第二章命题逻辑的等值和推演运算¶

等值定理¶

等值的定义：给定两个命题公式 \(A\) 和 \(B\)，而 \(P_{1},\cdots,P_{n}\) 是出现于 \(A\) 和 \(B\) 中的所有命题变项，那么公式 \(A\) 和 \(B\) 共有 \(2^{n}\) 个解释，若在其中的任一解释下，公式 \(A\) 和 \(B\) 的真值都相等，就称 \(A\) 和 \(B\) 是等值的（或称等价），记作 \(A=B\) 或 \(A \Leftrightarrow B\)
- 可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的
等值定理：对公式 \(A\) 和 \(B\)，\(A=B\) 的充分必要条件是 \(A \leftrightarrow B\) 是重言式
等价关系：\(＝\) 作为逻辑关系符是一种等价关系，\(A = B\) 是表示公式 \(A\) 与 \(B\) 的一种关系。这种关系具有三个性质:
1. 自反性：\(A = A\)
2. 对称性：若 \(A = B\)，则 \(B = A\)
3. 传递性：若 \(A = B\)，\(B = C\)，则 \(A = C\)

等值公式¶

基本等值公式（命题定律）¶

双重否定律

\[ \neg \neg P=P \]
结合律

\[ \begin{aligned} (P \vee Q) \vee R &= P \vee(Q \vee R)\\\ (P \wedge Q) \wedge R &= P \wedge(Q \wedge R)\\ (P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R &= P \leftrightarrow(Q \leftrightarrow R) \end{aligned} \]
交换律

\[ \begin{aligned} P \vee Q &= Q \vee P \\ P \wedge Q &= Q \wedge P \\ P \leftrightarrow Q &= Q \leftrightarrow P \end{aligned} \]
分配律

\[ \begin{aligned} P \vee(Q \wedge R) &= (P \vee Q) \wedge(P \vee R) \\ P \wedge(Q \vee R) &= (P \wedge Q) \vee(P \wedge R) \\ P \rightarrow(Q \rightarrow R) &= (P \rightarrow Q) \rightarrow(P \rightarrow R) \\ P \leftrightarrow(Q \leftrightarrow R) &\neq(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow(P \leftrightarrow R) \end{aligned} \]
等幂律（恒等律）

\[ \begin{aligned} P \vee P &= P \\ P \wedge P &= P \\ P \rightarrow P &= T \\ P \leftrightarrow P &= T \end{aligned} \]
吸收律

\[ \begin{aligned} P \vee(P \wedge Q) &= P \\ P \wedge(P \vee Q) &= P \end{aligned} \]
摩根律

\[ \begin{aligned} \neg(P \vee Q) &= \neg P \wedge \neg Q \\ \neg(P \wedge Q) &= \neg P \vee \neg Q \end{aligned} \]

对蕴涵词；双条件词作否定有

\[ \begin{aligned} \neg(P \rightarrow Q) &= P \wedge \neg Q \\ \neg(P \leftrightarrow Q) &= \neg P \leftrightarrow Q\\ &= P \leftrightarrow \neg Q\\ &= (\neg P \wedge Q) \vee(P \wedge \neg Q) \end{aligned} \]
同一律

\[ \begin{aligned} P \vee F &= P \\ P \wedge T &= P \\ T \rightarrow P &= P \\ T \leftrightarrow P &= P\\ P \rightarrow F &= \neg P \\ F \leftrightarrow P &= \neg P \end{aligned} \]
零律

\[ \begin{aligned} P \vee T &= T \\ P \wedge F &= F\\ P \rightarrow T &= T \\ F \rightarrow P &= T \end{aligned} \]
补余律

\[ \begin{aligned} P \vee \neg P &= T \\ P \wedge \neg P &= F\\ P \rightarrow \neg P &= \neg P \\ \neg P \rightarrow P &= P \\ P \leftrightarrow \neg P &= F \end{aligned} \]

Venn 图¶

将 \(P, Q\) 理解为某总体论域上的子集合，并规定：
- \(P \wedge Q\) 为两集合的公共部分(交集合)
- \(P \vee Q\) 为两集合的全部(并集合)
- \(\neg P\) 为总体论域(如矩形域)中 \(P\) 的余集

Venn 图

常用等值公式¶

\(P\rightarrow Q=\neg P\vee Q\)
\(P\rightarrow Q=\neg Q\rightarrow \neg P\)
\(P\rightarrow (Q\rightarrow R)=(P \wedge Q)\rightarrow R\)
\(P \leftrightarrow Q = (P\wedge Q)\vee(\neg P\wedge \neg Q)\)
\(P \leftrightarrow Q = (P\vee \neg Q)\wedge(\neg P\vee Q)\)
\(P \leftrightarrow Q = (P\rightarrow Q)\wedge(Q\rightarrow P)\)
\(P\rightarrow (Q\rightarrow R)=Q\rightarrow (P\rightarrow R)\)
\((P\rightarrow R)\wedge (Q\rightarrow R)=(P \vee Q)\rightarrow R\)
\(P \leftrightarrow Q = \neg P \leftrightarrow \neg Q\)
归谬论：\((P\rightarrow Q)\wedge(P\rightarrow\neg Q) = \neg P\)

置换规则¶

置换的定义；对公式 \(A\) 的子公式，用与之等值的公式代换称为置换
置换规则
- 公式置换后，\(A\) 化为公式 \(B\)，必有 \(A=B\)
- 当 \(A\) 是重言式时，置换后的公式 \(B\) 必也是重言式。
置换与代入的区别：
- 置换只要求 \(A\) 的某一子公式作代换，置换规则被替换的不一定是简单命题
- 等值必须对所有同一的子公式都作代换，代入规则被替换的只能是简单命题

命题公式与真值表关系¶

T 列写¶

T 列写：各项间用 \(\vee\)，每项内用 \(\wedge\)

\[ A=(\cdots)_1 \vee (\cdots)_2 \vee (\cdots)_3 \]
每项内书写方法：
- 例：真值表中 \(P=T\) 且 \(Q=F\) 等价于 \(P \wedge \neg Q=T\)
简化方法：有时 \(A\) 的表达通过 \(\neg A\) 来描述

F 列写¶

F 列写：各项间用 \(\wedge\)，每项内用 \(\vee\)

\[ A=(\cdots)_1 \wedge (\cdots)_2 \wedge (\cdots)_3 \]
每项内书写方法：
- 例：真值表中 \(P=T\) 且 \(Q=F\) 等价于 \(\neg P \vee Q=F\)
简化方法：有时 \(A\) 的表达通过 \(\neg A\) 来描述

从真值表写命题公式

联结词的完备集¶

命题联结词的个数¶

按照合式公式的定义，由命题变项和命题联结词可以构造出无限多个合式公式.可把所有的合式公式加以分类，将等值的公式视为同一类，从中选一个作代表称之为 真值函项。对一个真值函项就有一个联结词与之对应。
一元联结词 是联结一个命题变项的，如 \(P\)。它取值只有真假 \(2\) 种情形，于是联结词作用于 \(P\)，可建立 \(2^2=4\) 种不同的真值函项，相应的可定义出四个不同的一元联结词 \(f_0,f_1,f_2,f_3\)

\(P\) \(f_0(P)\) \(f_1(P)\) \(f_2(P)\) \(f_3(P)\)

T T F T F

F F T F T
- \(f_0(P) = F\) (永假式)
- \(f_1(P) = P\) (P 自身)
- \(f_2(P) = \neg P\) (否定词)
- \(f_3(P) = T\) (永真式)
二元联结词 是联结两个命题变项的，如 \(P\) 和 \(Q\)。它取值有真假 \(4\) 种情形，于是联结词作用于 \(P\) 和 \(Q\)，可建立 \(2^4=16\) 种不同的真值函项，相应的可定义出 \(16\) 个不同的二元联结词 \(f_{00},f_{01},\ldots,f_{15}\)

二元联结词

对于 \(n\) 个命题变元，有 \(2^{2^n}\) 个不同的个真值函项

联结词的完备集¶

定义：如果对任一命题公式都有由 \(\mathrm{C}\) 中的联结词表示出来的公式与之等值，就说 \(\mathrm{C}\) 是完备的联结词集合，或说 \(\mathrm{C}\) 是联结词的 完备集
完备集
- 显然全体联结词的无限集合是完备的
- \(\{\neg,\vee,\wedge\}\) （不独立）
- \(\{\neg, \vee\}\) （独立）
- \(\{\neg, \wedge\}\) （独立）
- \(\{\neg, \rightarrow\}\) （独立）
- \(\{\uparrow\}\) （独立）
- \(\{\downarrow\}\) （独立）
不完备
- \(\{\neg\}\)
- \(\{\vee, \wedge\}\)
- \(\{\vee, \wedge, \rightarrow, \leftrightarrow\}\) 的任何子集都是不完备的
- \(\{\neg, \leftrightarrow\}\) 的任何子集也是不完备的
- 如果一个联结词的集合是不完备的，那么它的任何子集都是不完备的
最小的联结词的完备集——基底：完备的联结词集合的联结词是独立的，也就是说这些联结词不能相互表示。
- 只含一个联结词的:
  - NK；NA
- 含两个联结词的:
  - N,C；N,K；N,A；N,NC；F,C；T,NC；C,NE；E,NC；C,NC
- 含三个联结词的:
  - F,K,E；F,A,E；T,K,NE；T,A,NE；K,E,NE；A,E,NE
- 其中：
  - A=\(\vee\)
  - K=\(\wedge\)
  - E=\(\leftrightarrow\)
  - C=\(\rightarrow\)
  - N=\(\neg\)

对偶式¶

对偶式：将 \(A\) 中出现的 \(\vee,\wedge,T,F\) 分别以 \(\wedge,\vee,F,T\) 代换，得到公式 \(A^{\star}\)，则称 \(A^{\star}\) 是 \(A\) 的对偶式，或说 \(A\) 和 \(A^{\star}\) 互为对偶式
内否式：若 \(A=A\left(P_{1},\cdots,P_{n}\right)\)，令 \(A\) 的内否式 \(A^{-}=A\left(\neg P_{1},\cdots,\neg P_{n}\right)\)
定理：
- \(\neg\left(A^{\star}\right)=(\neg A)^{\star}\)，\(\neg\left(A^{-}\right)=(\neg A)^{-}\)
- \(\left(A^{\star}\right)^{\star}=A\)，\(\left(A^{-}\right)^{-}=A\)
- \(\neg A=A^{\star-}=A^{-\star}\)
- 其他：
  - \((A \vee B)^{\star}=A^{\star} \wedge B^{\star}\)
  - \((A \wedge B)^{\star}=A^{\star} \vee B^{\star}\)
  - \((A \vee B)^{-}=A^{-} \vee B^{-}\)
  - \((A \wedge B)^{-}=A^{-} \wedge B^{-}\)
- 若 \(A=B\)，必有 \(A^{\star}=B^{\star}\)
- 若 \(A \rightarrow B\) 永真，必有 \(B^{\star} \rightarrow A^{\star}\) 永真
- \(A\) 与 \(A^{-}\) 同永真，同可满足；\(\neg A\) 与 \(A^{\star}\) 同永真，同可满足

范式¶

相关概念：
- 范式：一种命题公式的统一标准形式
- 文字：简单命题 \(P\) 及其否定式 \(\neg P\) 统称为文字
- 合取式：有限个文字的合取称为合取式（也称短语）
- 析取式：有限个文字的析取称为析取式（也称子句）
- 互补对：\(P\) 与 \(¬P\) 称为互补对
- 析取范式：有限个合取式的析取式，形如 \(A_{1} \vee A_{2} \vee \cdots \vee A_{n}\)，其中 \(A_{i}(i=1,\cdots,n)\) 为合取式
- 合取范式：有限个析取式的合取式，形如 \(A_{1} \wedge A_{2} \wedge \cdots \wedge A_{n}\)，其中 \(A_{i}(i=1,\cdots,n)\) 为析取式
范式定理：任一命题公式都存在与之等值的合取范式和析取范式
求范式的步骤：
1. 消去已给公式中的联结词 \(\rightarrow\) 和 \(\leftrightarrow\)。这可利用如下等值式：
  
  \[ \begin{array}{c} A \rightarrow B=\neg A \vee B \\ A \leftrightarrow B=(\neg A \vee B) \wedge(A \vee \neg B) \\ =(A \wedge B) \vee(\neg A \wedge \neg B) \end{array} \]
2. 重复使用摩根律和双重否定律，把否定词内移到直接作用于命题变项上。这可利用等值式：
  
  \[ \begin{array}{c} \neg(A \wedge B)=\neg A \vee \neg B \\ \neg(A \vee B)=\neg A \wedge \neg B \\ \neg \neg A=A \end{array} \]
  
  将所有的否定词，都内移到命题变项前，这也是范式的要求
3. 重复使用分配律的等值变换。这可利用等值式：
  
  \[ \begin{array}{l} A \wedge(B \vee C)=(A \wedge B) \vee(A \wedge C) \\ A \vee(B \wedge C)=(A \vee B) \wedge(A \vee C) \end{array} \]
  
  将公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，都必须使用分配律来实现
范式功能
- 判断重言式：合取范式中所有析取式都有互补对
- 判断矛盾式：析取范式中所有合取式都有互补对
- 判断公式等值：范式不唯一，引入唯一主范式，便于判断公式等值

主析取范式¶

极小项定义与编码：\(Q_1\wedge \cdots \wedge Q_n\) 是由 \(n\) 个命题变项 \(P_1, \cdots, P_n\) 组成的公式，其中 \(Q_i=P_i\) 或 \(\neg P_i\)，我们称其为极小项，一般用 \(m_j\) 表示 \((0\leq j\leq 2^{n}-1)\)
- 例： \(P_1, P_2\) 的极小项有四个
  - \(\neg P_1\wedge \neg P_2 (m_0)\)
  - \(\neg P_1\wedge P_2 (m_1)\)
  - \(P_1\wedge \neg P_2 (m_2)\)
  - \(P_1\wedge P_2 (m_3)\)
- 极小项必须含有 \(Q_1, \cdots, Q_n\) 全部 \(n\) 个文字
主析取范式定义：仅由极小项构成的析取式
主析取范式唯一性定理：任一含有 \(n\) 个命题变项的公式，都有唯一一个与之等值的恰仅含这 \(n\) 个命题变项的主析取范式
提取主析取范式：
- 由真值表写主析取范式：从 T 写
- 由析取范式写主析取范式：填满命题变项法, 永真式
极小项性质：
- 所有可能的极小项个数：\(2^{n}\)
- 每个极小项只在一个解释下为真，对于每个解释只有一个极小项为真
- 极小项两两不等值，而且 \(m_{i} \wedge m_{j}=\mathrm{F}(i \neq j)\)
- 任一含有 \(n\) 个变项的公式，都可由 \(k\) 个 \(\left(k \leqslant 2^{n}\right)\) 极小项的析取来表示，或说所有的极小项可建立一个“坐标系”
- 恰由 \(2^{n}\) 个极小项的析取构成的公式，必为重言式
  
  \[ \vee_{i=0}^{2^{n}-1} m_{i}=\mathrm{T} \]
- 若 \(A\) 由 \(k\) 个极小项的析取组成，那么其余的 \(2^{n}-k\) 个极小项的析取必是公式 \(\neg A\)

主合取范式¶

极大项定义与编码：\(Q_1\vee \cdots \vee Q_n\) 是由 \(n\) 个命题变项 \(P_1, \cdots, P_n\) 组成的公式，其中 \(Q_i=P_i\) 或 \(\neg P_i\)，我们称其为极大项，一般用 \(M_j\) 表示 \((0\leq j\leq 2^{n}-1)\)
- 例： \(P_1, P_2\) 的极大项有四个
  - \(\neg P_1\vee \neg P_2 (M_0)\)
  - \(\neg P_1\vee P_2 (M_1)\)
  - \(P_1\vee \neg P_2 (M_2)\)
  - \(P_1\vee P_2 (M_3)\)
- 极大项必须含有 \(Q_1, \cdots, Q_n\) 全部 \(n\) 个文字
主合取范式定义：仅由极大项构成的合取式
主合取范式唯一性定理：任一含有 \(n\) 个命题变项的公式，都有唯一一个与之等值的恰仅含这 \(n\) 个命题变项的主合取范式
提取主合取范式：
- 由真值表写主合取范式：从 F 写
- 由合取范式写主合取范式：填满命题变项法, 永假式
极大项性质：
- 所有可能的极大项个数：\(2^{n}\)
- 每个极大项只在一个解释下为假，对于每个解释只有一个极大项为假
- 极大项两两不等值，而且 \(M_{i} \vee M_{j}=T(i \neq j)\)
- 任一含有 \(n\) 个变项的公式，都可由 \(k\) 个 \(\left(k \leqslant 2^{n}\right)\) 极大项的合取来表示，或说所有的极大项可建立一个“坐标系”
- 恰由 \(2^{n}\) 个极大项的合取构成的公式，必为矛盾式
  
  \[ \wedge_{i=0}^{2^{n}-1} M_{i}=\mathrm{F} \]
- 若 \(A\) 由 \(k\) 个极大项的合取组成，那么其余的 \(2^{n}-k\) 个极大项的合取必是公式 \(\neg A\)

主析取范式与主合取范式的转换¶

\(\neg P\) 看成 \(0\)，\(P\) 看成 \(1\)，按变项的字典序连起来形成一个二进制数 \(x\)
- 极小项简记为 \(m\)，主析取范式可记为 \(\vee_{m_1;m_2;\cdots}\)
- 极大项简记为 \(M\)，主合取范式可记为 \(\wedge_{M_1;M_2;\cdots}\)

主析取范式和主合取范式的转换

注意：
- 从真值表列写公式的主析取范式和主合取范式时，除了分别从 T 和 F 列写外，在填写合取式和析取式时是取变项还是其否定是有区别的，这就是主合取范式、主析取范式转换过程要求补的原因
- 数字补不同于补集。这里的数字求补是对 \(2^n-1=2^3-1=7\) 而言的，如 \(2\) 的补是 \(5\)，因为 \(2+5=7\)

推理形式¶

重言蕴含：如果给定两个公式 \(A,B\)，只要 \(A\) 取值为真，\(B\) 就必取值为真，便称 \(A\) 重言（永真）蕴涵 \(B\)，或称 \(B\) 是 \(A\) 的 逻辑推论，记为 \(A \Rightarrow B\)
- 符号“\(\Rightarrow\)”表示两个公式间的一种真值关系，它不是逻辑联结词，\(A \Rightarrow B\) 也不是合式公式
- 对以 \(A \rightarrow B\) 表示的推理形式来说，推理形式是正确的，就同 \(A\) 重言蕴涵 \(B\) 是同一概念了，于是正确的推理形式便可以 \(A \Rightarrow B\) 表示了
性质：
- 如果 \(A \Rightarrow B\)，\(A\) 为重言式，则 \(B\) 也是重言式
- 如果 \(A \Rightarrow B\)，\(B \Rightarrow A\) 同时成立，必有 \(A=B\)
- 反过来，\(A=B\) 也必有 \(A \Rightarrow B\) 和 \(B \Rightarrow A\)
- 如果 \(A \Rightarrow B\)，\(B \Rightarrow C\)，则 \(A \Rightarrow C\)
- 如果 \(A \Rightarrow B\)，\(A \Rightarrow C\)，则 \(A \Rightarrow B \wedge C\)
- 如果 \(A \Rightarrow C\)，\(B \Rightarrow C\)，则 \(A \vee B \Rightarrow C\)

基本推理公式¶

化简律：\(P \wedge Q \Rightarrow P\)
\(\neg(P \rightarrow Q) \Rightarrow P\)
\(\neg(P \rightarrow Q) \Rightarrow \neg Q\)
附加律：\(P \Rightarrow P \vee Q\)
\(\neg P \Rightarrow P \rightarrow Q\)
\(Q \Rightarrow P \rightarrow Q\)
析取三段论：\((P \vee Q) \wedge \neg P \Rightarrow Q\)
假言推理/分离规则：\((P \rightarrow Q) \wedge P \Rightarrow Q\)
拒取式：\((P \rightarrow Q) \wedge \neg Q \Rightarrow \neg P\)
假言三段论/三段论：\((P \rightarrow Q) \wedge(Q \rightarrow R) \Rightarrow P \rightarrow R\)
等价三段论：\((P \leftrightarrow Q) \wedge(Q \leftrightarrow R) \Rightarrow P \leftrightarrow R\)
构造性二难（特殊形式）：\((P \rightarrow R) \wedge(Q \rightarrow R) \wedge(P \vee Q) \Rightarrow R\)
构造性二难：\((P \rightarrow Q) \wedge(R \rightarrow S) \wedge(P \vee R) \Rightarrow Q \vee S\)
破坏性二难：\((P \rightarrow Q) \wedge(R \rightarrow S) \wedge(\neg Q \vee \neg S) \Rightarrow \neg P \vee \neg R\)
\((Q \rightarrow R) \Rightarrow((P \vee Q) \rightarrow(P \vee R))\)
\((Q \rightarrow R) \Rightarrow((P \rightarrow Q) \rightarrow(P \rightarrow R))\)

证明推理公式的方法¶

\(A \Rightarrow B\) 成立的充分必要条件是 \(A \rightarrow B\) （或 \(\neg A \vee B\)）为重言式
\(A \Rightarrow B\) 成立的充分必要条件是 \(A \wedge \neg B\) 是矛盾式
还可以用：逆否命题法、解释法、真值表法、等值演算、范式

推理演算¶

基本思想：从前提 \(A_1, \cdots, A_n\) 出发（即 \(A = A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_n\)）运用推理规则和基本推理公式，逐步推演出结论 \(B\)，即证明 \(A \Rightarrow B\)
推理规则
- 前提引入规则：在推理过程中，可以随时引入前提
- 结论引用规则：在推理过程中所得到的中间结论，可作为后续推理的前提
- 代入规则：在推理过程中，对 重言式 中的命题变项可使用代入规则
- 置换规则：在推理过程中，命题公式中的任何部分公式都可以用与之等值的命题公式来置换
- 分离规则（假言推理）：如果已知命题公式 \(A \rightarrow B\) 和 \(A\)，则有命题公式 \(B\)
- 条件证明规则（附加前提）：\(A_{1} \wedge A_{2} \Rightarrow B\) 与 \(A_{1} \Rightarrow A_{2} \rightarrow B\) 是等价的

归结推理¶

特点
- 定理机器证明方法
- 只有一条归结推理规则
- 易于机器实现
- 可推广到谓词逻辑推理
基本思想
- 证明 \(A \Rightarrow B\) 等价于证明 \(A \wedge \neg B\) 是矛盾式
- 用反证法，即假设 \(A \wedge \neg B\) 在某种解释下为真，最后导出矛盾，得以证明
归结证明过程
1. 从 \(A \wedge \neg B\) 出发建立子句集 \(S\)
  - 将 \(A \wedge \neg B\) 化为合取范式，每个析取式均作为一个子句，构成这些子句的集合，记为 \(S\)
  - 如
    
    \[ P \wedge(P \vee R) \wedge(\neg P \vee \neg Q) \wedge(\neg P \vee R)\\ S=\{P,(P \vee R),(\neg P \vee \neg Q),(\neg P \vee R)\} \]
2. 对 \(S\) 作归结进而对 \(S\) 的子句作归结（消互补对），如子句 \(P \vee R\) 与 \(\neg P \vee \neg Q\) 作归结，得归结式 \(R \vee \neg Q\)，并将这归结式仍放入 \(S\) 中。重复这过程。
3. 直至归结出矛盾式 \(\square\)
4. 归结式定义：设 \(R_1=P\vee Q_1, R_2=\neg P\vee Q_2\) 为两个子句，有互补对 \(P\) 和 \(\neg P\)，则新子句 \(R(R_1, R_2)= Q_1 \vee Q_2\) 称为 \(R_1, R_2\) 的归结式
5. 推理规则 \(R_1\wedge R_2 ⇒ R(R_1, R_2)\)
6. 设在任一解释下, \(R_1\wedge R_2=T\), 则 \(R_1=T\) 且 \(R_2=T\)
7. 若 \(P=T\), 则 \(\neg P=F\), \(Q_2=T\), \(R(R_1, R_2)= Q_1\vee Q_2=T\)
8. 若 \(P=F\), 则 \(\neg P=T\), \(Q_1=T\), \(R(R_1, R_2)= Q_1\vee Q_2=T\)
9. 若 \(Q_1=T\) 或者 \(Q_2=T\), 都有 \(R(R_1, R_2)= Q_1\vee Q_2=T\)

\(P\)	\(f_0(P)\)	\(f_1(P)\)	\(f_2(P)\)	\(f_3(P)\)
T	T	F	T	F
F	F	T	F	T

第二章 命题逻辑的等值和推演运算¶

等值定理¶

等值公式¶

基本等值公式（命题定律）¶

Venn 图¶

常用等值公式¶

置换规则¶

命题公式与真值表关系¶

T 列写¶

F 列写¶

联结词的完备集¶

命题联结词的个数¶

联结词的完备集¶

对偶式¶

范式¶

范式¶

主析取范式¶

主合取范式¶

主析取范式与主合取范式的转换¶

推理形式¶

基本推理公式¶

证明推理公式的方法¶

推理演算¶

归结推理¶

第二章命题逻辑的等值和推演运算¶