第二章 矩阵¶
2.1 矩阵的运算¶
矩阵的线性运算¶
- 数乘：设矩阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n}\)，\(k \in F\)，称矩阵 \((ka_{ij})_{m \times n}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与数 \(k\) 的数量乘积，简称数乘，记为 \(k\boldsymbol{A}\)。特别地，将 \((-1)\boldsymbol{A}\) 记为 \(-\boldsymbol{A}\)，称为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的 负矩阵.
- 加法：设矩阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m \times n}\)，\(\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{m \times n}\) 是两个同型矩阵，则称矩阵 \(\boldsymbol{C}=(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的和，记为 \(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\)，称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的差为 \(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B})\).
- 线性性质：设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\) 为数域 \(F\) 上的同型矩阵，\(k\)，\(l\) \(\in F\)，则
- \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\)（加法交换律）
- \((\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\)（加法结合律）
- \(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{O} = \boldsymbol{O} + \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\)
- \(\boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{O}\)
- \(1\cdot\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\)
- \(k(l\boldsymbol{A}) = (kl)\boldsymbol{A} = (lk)\boldsymbol{A} = l(k\boldsymbol{A})\)
- \(k(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = k\boldsymbol{A} + k\boldsymbol{B}\)
- \((k + l)\boldsymbol{A} = k\boldsymbol{A} + l\boldsymbol{A}\)
矩阵的乘法¶
-
定义：设数域 \(F\) 上的矩阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_{m \times n}\)，\(\boldsymbol{B} =(b_{ij})_{n \times s}\)，则称矩阵 \(\boldsymbol{C} =(c_{ij})_{m \times s}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 的积，记为 \(\boldsymbol{C} =\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)，其中
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \] -
乘法性质：设矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n},\boldsymbol{B}_{n \times s},\boldsymbol{C}_{s \times t}\)，\(k \in F\) 为数，假设以下运算均可进行，则：
- \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{O}_{n \times s} = \boldsymbol{O}_{m \times s}\)，\(\boldsymbol{O}_{s \times m}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}_{s \times n}\)
- \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_n = \boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{E}_m\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}\)
- \(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) = (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}\)（乘法结合律）
- \((k\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = k(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}(k\boldsymbol{B})\)
- \(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\boldsymbol{C}\)（左分配律），\((\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{C} + \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}\)（右分配律）
- 相乘可换：若两个矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 满足 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\)，则称 \(\boldsymbol{A}\) 与 \(\boldsymbol{B}\) 相乘可换。
方阵的幂¶
- 定义：设 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}_n\)，则 \(k\) 个 \(\boldsymbol{A}\) 相乘称为 \(\boldsymbol{A}\) 的 \(k\) 次幂，记为 \(\boldsymbol{A}^k = \underbrace{\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}}_{k \text{ 个}}\).
- 规定 \(\boldsymbol{A}^0 = \boldsymbol{E}\).
- 幂的性质：设方阵 \(\boldsymbol{A}_n\)，\(k,l \in \mathbb{N}\)，则
- \(\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{A}^{k+l}\)
- \((\boldsymbol{A}^k)^l = \boldsymbol{A}^{kl}\)
- \(\boldsymbol{E}^k = \boldsymbol{E}\)
- 一般地，\((\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^k \neq \boldsymbol{A}^k\boldsymbol{B}^k\)
- 由函数决定的方正的多项式：设 \(f(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \cdots + a_0\) 是域数 \(F\) 上关于 \(x\) 的 \(m\) 次多项式，\(A\) 是方阵，\(E\) 为与 \(A\) 同阶的单位矩阵，称 \(f(A) = a_m A^m + a_{m-1} A^{m-1} + \cdots + a_0 E\) 是由 \(f(x)\) 决定的方阵 \(A\) 的多项式。
矩阵的转置¶
- 定义：设数域 \(F\) 上的矩阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_{m \times n}\)，则称矩阵 \(\boldsymbol{A}^T =(a_{ji})_{n \times m}\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的转置矩阵，记为 \(\boldsymbol{A}^T\) 或 \(\boldsymbol{A}^\prime\).
- 转置的性质：设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C},\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots, \boldsymbol{A}_m\) 均为矩阵，\(k \in F\)，假设下列运算均可进行，则：
- \((\boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}\)
- \((\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})^T = \boldsymbol{B}^T + \boldsymbol{C}^T\)
- \((k\boldsymbol{A})^T = k\boldsymbol{A}^T\)
- \((\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}_2 \cdots \boldsymbol{A}_m)^T = \boldsymbol{A}_m^T \cdots \boldsymbol{A}_2^T \boldsymbol{A}_1^T\)
- 若 \(\boldsymbol{A}\) 是方阵，则 \((\boldsymbol{A}^m)^T = (\boldsymbol{A}^T)^m\)
- \(\boldsymbol{A} 为对称矩阵 \Longleftrightarrow \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{A}\) 为反对称矩阵 \(\Longleftrightarrow \boldsymbol{A}^T = -\boldsymbol{A}\)
方阵的迹¶
- 迹：设 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_n\)，则称 \(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\) 为方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的迹，记为 \(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ii}\).
- 迹的性质：设 \(\boldsymbol{A},9\boldsymbol{B}\) 均为 \(n\) 阶方阵，\(k \in F\)，则：
- \(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A}) + \operatorname{tr}(\boldsymbol{B})\)
- \(\operatorname{tr}(k\boldsymbol{A}) = k\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})\)
- \(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})\)
- \(\operatorname{tr}(\boldsymbol{A}^T) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})\)
2.2 方阵的行列式¶
行列式的定义¶
-
二阶行列式：设二阶方阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{2\times 2}\)，称
\[ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \]为二阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的行列式，称为二阶行列式，记为 \(|\boldsymbol{A}|\) 或 \(\operatorname{det}\boldsymbol{A}\)，相应的 \(a_{ij}\) 称为该行列式的元素。通常用字母 \(D\) 来表示行列式。
-
三阶行列式：三阶方阵 \(\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{3\times 3}\) 的行列式
\[ |\boldsymbol{A}| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| = a_{11} \left| \begin{array}{cc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| - a_{12} \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{array} \right| + a_{13} \left| \begin{array}{cc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{array} \right| \] -
n 阶行列式:
- 余子式：设 \(n\) 阶行列式 \(D = |a_{ij}|_n\)，去掉第 \(i\) 行第 \(j\) 列所余下的 \((n-1)\) 阶行列式称为元素 \(a_{ij}\) 的余子式，记为 \(M_{ij}\)
- 代数余子式：定义 \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)，称为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式
-
行列式的定义：对 \(n\) 阶行列式 \(D = |a_{ij}|_n\)
-
按第 \(i\) 行展开有
\[ D = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \] -
按第 \(j\) 列展开有
\[ D = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \]
-
行列式的性质¶
- 方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的行列式 \(|\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{A}^T|\)
- 交换一个方阵的某两行（列），其行列式的值变号
- 如果一个方阵的两行（列）相等，则其行列式的值为 0
- 方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的某一行（列）乘以 \(k\)，即 \(\boldsymbol{A} \xrightarrow{kr_i} \boldsymbol{B}\)，则 \(|\boldsymbol{B}| = k |\boldsymbol{A}|\)
- 若行列式中某一行（列）有公因子，则该公因子可提到行列式符号外面
- 若行列式中某两行（列）成比例，则该行列式的值为 0
- 若行列式中某一行（列）全为 0，则该行列式的值为 0
-
行列式中某行（列）的所有元素都是两个元素的和，则该行列式可表示为两个行列式之和，即
\[ \left| \begin{array}{c c c c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ b_{i 1} + c_{i 1} & b_{i 2} + c_{i 2} & \ldots & b_{i n} + c_{i n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \ldots & b_{i n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c c c c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & & \vdots \\ c_{i 1} & c_{i 2} & \ldots & c_{i n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array} \right| \] -
方阵 \(\boldsymbol{A}\) 的某行（列）加上另一行（列）的若干倍得到方阵 \(\boldsymbol{B}\)，即 \(\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_j + k r_i} \boldsymbol{B}\)，则 \(|\boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}|\)
-
设方阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_n\)，则 \(|\boldsymbol{A}|\) 等于 \(\boldsymbol{A}\) 的任一行（列）元素与其对应代数余子式乘积之和，即
\[ |\boldsymbol{A}| = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k} a_{ik} M_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} \]- 设方阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_n\)，则 \(\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 行（列）元素与第 \(j(\neq i)\) 行（列）对应代数余子式乘积之和为 0，即 \(\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0~(i \neq j)\)，\(\sum_{k=1}^n a_{ki} A_{kj} = 0~(i \neq j)\)
- 设 \(\boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{B}\) 均为 \(n\) 阶方阵，则有 \(|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B}|\)
特殊行列式¶
-
对角矩阵的行列式
\[ D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}=\prod_{i=1}^{n} a_{ii} \] -
三角矩阵的行列式：
\[ D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}=\prod_{i=1}^{n} a_{ii} \] -
Vandermonde 行列式：
\[ \begin{aligned} D_{n}&=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \ldots & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & \ldots & a_{n}^{n - 1} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & a_{2} - a_{1} & \ldots & a_{n} - a_{1} \\ 0 & a_{2}(a_{2} - a_{1}) & \ldots & a_{n}(a_{n} - a_{1}) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{2}^{n - 2}(a_{2} - a_{1}) & \ldots & a_{n}^{n - 2}(a_{n} - a_{1}) \end{array}\right| \\ &=\prod_{i=2}^{n}(a_{i} - a_{1})\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} \\ a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \ldots & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2}^{n - 2} & a_{3}^{n - 2} & \ldots & a_{n}^{n - 2} \end{array}\right| = \prod_{i=2}^{n}(a_{i} - a_{1}) D_{n-1} \\ &=\prod_ {1 \leq j < i \leq n} (a_{i} - a_{j}) \end{aligned} \] -
爪形行列式：
\[ \begin{aligned} D&=\left|\begin{array}{ccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ b_{1} & d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{2} & 0 & d_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n} & 0 & 0 & \cdots & d_{n} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ccccc} a_0-\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}b_{k}}{d_{k}} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ 0 & d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & d_{n} \end{array}\right| \\ &=\left(a_{0}-\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}b_{k}}{d_{k}}\right) d_{1} d_{2} \cdots d_{n} \end{aligned} \] -
三对角行列式：
\[ D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{1} & b_{1} & & & & \\ c_{2} & a_{2} & b_{2} & & & \\ & c_{3} & a_{3} & b_{3} & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} \\ & & & & c_{n} & a_{n} \end{array}\right| \]则有递推关系：\(D_{n} = a_{n} D_{n-1} - b_{n-1} c_{n} D_{n-2}\)，其中 \(D_{1} = a_{1}\)，\(D_{2} = a_{1} a_{2} - b_{1} c_{2}\)
-
除对角线外元素全相等的行列式：
\[ \begin{aligned} D&=\left|\begin{array}{cccc} a_{1} & b & \cdots & b \\ b & a_{2} & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & a_{n} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a_{1} & b & \cdots & b \\ 0 & b & a_{2} & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & b & b & \cdots & a_{n} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & b & b & \cdots & b \\ -1 & a_{1} - b & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & a_{2} - b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n} - b \end{array}\right| (爪形)\\ &=\left[1 + b \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i} - b}\right] \left(a_{1} - b\right)\left(a_{2} - b\right) \cdots \left(a_{n} - b\right) \end{aligned} \]
2.3 可逆矩阵¶
逆矩阵的定义与性质¶
- 逆矩阵：
- 对 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\)，若存在 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{B}\) 使得 \(\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{B A} = \boldsymbol{E}\)，则称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，\(\boldsymbol{B}\) 为 \(\boldsymbol{A}\) 的逆矩阵，记作 \(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{-1}\).
- 反之，若不存在这样的矩阵 \(\boldsymbol{B}\)，则称 \(\boldsymbol{A}\) 不可逆或奇异矩阵.
-
伴随矩阵：设 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A} =(a_{ij})_n\)，\(A_{ij}\) 是元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式，则称矩阵 \(\boldsymbol{A}^* =(A_{ji})_n\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的伴随矩阵.
\[ \boldsymbol{A}^* = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array} \right) \]- 即：代数余子式转置排列
- 对于 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\)，有 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\)，\(|\boldsymbol{A}^*| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}\)，\(\left(\boldsymbol{A}^T\right)^* = \left(\boldsymbol{A}^*\right)^T\)
- 方阵可逆的条件：
- 如果 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，则其逆矩阵唯一
- \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\) 可逆的充分必要条件是 \(|\boldsymbol{A}| \neq 0\)，且此时 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^*\)
- 对 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\)，若存在 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{B}\) 使得 \(\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}\)（或 \(\boldsymbol{B A} = \boldsymbol{E}\)），则 \(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}^{-1}\)
克拉默法则¶
-
克拉默（Cramer）法则：
- 设 \(n \times n\) 方程组 \(\boldsymbol{A}_n \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b}\)，其中 \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})_n\) 是系数矩阵，\(\boldsymbol{X} = (x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\) 是未知数列向量，\(\boldsymbol{b} = (b_1,b_2,\cdots,b_n)^T\) 是常数列向量.
-
若方程组的系数行列式 \(D = |\boldsymbol{A}| \neq 0\)，则方程组有唯一解：
\[ x_j = \frac{D_j}{D}, j = 1,2,3,\cdots,n \] -
其中 \(D_j\) 是将行列式 \(D\) 中的第 \(j\) 列替换成 \(\boldsymbol{b}\) 后得到的行列式，即
\[ D_j = \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \]
-
若 \(n \times n\) 的线性方程组 \(\boldsymbol{A}_{n} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b}\) 有唯一解，则方程组的系数行列式 \(D = |\boldsymbol{A}| \neq 0\)。
- \(|\boldsymbol{A}| \neq 0 \Rightarrow \boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}\) 只有零解
- \(|\boldsymbol{A}| = 0 \Rightarrow \boldsymbol{AX} = \boldsymbol{0}\) 有非零解
可逆矩阵的运算性质¶
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{A}_i\) 均为 \(n\) 阶可逆矩阵，\(k \in F\) 为非零常数，则：
- \((\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A}\)
- \(k\boldsymbol{A}\) 可逆，且 \((k\boldsymbol{A})^{-1} = \frac{1}{k}\boldsymbol{A}^{-1}\)
- \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) 可逆，且 \((\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}\)，\((\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}_2 \cdots \boldsymbol{A}_m)^{-1} = \boldsymbol{A}_m^{-1} \cdots \boldsymbol{A}_2^{-1} \boldsymbol{A}_1^{-1}\)
- \(\boldsymbol{A}^m\) 可逆，且 \((\boldsymbol{A}^m)^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^m\)
- \(\boldsymbol{A}^T\) 可逆，且 \((\boldsymbol{A}^T)^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^T\)
- \(|\boldsymbol{A}^{-1}| = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\)
2.4 分块矩阵¶
分块矩阵的定义¶
- 分块矩阵：把矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m\times n}\) 用若干条横线和竖线，分成若干小矩阵，每个小矩阵称为 \(\boldsymbol{A}\) 的一个子块，以这些子块为元素的形式上的矩阵称为 \(\boldsymbol{A}\) 的分块矩阵。
分块矩阵的运算¶
-
分块矩阵的加法和数乘：设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 均为 \(m \times n\) 的矩阵，\(k \in F\) 为一个数，\(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 采用完全相同的分块法，记它们的分块矩阵为 \(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t}\)，\(\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{B}_{ij})_{s \times t}\)，\(\boldsymbol{A}_{ij}\) 与 \(\boldsymbol{B}_{ij}\) 同型，则
\[ \begin{aligned} & \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}_{ij} + \boldsymbol{B}_{ij})_{s \times t} \\ & k\boldsymbol{A} = k(\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t} = (k\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t} \end{aligned} \] -
分块矩阵的乘法：设 \(\boldsymbol{A}_{m \times n},\boldsymbol{B}_{n \times p}\)，且 \(\boldsymbol{A}\) 的列的分块法与 \(\boldsymbol{B}\) 的行的分块法完全一致，记它们的分块矩阵为 \(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{r \times s}\)，\(\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{B}_{ij})_{s \times t}\)，则
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{AB} &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1s}\\ \boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2s}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \boldsymbol{A}_{r1} & \boldsymbol{A}_{r2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{rs} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} & \cdots & \boldsymbol{B}_{1t}\\ \boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22} & \cdots & \boldsymbol{B}_{2t}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \boldsymbol{B}_{s1} & \boldsymbol{B}_{s2} & \cdots & \boldsymbol{B}_{st} \end{pmatrix} \\ &= \boldsymbol{C} = (\boldsymbol{C}_{ij})_{r \times t} \end{aligned} \]其中 \(\boldsymbol{C}_{ij}=\sum_{k=1}^s\boldsymbol{A}_{ik}\boldsymbol{B}_{kj}\)
-
分块矩阵的转置：分块矩阵 \(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t}\) 的转置为 \(\boldsymbol{A}^T = (\boldsymbol{A}_{ji}^T)_{t \times s}\)，即：分块矩阵转置后，子块位置互换，子块内元素转置
\[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1s}\\ \boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2s}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \boldsymbol{A}_{r1} & \boldsymbol{A}_{r2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{rs} \end{pmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{A}^T = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11}^T & \boldsymbol{A}_{21}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{r1}^T\\ \boldsymbol{A}_{12}^T & \boldsymbol{A}_{22}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{r2}^T\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \boldsymbol{A}_{1s}^T & \boldsymbol{A}_{2s}^T & \cdots & \boldsymbol{A}_{rs}^T \end{pmatrix} \] -
分块（反）对角阵：
-
设 \(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{s \times t}\) 是一个分块矩阵，若 \(\boldsymbol{A}_{ij}=\boldsymbol{0}\) 对于 \(i \neq j\) 恒成立，则称 \(\boldsymbol{A}\) 是一个分块对角阵
-
记作
\[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{1} & & & \\ & \boldsymbol{A}_{2} & & \\ & & \dots & \\ & & & \boldsymbol{A}_{s} \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(\boldsymbol{A}_{1},\boldsymbol{A}_{2},\cdots,\boldsymbol{A}_{s}) \]其中 \(\boldsymbol{A}_{i} = \boldsymbol{A}_{ii}\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 个对角块，为 \(n_i\) 阶方阵，且 \(\sum_{i=1}^s n_i = n\).
-
若 \(\boldsymbol{A}_{i}\) 可逆，则 \(|\boldsymbol{A}| = \prod_{i=1}^s |\boldsymbol{A}_{i}| \neq 0\)，可知 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，且 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \operatorname{diag}(\boldsymbol{A}_{1}^{-1},\boldsymbol{A}_{2}^{-1},\cdots,\boldsymbol{A}_{s}^{-1})\)
- 若 \(\boldsymbol{A}_{ij}=\boldsymbol{0}\) 对于 \(i + j \neq s + 1\) 恒成立，则称 \(\boldsymbol{A}\) 是一个分块反对角阵
-
记作
\[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} & & & \boldsymbol{A}_{1} \\ & & \boldsymbol{A}_{2} & \\ & \cdots & & \\ \boldsymbol{A}_{s} & & & \end{pmatrix} = \operatorname{antidiag}(\boldsymbol{A}_{1},\boldsymbol{A}_{2},\cdots,\boldsymbol{A}_{s}) \] -
若 \(\boldsymbol{A}_{i}\) 可逆，则 \(\boldsymbol{A}^{-1} = \operatorname{antidiag}(\boldsymbol{A}_{1}^{-1},\boldsymbol{A}_{2}^{-1},\cdots,\boldsymbol{A}_{s}^{-1})\)
-
-
2.5 初等矩阵与矩阵的秩¶
初等变换¶
- 初等变换
- 初等行变换：见上文
- 初等列变换：矩阵 \(\boldsymbol{A}^T\) 的初等行变换即为 \(\boldsymbol{A}\) 的初等列变换，记作 \(c\)，即：
- 交换矩阵的两列：\(c_{i} \leftrightarrow c_{j}\)
- 某一列乘以非零常数：\(k c_{i}\)
- 某一列加上另一列的若干倍：\(c_{j} + k c_{i}\)
- 矩阵相抵：矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 经有限次初等变换变到矩阵 \(\boldsymbol{B}\)，称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 与矩阵 \(\boldsymbol{B}\) 相抵，记为 \(\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}\).（等价关系）
- 反身性：\(\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{A}\)
- 对称性：\(\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B} \Rightarrow \boldsymbol{B} \cong \boldsymbol{A}\)
- 传递性：\(\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B} \land \boldsymbol{B} \cong \boldsymbol{C} \Rightarrow \boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{C}\)
初等矩阵¶
- 初等矩阵：单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\) 做一次初等变换所得的矩阵为初等矩阵。
- 三类初等矩阵：
-
\(\boldsymbol{E}(i,j)\)：交换单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 行得到的初等矩阵（也可以是交换第 \(i\) 列和第 \(j\) 列得到的初等矩阵）
\[ \boldsymbol{E} \xrightarrow[c_i \leftrightarrow c_j]{r_i \leftrightarrow r_j} \boldsymbol{E}(i,j) \]- \(|\boldsymbol{E}(i,j)| = -1\)
- \(\boldsymbol{E}(i,j)^{-1} = \boldsymbol{E}(i,j)\)
- \(\boldsymbol{E}(i(k))\)：将单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\) 的第 \(i\) 行乘以非零常数 \(k\) 得到的初等矩阵
\[ \boldsymbol{E} \xrightarrow[k c_i]{k r_i} \boldsymbol{E}(i(k)) \]- \(|\boldsymbol{E}(i(k))| = k\)
- \(\boldsymbol{E}(i(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(i(\frac{1}{k}))\)
- \(\boldsymbol{E}(j,i(k))\)：将单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\) 的第 \(j\) 行加上第 \(i\) 行的 \(k\) 倍得到的初等矩阵
\[ \boldsymbol{E} \xrightarrow[c_j + k c_i]{r_j + k r_i} \boldsymbol{E}(j,i(k)) \]- \(|\boldsymbol{E}(j,i(k))| = 1\)
- \(\boldsymbol{E}(j,i(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(j,i(-k))\)
- 定理：
- 设 \(\boldsymbol{A}\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，对 \(\boldsymbol{A}\) 进行一次初等行变换相当于 \(\boldsymbol{A}\) 左乘一个对应的初等矩阵；对 \(\boldsymbol{A}\) 进行一次初等列变换相当于 \(\boldsymbol{A}\) 右乘一个对应的初等矩阵
- 初等矩阵都是可逆矩阵
- 对任意 \(m \times n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\)，存在一系列初等矩阵使得相乘得到 标准形
\[ \boldsymbol{P}_{s} \cdots \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{Q}_{2} \cdots \boldsymbol{Q}_{s} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix} \]其中 \(r\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩
-
矩阵的秩¶
- 子式：矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\) 的一个 \(k\) 阶子式是在 \(\boldsymbol{A}\) 中任取 \(k\) 行 \(k\) 列（\(k \leq \min\{m,n\}\)）交叉处的元素按原来的相对位置构成的 \(k\) 阶行列式，称为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的一个 \(k\) 阶子式.
- 秩：设矩阵 \(\boldsymbol{A}_{ m \times n}\)，在 \(\boldsymbol{A}\) 中若存在一个 \(r\) 阶子式不等于零，而所有 \(r+1\) 阶（若存在）子式全为零，称 \(r\) 为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩，记为 \(r(\boldsymbol{A})\)。规定零矩阵的秩为 \(0\).
- 秩的性质：
- 矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩是唯一的
- \(0 \leq r(\boldsymbol{A}) \leq \min\{m, n\}\)
- 设 \(\boldsymbol{A}_1\) 是 \(\boldsymbol{A}\) 的一个部分矩阵，则 \(r(\boldsymbol{A}_1) \leq r(\boldsymbol{A})\)
- 若 \(\boldsymbol{A}\) 中存在 \(r\) 阶子式不为零，则 \(r(\boldsymbol{A}) \geq r\)；若 \(\boldsymbol{A}\) 中所有 \(r\) 阶子式全为零，则 \(r(\boldsymbol{A}) < r\)
- \(r(\boldsymbol{A}^T) = r(\boldsymbol{A})\)
- \(r(k\boldsymbol{A}) = \begin{cases} r(\boldsymbol{A}), & k \neq 0 \\ 0, & k = 0 \end{cases}\)
- 梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数
- 可逆矩阵的秩等于它的阶数，即 \(r(\boldsymbol{A}) = n\)
- 初等变换不改变矩阵的秩
秩相关定理¶
-
对任意 \(m \times n\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}\)，存在一系列初等 \(m\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_s\) 和初等 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{Q}_1, \boldsymbol{Q}_2, \cdots, \boldsymbol{Q}_s\)，使得 \(\boldsymbol{P}_{s} \cdots \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}\) 为简化阶梯形矩阵，且
\[ \boldsymbol{P}_{s} \cdots \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{Q}_{2} \cdots \boldsymbol{Q}_{s} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}_{m \times n} \]为标准形，其中 \(r=r(\boldsymbol{A})\)，且标准形唯一
-
任意矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\)，存在 \(m\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 和 \(n\) 阶可逆矩阵 \(\boldsymbol{Q}\) 使得
\[ \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}_{m \times n}, r=r(\boldsymbol{A}) \] -
\(\boldsymbol{A}_n\) 可逆的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 的标准形为 \(n\) 阶单位矩阵，即 \(r(\boldsymbol{A}) = n\)
- \(\boldsymbol{A}_n\) 可逆的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_s\)，其中 \(\boldsymbol{P}_i\) 是 \(n\) 阶初等矩阵
- \(\boldsymbol{A}_n\) 若可逆，则 \(\boldsymbol{A}\) 可只经过初等行（列）变换变为单位矩阵 \(\boldsymbol{E}\)，即 \(\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{E}\)
- 矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\) 与可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}_m,\boldsymbol{Q}_n\) 分别左乘和右乘后，其秩不变，即 \(r(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}) = r(\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q})\)
- 矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\) 与 \(\boldsymbol{B}_{m \times n}\) 相抵的充分必要条件是存在可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}_m,\boldsymbol{Q}_n\) 使得 \(\boldsymbol{PAQ} = \boldsymbol{B}\)
- 设 \(\boldsymbol{A}_{m \times n}\) 的矩阵，线性方程组 \(\boldsymbol{A x} = \boldsymbol{b}\) 经初等行变换得到的新方程组 \(\boldsymbol{A_1 x} = \boldsymbol{b}_1\) 与原方程组的同解
- 任意 \(m\times n\) 的线性方程组 \(\boldsymbol{A x} = \boldsymbol{b}\)，其增广矩阵为 \(\tilde{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A}\ \boldsymbol{b})\)，则线性方程组有解的充分必要条件为：系数矩阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 \(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}})\)，且
- \(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}}) = n\)：有唯一解
- \(r(\boldsymbol{A}) = r(\tilde{\boldsymbol{A}}) < n\)：有无穷多解
- \(r(\boldsymbol{A}) < r(\tilde{\boldsymbol{A}})\)：无解
- 对于 \(m \times n\) 的齐次线性方程组 \(\boldsymbol{A x} = \boldsymbol{0}\)，则
- \(r(\boldsymbol{A}) = n\)：有唯一零解
- \(r(\boldsymbol{A}) < n\)：有非零解（无穷多解）
则有
- \(m < n \Rightarrow r(\boldsymbol{A}) < n \Rightarrow\) 有非零解
- \(m = n\) 时：
- \(|\boldsymbol{A}| \neq 0 \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A}) = n \Leftrightarrow\) 有唯一零解
- \(|\boldsymbol{A}| = 0 \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A}) < n \Leftrightarrow\) 有非零解
-
求矩阵逆的初等变换法¶
-
矩阵的初等变换：设矩阵 \(\boldsymbol{A}_n\) 可逆，由上述推论 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \cdots \boldsymbol{P}_k\)，\(\boldsymbol{P}_i\) 为初等矩阵
-
初等行变换：等式两边左乘 \((\boldsymbol{P}_1 \cdots \boldsymbol{P}_k)^{-1}\)，有
\[ \begin{aligned} & \boldsymbol{P}_1^{-1}\cdots \boldsymbol{P}_k^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} \\ \Rightarrow& \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{P}_k^{-1}\cdots \boldsymbol{P}_1^{-1}=\boldsymbol{P}_k^{-1}\cdots \boldsymbol{P}_1^{-1}\boldsymbol{E} \end{aligned} \]从而由这两个等式就产生了求逆矩阵的初等行变换法：
\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \end{pmatrix}_{n\times 2n} \xrightarrow{初等行变换} \begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1} \end{pmatrix} \] -
初等列变换：等式两边右乘 \((\boldsymbol{P}_1 \cdots \boldsymbol{P}_k)^{-1}\)，有
\[ \begin{aligned} & \boldsymbol{A}(\boldsymbol{P}_1 \cdots \boldsymbol{P}_k)^{-1}=\boldsymbol{E} \\ \Rightarrow& \boldsymbol{A}^{-1}=(\boldsymbol{P}_1 \cdots \boldsymbol{P}_k)^{-1}=\boldsymbol{E}(\boldsymbol{P}_1 \cdots \boldsymbol{P}_k)^{-1} \end{aligned} \]从而由这两个等式就产生了求逆矩阵的初等列变换法：
\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{E} \end{pmatrix}_{2n\times n} \xrightarrow{初等列变换} \begin{pmatrix} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{-1} \end{pmatrix} \]
-
-
初等变换法求逆矩阵
-
设矩阵方程为 \(\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}\)，其中 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶可逆方阵，\(\boldsymbol{B}\) 为 \(n \times m\) 矩阵，\(\boldsymbol{X}\) 为 \(n \times m\) 未知矩阵，则未知矩阵 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\)。构造 \(n \times (n + m)\) 矩阵 \(\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix}\)，对它进行初等行变换
\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \xrightarrow{初等行变换} \begin{pmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} \end{pmatrix} \]从而得到 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}\) 的解
-
若矩阵方程为 \(\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}\)，其中 \(\boldsymbol{A}\) 为 \(n\) 阶可逆方阵，\(\boldsymbol{B}\) 为 \(m \times n\) 矩阵，\(\boldsymbol{X}\) 为 \(m \times n\) 未知矩阵，则未知矩阵 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1}\)。构造 \((m + n) \times n\) 矩阵 \(\begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} \end{pmatrix}\)，对它进行初等列变换
\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \xrightarrow{初等列变换} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1} \\ \boldsymbol{E} \end{pmatrix} \]从而得到 \(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}^{-1}\) 的解
-
2.6 分块矩阵的初等变换¶
分块矩阵的初等变换¶
-
分块矩阵的初等变换：设 \(\boldsymbol{A}\) 为数域 \(K\) 上的一个 \(s \times t\) 的分块矩阵：
\[ \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{1t}\\ \boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{2t}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \boldsymbol{A}_{s1} & \boldsymbol{A}_{s2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{st} \end{pmatrix} \]则分块矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的初等变换是指：
- 交换分块矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的两行（或两列）：\(r_{i} \leftrightarrow r_{j}\)（或 \(c_{i} \leftrightarrow c_{j}\)）
- 用某个适当阶数的可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 左乘（或右乘）分块矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的某一行（或某一列）：\(\boldsymbol{P} r_{i}\)（或 \(c_{i} \boldsymbol{P}\)）
- 用某个适当阶数的可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 左乘（或右乘）分块矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的某一行（或某一列）加到另一行（或另一列）：\(r_{j} + \boldsymbol{P} r_{i}\)（或 \(c_{j} + c_{i} \boldsymbol{P}\)）
分块初等矩阵¶
-
分块初等矩阵：单位矩阵 \(\boldsymbol{E}_n\) 做一次分块矩阵的初等变换所得的矩阵为分块初等矩阵，其中 \(\boldsymbol{E}_n\) 如下表示：
\[ \boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{n_1} & & & \\ & \boldsymbol{E}_{n_2} & & \\ & & \dots & \\ & & & \boldsymbol{E}_{n_s} \end{pmatrix} \]其中 \(\sum_{i=1}^s n_i = n\)，\(\boldsymbol{E}_{n_i}\) 是 \(n_i\) 阶单位矩阵，\(i = 1,2,\cdots,s\).
-
三类分块初等矩阵：
- \(\boldsymbol{E}(i,j)\)：交换单位矩阵 \(\boldsymbol{E}_n\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 行得到的分块初等矩阵（也可以是交换第 \(i\) 列和第 \(j\) 列得到的分块初等矩阵）
- \(\boldsymbol{E}(i(\boldsymbol{P}))\)：将单位矩阵 \(\boldsymbol{E}_n\) 的第 \(i\) 行乘以适当阶数的可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 得到的分块初等矩阵
- \(\boldsymbol{E}(j,i(\boldsymbol{P}))\)：将单位矩阵 \(\boldsymbol{E}_n\) 的第 \(j\) 行加上第 \(i\) 行的适当阶数的可逆矩阵 \(\boldsymbol{P}\) 倍得到的分块初等矩阵
-
定理：
- 对分块矩阵作一次分块初等行（列）变换，相当于左乘（或右乘）一个相应的分块初等矩阵
-
行列式第一降阶定理：设 \(\boldsymbol{A}_m\) 可逆，\(\boldsymbol{D}_n\) 为方阵，则令 \(\boldsymbol{M}\) 为 \(m+n\) 阶分块矩阵
\[ \boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix} \]则
\[ |\boldsymbol{M}| = |\boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{D} - \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}| \]其中 \(\boldsymbol{D} - \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\) 称为 \(\boldsymbol{M}\) 的 Schur 补
-
例题：设有矩阵 \(\boldsymbol{A}_{m \times n},\boldsymbol{B}_{n \times m}\)，证明：\(|\boldsymbol{E}_{m} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{E}_{n} - \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}|\) 证明：构造分块矩阵：
\[ \boldsymbol{M} = \left( \begin{array}{c c} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{E}_{n} \end{array} \right) \]对其进行第三种分块矩阵的初等变换：
\[ \begin{aligned} & \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{m} & - \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{n} \end{pmatrix} \boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{m} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{E}_{n} \end{pmatrix} \\\\ & \boldsymbol{M} \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{m} & - \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{E}_{n} -\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \end{pmatrix} \end{aligned} \]两式两边取行列式：
\[ \begin{aligned} &|\boldsymbol{M}| \\ =&\left| \begin{matrix} \boldsymbol{E}_{m} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{E}_{n} \end{matrix} \right| = |\boldsymbol{E}_{m} - \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}| \\ =&\left| \begin{matrix} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{E}_{n} -\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \end{matrix} \right| = |\boldsymbol{E}_{n} -\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}| \end{aligned} \]得证！
常用秩不等式与结论¶
- \(0 \leq r (\boldsymbol{A}) \leq \min\{m,n\}\)
- \(r(\boldsymbol{A}) + r (\boldsymbol{B}) - n \leq r(\boldsymbol{AB}) \leq \min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\}\)
- \(r \left( \boldsymbol{A} \right) = r \left( \boldsymbol{A}^{ T } \right) = r \left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{ T } \right) = r \left( \boldsymbol{A}^{ T } \boldsymbol{A} \right)\)
- \(r(\boldsymbol{A}^{*}) = \begin{cases} n & r(\boldsymbol{A}) = n \\ 1 & r(\boldsymbol{A}) = n-1 \\ 0 & r (\boldsymbol{A}) < n - 1 \end{cases}\)
- \(0 \leq r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \leq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})\)
- \(\max\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B}),r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})\} \leq r((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})) \leq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})\)
- \(r\left(\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \right) = r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})\)
- \(r\left(\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \right) \geq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}),\quad r\left(\begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B} & \end{pmatrix} \right) \geq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B})\)
- \(r(\boldsymbol{ABC}) \geq r(\boldsymbol{AB}) + r(\boldsymbol{BC}) - r(\boldsymbol{B})\)