第三章 从矩阵到线性映射¶
3.1 常见矩阵与线性映射¶
可逆矩阵与可逆映射¶
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可逆映射与逆映射：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)。若存在 \(\mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(U,V)\)，使得
\[ \mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{I}_V,\qquad\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{I}_U \]则称 \(\mathcal{A}\) 为可逆映射，\(\mathcal{B}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的逆映射，记为 \(\mathcal{A}^{-1}\)。
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可逆映射的矩阵判定：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 在给定两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则 \(\mathcal{A}\) 可逆当且仅当 \(\mathbf{A}\) 可逆。此时
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\(\dim V=\dim U\)；
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\(\mathcal{A}^{-1}\) 唯一；
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\(\mathcal{A}^{-1}\) 在交换定义域与陪域的上述两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}^{-1}\)。
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可逆映射与同构映射：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则 \(\mathcal{A}\) 可逆 \(\iff \mathcal{A}\) 为同构映射。
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特别地，若 \(U=V\)，则下列陈述等价：
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\(\mathcal{A}\) 为单射
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\(\mathcal{A}\) 为满射
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\(\mathcal{A}\) 可逆
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幂零矩阵与幂零映射¶
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幂零矩阵与幂零指数：设 \(\mathbf{A}\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。若存在正整数 \(k\)，使得 \(\mathbf{A}^k=\mathbf{0}\)，则称 \(\mathbf{A}\) 为幂零矩阵。使该式成立的最小正整数 \(k\) 称为 \(\mathbf{A}\) 的幂零指数。
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幂零映射与幂零指数：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。若存在正整数 \(k\)，使得
\[ \mathcal{A}^k=\mathcal{O} \]则称 \(\mathcal{A}\) 为幂零映射。使该式成立的最小正整数 \(k\) 称为 \(\mathcal{A}\) 的幂零指数。
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幂零映射的矩阵判定：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathbf{A}\) 为 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 在一组基下的矩阵，则 \(\mathcal{A}\) 为幂零映射当且仅当 \(\mathbf{A}\) 为幂零矩阵，即
\[ \mathcal{A}^k=\mathcal{O}\iff\mathbf{A}^k=\mathbf{0} \]且二者的幂零指数相同。
幂等矩阵、幂等映射与投影映射¶
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幂等映射：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。若 \(\mathcal{A}\) 满足
\[ \mathcal{A}^2=\mathcal{A} \]则称 \(\mathcal{A}\) 为幂等映射。
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幂等映射的矩阵判定：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathbf{A}\) 为 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 在一组基下的矩阵，则 \(\mathcal{A}\) 为幂等映射当且仅当 \(\mathbf{A}\) 为幂等矩阵，即
\[ \mathcal{A}^2=\mathcal{A}\iff\mathbf{A}^2=\mathbf{A} \] -
幂等映射的直和分解：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\) 为 \(V\) 上的幂等映射，则
\[ V=\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\oplus\operatorname{Im}(\mathcal{A}) \]-
对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，其可分解为
\[ \boldsymbol{\alpha}=\bigl(\boldsymbol{\alpha}-\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\bigr)+\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}) \]其中 \(\boldsymbol{\alpha}-\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\in\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\)，\(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\in\operatorname{Im}(\mathcal{A})\)。
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投影映射的线性性：设 \(V=U\oplus W\)。对任意 \(\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}\)，其中 \(\boldsymbol{u}\in U\)、\(\boldsymbol{w}\in W\)，定义
\[ P_{U,W}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{u} \]则 \(P_{U,W}\) 是 \(V\) 到自身的一个线性映射，称为沿子空间 \(W\) 在子空间 \(U\) 上的投影映射。
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幂等映射与投影映射的等价性：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，则下列陈述等价：
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\(\mathcal{A}\) 为幂等映射
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\(\mathcal{A}\) 为投影映射
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\(\mathcal{A}\) 是沿 \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\) 在 \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 上的投影映射
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\(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵 \(\mathbf{A}\) 满足 \(\mathbf{A}^2=\mathbf{A}\)
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3.2 内积空间上的线性映射¶
Hermitian 矩阵与 Hermitian 映射¶
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Hermitian 映射：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\)（\(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)）上的 \(n\) 维内积空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。若
\[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta})),\quad\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V \]则称 \(\mathcal{A}\) 为 Hermitian 映射。
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Hermitian 映射的矩阵判定：设 \(\mathbf{A}\) 为 \(\mathcal{A}\) 在一组标准正交基下的矩阵，则 \(\mathcal{A}\) 为 Hermitian 映射当且仅当 \(\mathbf{A}\) 为 Hermitian 矩阵，即
\[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))\iff\mathbf{A}^{*}=\mathbf{A} \] -
伴随映射：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(m\) 维和 \(n\) 维内积空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射。若线性映射 \(\mathcal{B}:U\to V\) 满足
\[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\boldsymbol{\beta})_U=(\boldsymbol{\alpha},\mathcal{B}(\boldsymbol{\beta}))_V,\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V,\boldsymbol{\beta}\in U \]则称 \(\mathcal{B}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的伴随映射，记为 \(\mathcal{A}^{*}\)。
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自伴随映射：若 \(U=V\) 且 \(\mathcal{A}^{*}=\mathcal{A}\)，则称 \(\mathcal{A}\) 为自伴随映射，简称自伴映射。Hermitian 映射即自伴映射。
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伴随映射的存在唯一性：有限维内积空间之间的每个线性映射均有唯一的伴随映射。
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伴随映射的矩阵判定：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 在 \(V\) 和 \(U\) 的给定标准正交基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则 \(\mathcal{A}\) 的伴随映射 \(\mathcal{A}^{*}:U\to V\) 在交换顺序后的上述两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\) 的共轭转置 \(\mathbf{A}^{*}\)。
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伴随映射的运算性质：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(m\) 维和 \(n\) 维内积空间，则
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二次伴随：\((\mathcal{A}^{*})^{*}=\mathcal{A}\)，\(\forall\mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
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和的伴随：\((\mathcal{A}+\mathcal{B})^{*}=\mathcal{A}^{*}+\mathcal{B}^{*}\)，\(\forall\mathcal{A},\mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
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数乘的伴随：\((k\mathcal{A})^{*}=\overline{k}\mathcal{A}^{*}\)，\(\forall k\in\mathbb{F},\mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
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复合的伴随：\((\mathcal{A}\mathcal{B})^{*}=\mathcal{B}^{*}\mathcal{A}^{*}\)，\(\forall \mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(W,V),\mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
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幂等 Hermitian 矩阵与正交投影映射¶
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正交投影映射：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维内积空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，则 \(\mathcal{A}\) 是自伴随的幂等映射 \(\iff \mathcal{A}\) 是在子空间 \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 上的正交投影映射。
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正交投影映射的判定：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，则下列陈述等价：
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\(\mathcal{A}\) 为正交投影映射
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\(\mathcal{A}\) 为自伴的幂等映射，即 \(\mathcal{A}^{*}=\mathcal{A}\) 且 \(\mathcal{A}^2=\mathcal{A}\)
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\(\mathcal{A}\) 在一组标准正交基下的矩阵 \(\mathbf{A}\) 满足 \(\mathbf{A}^{*}=\mathbf{A}\) 且 \(\mathbf{A}^2=\mathbf{A}\)
此时 \(\mathcal{A}=P_{\operatorname{Im}(\mathcal{A})}\)，且
\[ \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Im}(\mathcal{A})^{\perp} \] -
酉矩阵与保距映射¶
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保距映射：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维内积空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。若
\[ d(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=d(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V \]则称 \(\mathcal{A}\) 为保距映射或等距映射。
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正交映射：实内积空间上的保距线性映射称为正交映射。
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酉映射：复内积空间上的保距线性映射称为酉映射。
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保距映射的等价刻画：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维内积空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，则下列陈述等价：
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\(\mathcal{A}\) 为保距映射
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\(\mathcal{A}\) 保持向量的长度，即 \(\lVert\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\rVert=\lVert\boldsymbol{\alpha}\rVert\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha}\in V\)
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\(\mathcal{A}\) 保持内积，即 \((\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\)，\(\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)
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\(\mathcal{A}\) 将一组标准正交基映为一组标准正交基
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\(\mathcal{A}\) 在一组标准正交基下的矩阵 \(\mathbf{A}\) 为酉矩阵，即 \(\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}=\mathbf{I}\)；实数域情形为正交矩阵
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Givens 旋转矩阵：设 \(1\leq i<j\leq n\)。在单位矩阵 \(\mathbf{I}_n\) 中，将第 \(i,j\) 行与第 \(i,j\) 列交叉处的 \(2\times2\) 子矩阵替换为
\[ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]所得矩阵称为 Givens 旋转矩阵，也称 Jacobi 旋转矩阵。它是正交矩阵，所对应的线性映射为保距映射。
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Householder 矩阵（镜像映射）：设 \(\boldsymbol{\alpha}\in\mathbb{C}^n\)，\(\boldsymbol{\alpha}\ne\boldsymbol{0}\)，采用标准内积。关于 \(L(\boldsymbol{\alpha})^{\perp}\) 的镜像映射为
\[ \mathcal{H}_{L(\boldsymbol{\alpha})}(\boldsymbol{x})=P_{L(\boldsymbol{\alpha})^{\perp}}(\boldsymbol{x})-P_{L(\boldsymbol{\alpha})}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}-2P_{L(\boldsymbol{\alpha})}(\boldsymbol{x}) \]其中 \(P_{L(\boldsymbol{\alpha})}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^*\boldsymbol{\alpha})^{-1}\boldsymbol{\alpha}^*\boldsymbol{x}=\frac{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{*}}{\boldsymbol{\alpha}^{*}\boldsymbol{\alpha}}\boldsymbol{x}\)
其矩阵
\[ \mathbf{H}_{L(\boldsymbol{\alpha})}=\mathbf{I}-2\frac{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{*}}{\boldsymbol{\alpha}^{*}\boldsymbol{\alpha}} \]称为 Householder 矩阵。它是酉矩阵，所对应的镜像映射为保距映射。
3.3 矩阵转置与线性映射的对偶¶
对偶空间与对偶映射¶
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对偶空间与线性泛函：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，定义
\[ V'=\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,\mathbb{F}) \]称 \(V'\) 为 \(V\) 的对偶空间或共轭空间，其中的元素称为线性泛函。
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对偶空间的维数与同构关系：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，则
\[ \dim V'=n,\qquad V\cong V'\cong \mathbb{F}^n \] -
对偶基：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 为 \(V\) 的一组基。对每个 \(i=1,\dots,n\)，存在唯一的线性泛函 \(\varphi_i\in V'\)，满足
\[ \varphi_i(\boldsymbol{\alpha}_j)=\delta_{ij},\quad i,j=1,\dots,n \]则 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 构成 \(V'\) 的一组基，称为 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 的对偶基。
- 特别地，若 \(\boldsymbol{\alpha}=\sum_{j=1}^n x_j\boldsymbol{\alpha}_j\)，则 \(\varphi_i(\boldsymbol{\alpha})=x_i\)。
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对偶基的过渡矩阵：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，两组基分别为
\[ \boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n \qquad \boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n \]相应的 \(V'\) 的对偶基分别为
\[ \varphi_1,\dots,\varphi_n \qquad \psi_1,\dots,\psi_n \]即
\[ \varphi_i(\boldsymbol{\alpha}_j)=\delta_{ij}\qquad \psi_i(\boldsymbol{\beta}_j)=\delta_{ij} \]设 \(V\) 中从基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 到基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n\) 的过渡矩阵为 \(\mathbf{P}\)，即
\[ (\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)=(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\mathbf{P} \]则对偶基的过渡矩阵为 \(\mathbf{Q}=\mathbf{P}^{-\top}\)，即
\[ (\psi_1,\dots,\psi_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\mathbf{P}^{-\top} \]-
推导：设 \((\psi_1,\dots,\psi_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\mathbf{Q}\)，则
\[ \psi_i=\sum_{k=1}^n q_{ki}\varphi_k,\qquad \boldsymbol{\beta}_j=\sum_{\ell=1}^n p_{\ell j}\boldsymbol{\alpha}_{\ell} \]由对偶关系得
\[ \delta_{ij}=\psi_i(\boldsymbol{\beta}_j) =\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n q_{ki}p_{\ell j}\varphi_k(\boldsymbol{\alpha}_{\ell}) =\sum_{k=1}^n q_{ki}p_{kj} =(\mathbf{Q}^{\top}\mathbf{P})_{ij} \]因而 \(\mathbf{Q}^{\top}\mathbf{P}=\mathbf{I}\)，即 \(\mathbf{Q}=\mathbf{P}^{-\top}\)。
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坐标变换：对任意 \(\eta\in V'\)，设 \(\mathbf{x}\)、\(\mathbf{y}\) 分别表示 \(\eta\) 在上述两组对偶基下的列坐标，即
\[ \begin{aligned} \eta&=\begin{pmatrix} \varphi_1 &\dots & \varphi_n \end{pmatrix}\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i\varphi_i \\ &=\begin{pmatrix} \psi_1 &\dots & \psi_n \end{pmatrix}\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n y_i\psi_i \end{aligned} \]则有
\[ \mathbf{x}=\mathbf{P}^{-\top}\mathbf{y} \]对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，设 \(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\) 分别表示 \(\boldsymbol{\alpha}\) 在上述两组基下的列坐标，即
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 &\dots & \boldsymbol{\alpha}_n \end{pmatrix}\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u_i\boldsymbol{\alpha}_i \\ =\begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1 &\dots & \boldsymbol{\beta}_n \end{pmatrix}\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v_i\boldsymbol{\beta}_i \end{aligned} \]则有
\[ \begin{aligned} \eta(\boldsymbol{\alpha})&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i u_j \varphi_i(\boldsymbol{\alpha}_j)=\sum_{i=1}^n x_i u_i=\mathbf{x}^{\top}\mathbf{u} \\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n y_i v_j \psi_i(\boldsymbol{\beta}_j)=\sum_{i=1}^n y_i v_i=\mathbf{y}^{\top}\mathbf{v} \end{aligned} \]
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转置矩阵与对偶映射¶
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对偶映射：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，定义 \(\mathcal{A}'\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(U',V')\) 为
\[ \begin{aligned} \mathcal{A}':U'&\to V'\\ \varphi&\mapsto\varphi\circ\mathcal{A} \end{aligned} \]则 \(\mathcal{A}'\) 为线性映射，称为 \(\mathcal{A}\) 的对偶映射。
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对任意 \(\varphi\in U'\) 和 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，有
\[ \mathcal{A}'(\varphi)(\boldsymbol{\alpha})=\varphi(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})) \]
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对偶映射的矩阵判定：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，\(V\) 和 \(U\) 的基分别为
\[ \boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n \qquad \boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m \]相应的对偶基分别为
\[ \varphi_1,\dots,\varphi_n \qquad \psi_1,\dots,\psi_m \]设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 在上述两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，对偶映射 \(\mathcal{A}'\) 在上述两组对偶基下的矩阵为 \(\mathbf{A}'\)，即
\[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)=(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m)\mathbf{A} \]\[ \mathcal{A}'(\psi_1,\dots,\psi_m)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\mathbf{A}' \]则 \(\mathbf{A}'\) 为 \(\mathbf{A}\) 的转置矩阵，即
\[ \mathbf{A}'=\mathbf{A}^{\top} \] -
对偶映射的运算性质：设 \(V,U,W\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维线性空间，则
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和的对偶：\((\mathcal{A}+\mathcal{B})'=\mathcal{A}'+\mathcal{B}'\)，\(\forall \mathcal{A},\mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
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数乘的对偶：\((k\mathcal{A})'=k\mathcal{A}'\)，\(\forall k\in\mathbb{F},\mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)
-
复合的对偶：\((\mathcal{B}\mathcal{A})'=\mathcal{A}'\mathcal{B}'\)，\(\forall \mathcal{A}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U),\mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(U,W)\)
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3.4 分块对角矩阵与线性映射的不变子空间¶
不变子空间的概念¶
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不变子空间：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(W\) 为 \(V\) 的子空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。若
\[ \mathcal{A}(W)\subseteq W \]即 \(\forall\boldsymbol{\alpha}\in W\)，\(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\in W\)，则称 \(W\) 为 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，简称 \(\mathcal{A}\)-子空间。
- 矩阵的不变子空间：设 \(\mathbf{A}\in\mathbb{F}^{n\times n}\)，考虑从 \(\mathbb{F}^n\) 到自身的线性映射 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\mathbf{A}\boldsymbol{x}\)。若 \(\mathcal{A}(W)\subseteq W\)，则称 \(W\) 为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的不变子空间。
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基本不变子空间：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，则下列子空间均为 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间：
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\(\{\boldsymbol{0}\}\) 和 \(V\)
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\(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 和 \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\)
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对任意 \(f(t)\in\mathbb{F}[t]\)，\(\operatorname{Im}(f(\mathcal{A}))\) 和 \(\operatorname{Ker}(f(\mathcal{A}))\)
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\(\mathcal{A}\) 的每个特征子空间 \(E(\lambda,\mathcal{A})\)
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数乘映射的不变子空间：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(k\in\mathbb{F}\)，则 \(V\) 的任意子空间均为数乘映射 \(k\mathcal{I}_V\) 的不变子空间。
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可交换映射产生的不变子空间：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间。若 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 满足 \(\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}\)，则 \(\operatorname{Im}(\mathcal{B})\)、\(\operatorname{Ker}(\mathcal{B})\) 以及 \(\mathcal{B}\) 的每个特征子空间均为 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。
分块对角矩阵与不变子空间的直和¶
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不变子空间的矩阵判定：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 为 \(V\) 的一组基，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)。则 \(W=L(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r)\) 为 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，当且仅当 \(\mathcal{A}\) 在该基下的矩阵形如
\[ \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B}\\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix} \]其中 \(\mathbf{A}\in\mathbb{F}^{r\times r}\)，\(\mathbf{B}\in\mathbb{F}^{r\times(n-r)}\)，\(\mathbf{C}\in\mathbb{F}^{(n-r)\times(n-r)}\)。
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不变子空间直和与分块对角矩阵：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，\(n_1+\dots+n_k=n\)。则下列陈述等价：
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存在 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间 \(W_1,\dots,W_k\)，使得
\[ V=W_1\oplus\dots\oplus W_k,\qquad\dim W_i=n_i \] -
\(V\) 中存在一组基，使得 \(\mathcal{A}\) 在该基下的矩阵为
\[ \operatorname{diag}(\mathbf{A}_1,\dots,\mathbf{A}_k),\qquad\mathbf{A}_i\in\mathbb{F}^{n_i\times n_i} \]- 对每个 \(W_i\) 各取一组基，再按顺序合并，即得到上述分块对角矩阵所对应的 \(V\) 的基。
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