解题范式¶
证明相等¶
两个集合 \(A,B\) 相等：
- 证明 \(A \subseteq B\)
- 证明 \(B \subseteq A\)
两个数 \(a,b\) 相等：
- 证明 \(a \mid b\)
- 证明 \(b \mid a\)
等价关系¶
若要证明 \(\sim\) 是一个等价关系：
- 证明 反身性
- 证明 对称性
- 证明 传递性
代数运算¶
若要证明集合 \(A\) 中的运算 \(\cdot\) 是一个代数运算：
- 证明 封闭性
- 证明 唯一性 （通常显然）
群¶
若要证明集合 \(A\) 关于运算 \(\cdot\) 构成一个群：
- 证明 \(\cdot\) 是 代数运算
- 证明 结合律 （左右结合律）
- 证明 单位元 \(e\) 存在（左右单位元）
- 证明 逆元 存在（左右逆元）
子群¶
若要证明群 \(G\) 的子集 \(H\) 是 \(G\) 的子群，即 \(H < G\)：
- 定义：
- \(H\) 在群的运算下封闭
- \(H\) 有单位元
- \(H\) 中每个元素都有逆元
- 定理 1：
- 证明 \(H\) 是 \(G\) 的 非空 子集
- 对任意 \(a,b \in H\)，证明 \(a b \in H\)
- 对任意 \(a \in H\)，证明 \(a^{-1} \in H\)
- 定理 2：
- 证明 \(H\) 是 \(G\) 的 非空 子集
- 对任意 \(a,b \in H\)，证明 \(a b^{-1} \in H\)
正规子群¶
若要证明群 \(G\) 的子群 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，即 \(H \triangleleft G\)，则下面几个条件等价
- \(H\) 是 \(G\) 的正规子群
- \(\forall g \in G\)，\(g H = H g\)
- \(\forall g \in G\)，\(g H g^{-1} = H\)
- \(\forall g \in G\)，\(g H g^{-1} \subseteq H\)
- \(\forall g \in G\)，\(h \in H\)，则 \(g h g^{-1} \in H\)
群同态¶
若要证明两个群 \(G\) 与 \(G^{\prime}\) 同态：
- 建立群 \(G\) 与群 \(G^{\prime}\) 的元素间的对应关系 \(\phi\)，并证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 映射
- 即对 \(\forall x,y \in G\)，证明由 \(x=y\) 可推出 \(\phi(x)=\phi(y)\)
- 证明 \(\phi\) 保持运算
- 即对 \(\forall x,y \in G\)，证明 \(\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)\)
- 若还能证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 满射，则 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 满同态映射
- 若还能证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 单射，则 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 单同态映射
群同构¶
若要证明两个群 \(G\) 与 \(G^{\prime}\) 同构：
- 构造群 \(G\) 与群 \(G^{\prime}\) 的元素间的对应关系 \(\phi\)，并证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 映射
- 即对 \(\forall x,y \in G\)，证明由 \(x=y\) 可推出 \(\phi(x)=\phi(y)\)
- 证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 单射
- 即对 \(\forall x,y \in G\)，证明由 \(\phi(x)=\phi(y)\) 可推出 \(x=y\)
- 证明 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 满射
- 即对 \(\forall x^{\prime} \in G^{\prime}\)，证明存在（构造） \(x \in G\)，使 \(\phi(x)=x^{\prime}\)
- 证明 \(\phi\) 保持运算
- 即对 \(\forall x,y \in G\)，证明 \(\phi(x y)=\phi(x) \phi(y)\)
若要证明 \(G / K \cong G^{\prime}\)，即 \(G / K\) 与 \(G^{\prime}\) 同构：
- 建立群 \(G\) 与群 \(G^{\prime}\) 的元素之间的对应关系 \(\phi\)，并证明 \(\phi\) 为 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 映射
- 证明 \(\phi\) 为 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 满射
-
证明 \(\phi\) 保持运算
\[ \phi(a b)=\phi(a) \phi(b) \] -
综上 \(\phi\) 是 \(G\) 到 \(G^{\prime}\) 的 满同态映射
- 计算同态的 核 \(\operatorname{Ker} \phi\)，使得 \(K=\operatorname{Ker} \phi\)
- 应用 群同态基本定理 得 \(G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime}\)
环¶
若要证明 \(R\) 是一个环：
- 证明 加法封闭
- \(\forall x,y \in R\)：\(x+y\in R\)
- 证明加法满足 加法结合律 和 加法交换律
- \(\forall x,y,z \in R\)：\(x+y=y+x\)，\(x+(y+z)=(x+y)+z\)
- 找到加法 零元
- \(\exists 0 \in R,\forall x \in R\)：\(x+0=x\)
- 找到加法 负元
- \(\forall x \in R,\exists -x \in R\)：\(x+(-x)=0\)
- 证明 乘法封闭
- \(\forall x,y \in R\)：\(x\cdot y\in R\)
- 证明乘法满足 结合律
- \(\forall x,y,z \in R\)：\((x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y \cdot z)\)
-
证明乘法对加法满足 两个分配律
-
$\forall x,y,z \in R
\[ $ \begin{array}{c} x\cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z\\\ (y+z)\cdot x = y\cdot x + z\cdot x \end{array} \]
-
-
综上可得 \(R\) 是一个环
- 如果 \(R\) 的乘法满足交换律，则 \(R\) 是一个 交换环
- 如果 \(R\) 的乘法有单位元，则 \(R\) 是一个有 单位元 的环
其中，1 - 4 即证明 \((R,+)\) 是一个 加法交换群，5 - 7 即证明 \(R\) 还具有乘法代数运算。
整环¶
若要证明 \(R\) 是一个整环：
- 证明 \(R\) 是一个 交换环
- 证明 \(R\) 中有 单位元 且单位元不为零元
- 证明 \(R\) 中没有 零因子
- 即对 \(\forall a,b \in R\)，如果 \(a\cdot b=0\)，则 \(a=0\) 或 \(b=0\)
域¶
若要证明 \(F\) 是一个域：
- 证明 \(F\) 是一个 交换环
- 证明 \(F\) 中有 单位元 且单位元不为零元
- 证明 \(F\) 中每个 非零元都可逆
- 即对 \(\forall a \in F\) 且 \(a \ne 0\)，存在 \(b \in F\) 使得 \(a\cdot b=1\)
子环¶
若要证明环 \(R\) 的子集 \(S\) 是 \(R\) 的子环：
- 定理 1：
- 证明 \(S\) 是 \(R\) 的 非空子集 （通常显然）
- 证明 \((S,+)\) 是 \((R,+)\) 的 加法子群
- \(S\) 关于 \(R\) 的 乘法封闭 ，即对任意的 \(a,b \in S\)，有 \(a b \in S\)
- 定理 2：
- 证明 \(S\) 是 \(R\) 的 非空子集 （通常显然）
- 证明 \(\forall a,b \in S\)，有 \(a-b \in S\)（减法封闭）
- 证明 \(\forall a,b \in S\)，有 \(a b \in S\)（乘法封闭）
理想¶
若要证明环 \(R\) 的子集 \(I\) 是 \(R\) 的理想：
- 证明 \(I\) 是 \(R\) 的 非空子集 （通常显然）
- 证明 \(\forall r_{1},r_{2} \in I\)，\(r_{1}-r_{2} \in I\)（减法封闭）
- 证明 \(\forall r \in I\)，\(s \in R\)，\(r s,s r \in I\)（乘法吸收）
环同态¶
若要证明 \(\phi : R \rightarrow R^{\prime}\) 是一个同态映射：
- 证明 \(\phi\) 为 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 映射
- 即对 \(\forall a,b \in R\)，证明由 \(a=b\) 可推出 \(\phi(a)=\phi(b)\)
- 证明 \(\phi\) 保持运算
- 即对 \(\forall a,b \in R\)，证明
- \(\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\)（加法保持）
- \(\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)\)（乘法保持）
- 即对 \(\forall a,b \in R\)，证明
- 若还能证明 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 满射，则 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 满同态映射
- 若还能证明 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 单射，则 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 单同态映射
环同构¶
若要证明环 \(R\) 与环 \(R^{\prime}\) 同构：
- 构造环 \(R\) 与环 \(R^{\prime}\) 的元素间的对应关系 \(\phi\)，并证明 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 映射
- 即对 \(\forall a,b \in R\)，证明由 \(a=b\) 可推出 \(\phi(a)=\phi(b)\)
- 证明 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 单射
- 证明 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 满射
- 证明 \(\phi\) 保持运算
若要证明 \(R / I \cong R^{\prime}\)，即 \(R / I\) 与 \(R^{\prime}\) 同构：
- 建立环 \(R\) 与环 \(R^{\prime}\) 的元素之间的对应关系 \(\phi\)，并证明 \(\phi\) 为 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 映射
- 证明 \(\phi\) 为 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 满射
-
证明 \(\phi\) 保持运算
\[ \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b),\quad \phi(a b)=\phi(a) \phi(b) \] -
综上 \(\phi\) 是 \(R\) 到 \(R^{\prime}\) 的 满同态映射
- 计算同态的 核 \(\operatorname{Ker} \phi\)，使得 \(I=\operatorname{Ker} \phi\)
- 应用 环同态基本定理 得 \(R / \operatorname{Ker} \phi \cong R^{\prime}\)
素理想¶
若要证明交换环 \(R\) 的理想 \(P\) 是素理想：
- 证明 \(P\) 是 \(R\) 的 真理想
- 证明对任意 \(a,b \in R\)，如果 \(a b \in P\)，则 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)
极大理想¶
若要证明交换环 \(R\) 的理想 \(I\) 是极大理想：
- 证明 \(I\) 是 \(R\) 的 真理想
- 设 \(J\) 是 \(R\) 的任意理想，且 \(I \subsetneq J \subseteq R\)（左右夹击）
- 任取 \(x \in J\) 且 \(x \notin I\)
- 根据 \(x \notin I\)，获取约束条件，如不整除、互素等
- 构造 \(1 = \cdots \in J\)
- 因此 \(J=R\)
- 故 \(I\) 是 \(R\) 的极大理想
若要证明交换环 \(R\) 的理想 \(I\) 是唯一极大理想：
- 证明 \(I\) 是 \(R\) 的 真理想
- 设 \(J\) 是 \(R\) 的任意 不包含于 \(I\) 的理想
- 任取 \(x \in J\) 且 \(x \notin I\)
- 根据 \(x \notin I\)，获取约束条件，如不整除、互素等
- 构造 \(1 = \cdots \in J\)
- 因此 \(J=R\)
- 故 \(R\) 的所有真理想都包含于 \(I\)，即 \(I\) 是唯一极大理想
特征¶
若要证明 \(R\) 的特征为 \(n\)，\(n \ne 0\)：
- 方法一：
- 给出正整数 \(n\)，使得 \(\forall a \in R, na=0\)（存在 \(n\)）
- 证明 \(\forall k, 1\le k <n, \exists b \in R, kb\ne 0\)（没有比 \(n\) 更小的）
- 方法二：（若 \(R\) 有单位元）
- 找出 \(R\) 的单位元 \(e\)
- 计算 \(e\) 关于加法的阶 \(n\)
- 特征 \(\operatorname{Char} R = n\)
若要证明 \(R\) 的特征为 \(n=0\)：
- 证明 \(R\) 的单位元 \(e\) 关于加法的阶为无穷大