f\) 为标准二次型。
- 二次型经配方法化为标准形时，标准形各项的系数可以是不唯一的，它们不必是二次型矩阵的特征值，与所作的非退化线性替换有关。
- 几何意义：二次曲线方程经非奇异线性替换化为标准形方程时，曲线的度量（大小和形状）可能会改变。
- 配方法：对任何二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)
- 若 \(f\) 中平方项的系数不全为零时，不妨设 \(x_{i}^2\) 系数不为零，则可通过配方使余下的二次型为不含 \(x_{i}\) 的 \(n-1\) 元二次型，进而可继续用配方使余下的二次型为不含 \(x_{i-1}\) 的 \(n-2\) 元二次型，依此类推，最后可化为标准形。
- 若 \(f\) 中所有平方项的系数都为零，而 \(x_{i}x_{j}\) 的项的系数不为零，则可先用一次 非奇异性替换 使得 \(f\) 中出现系数不为零的平方项，然后使用同样方法配方，最后可化为标准形。
6.2 惯性定理与正定二次型¶
惯性定理¶
- 惯性定理：任何实二次型必存在非奇异线性替换化二次型为规范标准形，且规范标准形是唯一的。
- 几何意义：二次曲线（二次曲面）方程经非奇异线性替换化为标准方程时，标准方程的系数与所作的线性替换有关，但曲线（曲面）的类型（如椭圆型，双曲型等）是不会因所作的线性替换不同而改变。
- 惯性指数：设二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\)，\(r(f)=r\)，经非奇异线性替换化 \(f\) 为标准形，则：
- 正惯性指数：\(f\) 的标准形中正项的个数，记为 \(p\)
- 负惯性指数：\(q=r-p\)
- 符号差：\(s=p-q\)
-
性质：二次型的正惯性指数、负惯性指数和符号差与所作的非奇异线性替换无关
-
任何实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}_{n}\) 都合同于对角矩阵
\[ \mathrm{diag}(\underbrace{1,\cdots,1}_{p\text{个}},\underbrace{-1,\cdots,-1}_{r-p\text{个}},\underbrace{0,\cdots,0}_{n-r\text{个}})=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{p}&&\\ &-\boldsymbol{E}_{r-p}&\\ &&\boldsymbol{0}\end{pmatrix}_{n} \] -
两个 \(n\) 元二次型 \(f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 与 \(g=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}\) 有相同的秩及正惯性指数的 充分必要条件 为存在非奇异线性替换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}\)，使
\[ f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\xlongequal{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}}\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}=g \] -
\(n\) 阶实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 合同于 \(\boldsymbol{B}\) 的充分必要条件为 \(r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})\)，且 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 的正惯性指数相等。
-
正定二次型¶
-
正定二次型与正定矩阵：设 \(n\) 元二次型
\[ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} \]若对任意非零向量 \(\boldsymbol{x}_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}}\)，都有
\[ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})=\boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{0}>0 \]则称二次型 \(f\) 为 正定二次型，并称其矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为 正定矩阵。
- 性质：实二次型 \(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\) 经非奇异线性替换后其正定性不改变。
- 顺序主子式：设矩阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\)，则称由 \(\boldsymbol{A}\) 的前 \(k\) 行前 \(k\) 列构成的 \(k\) 阶行列式（\(1\leqslant k\leqslant n\)）
\[ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix} \]为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(k\) 阶顺序主子式。
-
正定矩阵判定定理：设 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵，则下述命题等价：
- \(\boldsymbol{A}\) 为正定矩阵
- \(\boldsymbol{A}\) 的特征值全大于零
- \(\boldsymbol{A}\) 合同于单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)
- 存在非奇异矩阵 \(\boldsymbol{M}\)，使得 \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{M}\)
- 推论：若 \(n\) 阶实对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 正定，则 \(|\boldsymbol{A}|>0\)。
- 正定二次型判定定理：对应实对称矩阵为正定矩阵，正惯性指数 \(p=r=n\)。
- 标准二次型 \(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=k_{1}x_{1}^{2}+k_{2}x_{2}^{2}+\cdots+k_{n}x_{n}^{2}\) 正定的充分必要条件为 \(k_{i}>0\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。
-
一般 \(n\) 元二次型
\[ f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} \]正定的充分必要条件为其矩阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}\) 的各阶顺序主子式全大于零。即
\[ |a_{11}|>0,\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}>0,\quad\cdots,\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}>0 \]
其他二次型¶
-
半正定二次型与半正定矩阵：对任意非零列向量 \(\boldsymbol{x}_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}}\)，都有
\[ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})=\boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{0}\geq0 \] -
负定二次型与负定矩阵：对任意非零列向量 \(\boldsymbol{x}_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}}\)，都有
\[ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})=\boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{0}<0 \] -
半负定二次型与半负定矩阵：对任意非零列向量 \(\boldsymbol{x}_{0}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}}\)，都有
\[ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})=\boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{0}\leq0 \] -
不定二次型与不定矩阵：存在非零向量 \(\boldsymbol{x}_{1}=(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})^{\mathrm{T}}\neq\boldsymbol{0}\) 及 \(\boldsymbol{x}_{2}=(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n})^{\mathrm{T}}\neq\boldsymbol{0}\)，使得
\[ f(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n})=\boldsymbol{x}_{1}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{1}>0, \]且
\[ f(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n})=\boldsymbol{x}_{2}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{2}<0, \] -
说明：
- \(f\) 是（半）负定二次型的充要条件是 \(-f\) 为（半）正定二次型。
- \(f\) 为不定二次型的充要条件为其正惯性指数 \(p\) 满足 \(0<p<r(f)\)。