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第一章 线性空间

1.1 线性空间的概念

基础知识见往期笔记：MATH1205-线性代数/4.线性空间与线性变换

1.2 线性子空间

线性子空间的概念

概念同样见往期笔记：MATH1205-线性代数/4.线性空间与线性变换

矩阵的列空间、零空间、行空间和左零化空间

  • 定义：设 \(A_{m\times n} \in \mathbb{F}^{m\times n}\)，则

    • \(A\) 的 列空间 \(R(A)\)：\(A\) 的列向量生成的空间；

      • \(R(A) = \{A\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in \mathbb{F}^n\} = L(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) \subseteq \mathbb{F}^m\)

      • \(\dim R(A) = \mathrm{rank}(A)\)

    • \(A\) 的 零化空间 \(N(A)\)：齐次线性方程组 \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) 的解空间；

      • \(N(A) = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}^n \mid A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\} \subseteq \mathbb{F}^n\)

      • \(\dim N(A) = n - \mathrm{rank}(A)\)

    • \(A\) 的 行空间 \(R(A^\top)\)：\(A\) 的行向量生成的空间；

      • \(R(A^\top) = \{A^\top\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{y} \in \mathbb{F}^m\} = L(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m) \subseteq \mathbb{F}^n\)

      • \(\dim R(A^\top) = \mathrm{rank}(A)\)

    • \(A\) 的 左零化空间 \(N(A^\top)\)：齐次线性方程组 \(\boldsymbol{y}A=\boldsymbol{0}\) 的解空间；

      • \(N(A^\top) = \{\boldsymbol{y} \in \mathbb{F}^m \mid \boldsymbol{y}A = \boldsymbol{0}\} \subseteq \mathbb{F}^m\)

      • \(\dim N(A^\top) = m - \mathrm{rank}(A)\)

  • 性质：设 \(A_{m\times n} \in \mathbb{F}^{m\times n}\)，构造矩阵 \((I,A)\)，经行变换化为 \((P,H_A)\)，其中 \(I\) 表示单位矩阵，\(H_A\) 为 \(A\) 的 Hermitian 标准形，则

    • 设 \(H_A\) 中每个非零行的第 \(1\) 个非零元素所在列为 \(j_1 < j_2 < \dots < j_r\)。从 \(A\) 中挑选出第 \(j_1,j_2,\dots,j_r\) 列，这 \(r\) 个列向量为 \(R(A)\) 的一组基；

    • \(H_A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\) 的一个基础解系是 \(N(A)\) 的一组基；

    • \(H_A\) 的前 \(r\) 个非零行的转置为 \(R(A^\top)\) 的一组基；

    • 矩阵 \(P\) 的后 \(m-r\) 行的转置是 \(N(A^\top)\) 的一组基。