第二章 线性映射

2.1 线性映射

线性映射的概念

• 线性映射：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。若映射 \(\mathcal{A}:V\to U\) 满足

  1. 保持加法：\(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})+\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V\)；

  2. 保持纯量乘法：\(\mathcal{A}(k\boldsymbol{\alpha})=k\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\quad\forall k\in\mathbb{F},\boldsymbol{\alpha}\in V\)；

  则称 \(\mathcal{A}\) 为 \(V\) 到 \(U\) 的线性映射。

• 像与原像：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，\(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，则 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\in U\) 称为 \(\boldsymbol{\alpha}\) 的像，\(\boldsymbol{\alpha}\) 称为 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\) 的原像。

• 数乘映射：设 \(k\in\mathbb{F}\) 为固定常数，定义 \(\mathcal{A}:V\to V\) 为

  \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=k\boldsymbol{\alpha},\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

  则 \(\mathcal{A}\) 为线性映射，称为数乘映射。

  • 恒等映射：\(k=1\) 时，称为恒等映射，记为 \(\mathcal{I}_V\) 或 \(\mathcal{I}\)。

  • 零映射：\(k=0\) 时，称为零映射，记为 \(\mathcal{O}\)，即 \(\mathcal{O}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{0}\)。

• 线性映射的集合：记 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\) 为 \(V\) 到 \(U\) 的所有线性映射组成的集合，即

  \[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)=\{\mathcal{A}\mid\mathcal{A}:V\to U\text{ 为线性映射}\} \]

  则 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。

  \[ \operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)=\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,V) \]

  为 \(V\) 到自身的所有线性映射组成的集合。

  \[ V^*=\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,\mathbb{F}) \]

  为 \(V\) 到数域 \(\mathbb{F}\) 的所有线性映射组成的集合，即 \(V\) 的对偶空间。

线性映射的性质

• 零向量与负向量的像：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则

  \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0},\qquad\mathcal{A}(-\boldsymbol{\alpha})=-\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

• 保持线性组合：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则对任意 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\in V\) 和 \(k_1,\dots,k_s\in\mathbb{F}\)，有

  \[ \mathcal{A}\left(\sum_{i=1}^s k_i\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum_{i=1}^s k_i\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_i) \]

• 线性相关性的保持：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则

  1. 若 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性相关，则 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_s)\) 线性相关；

  2. 若 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_s)\) 线性无关，则 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性无关。

2.2 线性映射与矩阵

线性映射在给定基下的矩阵

• 线性映射的矩阵表示：设 \(V\) 和 \(U\) 分别为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射。设 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 为 \(V\) 的一组基，\(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m\) 为 \(U\) 的一组基，且

  \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}\boldsymbol{\beta}_i,\quad j=1,\dots,n \]

  则称 \(\mathbf{A}=(a_{ij})_{m\times n}\) 为 \(\mathcal{A}\) 在这两组基下的矩阵，即

  \[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_n))=(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m)\mathbf{A} \]

  其中 \(\mathbf{A}\) 的第 \(j\) 列为 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_j)\) 在 \(U\) 的给定基下的坐标。

  • 唯一性：固定 \(V\) 和 \(U\) 的上述两组基，对任意 \(\mathbf{A}\in\mathbb{F}^{m\times n}\)，存在唯一的线性映射 \(\mathcal{A}:V\to U\)，使其在这两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)。

• 像的坐标公式：若 \(\mathcal{A}\) 在上述两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，且 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\) 在基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 下的坐标为 \(\boldsymbol{x}\)，则 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\) 在基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m\) 下的坐标为

  \[ \boldsymbol{y}=\mathbf{A}\boldsymbol{x} \]

• 线性映射与矩阵的一一对应：记 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\) 为 \(V\) 到 \(U\) 的所有线性映射组成的集合。固定 \(V\) 和 \(U\) 的基后，\(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\) 与 \(\mathbb{F}^{m\times n}\) 中的矩阵一一对应。即

  \[ \begin{aligned} \Phi:\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)&\to\mathbb{F}^{m\times n}\\ \mathcal{A}&\mapsto\mathbf{A} \end{aligned} \]

  则 \(\Phi\) 为一个双射，且 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U) \cong \mathbb{F}^{m\times n}\)。

线性映射的值域与核

• 值域与核：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，定义

  • 值域（像空间）：

    \[ \operatorname{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})\mid\boldsymbol{\alpha}\in V\}=\mathcal{A}(V) \]

  • 核（核空间）：

    \[ \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\{\boldsymbol{\alpha}\in V\mid\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{0}\} \]

  • 性质：

    • \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 是 \(U\) 的子空间

    • \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\) 是 \(V\) 的子空间

• 秩与零度：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为有限维线性空间之间的线性映射。

  • 秩：\(r(\mathcal{A})=\dim\operatorname{Im}(\mathcal{A})\)

  • 零度：\(r(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=\dim\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\)

• 秩与零度定理：设 \(V\) 为有限维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则

  \[ \dim\operatorname{Im}(\mathcal{A})+\dim\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\dim V \]

• 像空间与矩阵列空间的关系：设 \(V\) 和 \(U\) 分别为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，在基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 和 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m\) 下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则

  \[ \begin{aligned} \operatorname{Im}(\mathcal{A})&=L(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_n))\\ &=\{(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m)\boldsymbol{y}\mid\boldsymbol{y}\in R(\mathbf{A})\} \end{aligned} \]

  • 秩的关系：\(r(\mathcal{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})\)。

  • 值域的基：若 \(\boldsymbol{\xi}_1,\dots,\boldsymbol{\xi}_r\) 为 \(R(\mathbf{A})\) 的一组基，则

    \[ (\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m)\boldsymbol{\xi}_1,\quad\dots,\quad(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m)\boldsymbol{\xi}_r \]

    为 \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 的一组基。

• 核空间与矩阵零空间的关系：在上述条件下，有

  \[ \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\{(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\boldsymbol{x}\mid\boldsymbol{x}\in N(\mathbf{A})\} \]

  • 零度的计算：\(\dim\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})\)。

  • 核的基：若 \(\boldsymbol{\eta}_1,\dots,\boldsymbol{\eta}_{n-r}\) 为 \(N(\mathbf{A})\) 的一组基，则

    \[ (\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\boldsymbol{\eta}_1,\quad\dots,\quad(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\boldsymbol{\eta}_{n-r} \]

    为 \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\) 的一组基。

• 像空间基的原像与核的基：设 \(V\) 为 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to V\) 为线性映射。若 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_r\) 为 \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 的一组基，对每个 \(i=1,\dots,r\) 选取一个原像 \(\boldsymbol{\alpha}_i\)，使得 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_i)=\boldsymbol{\beta}_i\)，再取 \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\) 的一组基 \(\boldsymbol{\alpha}_{r+1},\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\)，则 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 构成 \(V\) 的一组基。

线性映射与等价矩阵

• 不同基下矩阵的等价关系：设 \(V\) 和 \(U\) 分别为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维和 \(m\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，设满足：

  1. \(\mathcal{A}\) 在 \(V\) 的基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 和 \(U\) 的基 \(\boldsymbol{\alpha}'_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}'_m\) 下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，即

     \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)=(\boldsymbol{\alpha}'_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}'_m)\mathbf{A} \]

  2. \(\mathcal{A}\) 在 \(V\) 的基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n\) 和 \(U\) 的基 \(\boldsymbol{\beta}'_1,\dots,\boldsymbol{\beta}'_m\) 下的矩阵为 \(\mathbf{B}\)，即

     \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)=(\boldsymbol{\beta}'_1,\dots,\boldsymbol{\beta}'_m)\mathbf{B} \]

  3. 从 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 到 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n\) 的过渡矩阵为 \(\mathbf{P}\)，即

     \[ (\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)=(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\mathbf{P} \]

  4. 从 \(\boldsymbol{\alpha}'_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}'_m\) 到 \(\boldsymbol{\beta}'_1,\dots,\boldsymbol{\beta}'_m\) 的过渡矩阵为 \(\mathbf{Q}\)，即

     \[ (\boldsymbol{\beta}'_1,\dots,\boldsymbol{\beta}'_m)=(\boldsymbol{\alpha}'_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}'_m)\mathbf{Q} \]

  则 \(\mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{B}\) 等价，且

  \[ \mathbf{B}=\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} \]

  即

• 线性映射的相抵标准形：设 \(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，\(r=r(\mathcal{A})\)。则存在 \(V\) 的一组基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 和 \(U\) 的一组基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_m\)，使得 \(\mathcal{A}\) 在这两组基下的矩阵为

  \[ \begin{pmatrix} \mathbf{I}_r & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}_{m\times n} \]

  此时 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_r\) 为 \(\operatorname{Im}(\mathcal{A})\) 的一组基，\(\boldsymbol{\alpha}_{r+1},\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 为 \(\operatorname{Ker}(\mathcal{A})\) 的一组基。

线性映射与相似矩阵

• 线性空间到自身的线性映射：记 \(\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\) 为 \(V\) 到自身的所有线性映射组成的集合，则

  \[ \operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)=\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,V) \]

  对 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，在定义域和陪域取相同的基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\)，若

  \[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_n))=(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\mathbf{A} \]

  则称 \(\mathbf{A}\) 为 \(\mathcal{A}\) 在该基下的矩阵。

• 不同基下矩阵的相似关系：设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to V\) 为线性映射，设满足：

  1. \(\mathcal{A}\) 在基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，即

     \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)=(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\mathbf{A} \]

  2. \(\mathcal{A}\) 在基 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n\) 下的矩阵为 \(\mathbf{B}\)，即

     \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)=(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)\mathbf{B} \]

  3. 从 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 到 \(\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n\) 的过渡矩阵为 \(\mathbf{P}\)，即

     \[ (\boldsymbol{\beta}_1,\dots,\boldsymbol{\beta}_n)=(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\mathbf{P} \]

  则 \(\mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{B}\) 相似，且

  \[ \mathbf{B}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} \]

  即

• 线性映射的特征值与特征向量：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，\(\lambda\in\mathbb{F}\)。若存在非零向量 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，使得

  \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\lambda\boldsymbol{\alpha} \]

  则称 \(\lambda\) 为 \(\mathcal{A}\) 的一个特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量。

• 特征子空间：设 \(\lambda\) 为 \(\mathcal{A}\) 的特征值，称

  \[ E(\lambda,\mathcal{A})=\{\boldsymbol{\alpha}\in V\mid\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\lambda\boldsymbol{\alpha}\} \]

  为 \(\mathcal{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征子空间。

• 线性映射的行列式与迹：设 \(V\) 为有限维线性空间，\(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，\(\mathbf{A}\) 为 \(\mathcal{A}\) 在任意一组基下的矩阵，定义

  \[ \det(\mathcal{A})=\det(\mathbf{A}),\qquad\operatorname{tr}(\mathcal{A})=\operatorname{tr}(\mathbf{A}) \]

  它们均与基的选取无关。

• 线性映射与矩阵的特征值关系：设 \(V\) 为 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\) 在基 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则

  1. \(\lambda\in\mathbb{F}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的特征值 \(\iff \lambda\) 为 \(\mathbf{A}\) 的特征值；

  2. 若 \(\boldsymbol{\alpha}\) 在该基下的坐标为 \(\boldsymbol{x}\)，则：\(\boldsymbol{\alpha}\) 为 \(\mathcal{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量 \(\iff \boldsymbol{x}\) 为 \(\mathbf{A}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量；

  3. 特征子空间可表示为

     \[ \begin{aligned} E(\lambda,\mathcal{A})&=\{\boldsymbol{\alpha}\in V\mid\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\lambda\boldsymbol{\alpha}\}\\ &=\{(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n)\boldsymbol{x}\mid(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\} \end{aligned} \]

2.3 线性映射的运算

同构映射和线性空间的分类

• 单射、满射与同构映射：设 \(V\) 和 \(U\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射。

  • 单射：\(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}) \implies \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}\)

  • 满射：\(\forall \boldsymbol{u}\in U\)，\(\exists \boldsymbol{\alpha}\in V\)，\(s.t. ~\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{u}\)

  • 双射（同构映射）：若 \(\mathcal{A}\) 既是单射又是满射，则称其为同构映射，称 \(V\) 与 \(U\) 同构，记为 \(V\cong U\)。

• 定理：

  • 单射与满射的判定：设 \(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则

    1. \(\mathcal{A}\) 为单射 \(\iff\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\{\boldsymbol{0}\}\iff r(\mathcal{A})=n\)；

    2. \(\mathcal{A}\) 为满射 \(\iff\operatorname{Im}(\mathcal{A})=U\iff r(\mathcal{A})=m\)。

  • 单射与满射的维数限制：设 \(V\) 和 \(U\) 为有限维线性空间，\(\mathcal{A}:V\to U\) 为线性映射，则

    1. 若 \(\mathcal{A}\) 为单射，则 \(\dim V\leq\dim U\)；

    2. 若 \(\mathcal{A}\) 为满射，则 \(\dim V\geq\dim U\)。

  • 同构充要条件：同一数域 \(\mathbb{F}\) 上的两个有限维线性空间 \(V\) 与 \(U\) 同构，当且仅当

    \[ \dim V=\dim U \]

• 同构映射的性质：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为同构映射，则

  1. \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性相关（无关），当且仅当 \(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_s)\) 线性相关（无关）；

  2. 若 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性无关，且 \(\boldsymbol{\alpha}=\sum_{i=1}^s x_i\boldsymbol{\alpha}_i\)，则

     \[ \mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})=\sum_{i=1}^s x_i\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_i) \]

     且此线性表示的系数唯一；

  3. 若 \(W\) 为 \(V\) 的子空间，\(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_r\) 为 \(W\) 的一组基，则 \(\mathcal{A}(W)\) 为 \(U\) 的子空间，\(\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_1),\dots,\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}_r)\) 为 \(\mathcal{A}(W)\) 的一组基，特别地，

     \[ \dim\mathcal{A}(W)=\dim W \]

• 坐标同构：设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{F}\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n\) 为 \(V\) 的一组基。对任意 \(\boldsymbol{\alpha}\in V\)，设

  \[ \boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}} \]

  则坐标映射

  \[ \begin{aligned} \mathcal{C}:V&\to\mathbb{F}^n\\ \boldsymbol{\alpha}&\mapsto\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}} \end{aligned} \]

  为同构映射。因此 \(V\cong\mathbb{F}^n\)。

  • 推论：在上述坐标同构下，有

    1. \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性相关（无关），当且仅当 \(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_1},\dots,\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_s}\) 线性相关（无关）；

    2. \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 为 \(V\) 的一组基，当且仅当 \(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_1},\dots,\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_n}\) 为 \(\mathbb{F}^n\) 的一组基，即

       \[ \det(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_1},\dots,\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_n})\ne0 \]

    3. 令 \(W=L(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s)\)，则

       \[ \mathcal{C}(W)=L(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_1},\dots,\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_s}) \]

       当且仅当 \(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_1},\dots,\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\alpha}_s}\) 为 \(\mathcal{C}(W)\) 的一组基时 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 为 \(W\) 的基，故

       \[ \dim\mathcal{C}(W)=\dim W \]

• 线性空间的同构分类：同一数域上的线性空间之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性。有限维线性空间按维数分类，每个 \(n\) 维线性空间均与 \(\mathbb{F}^n\) 同构。

• 像空间与核空间的坐标同构：设 \(\mathcal{A}:V\to U\) 为有限维线性空间之间的线性映射，其在给定基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则对应的坐标映射给出

  \[ \operatorname{Im}(\mathcal{A})\cong R(\mathbf{A}),\qquad \operatorname{Ker}(\mathcal{A})\cong N(\mathbf{A}) \]

• 内积空间的同构：设 \(V\) 和 \(U\) 为同一数域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维内积空间。若存在同构映射 \(\mathcal{A}:V\to U\)，且满足

  \[ (\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\mathcal{A}(\boldsymbol{\beta}))=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V \]

  则称内积空间 \(V\) 与 \(U\) 同构。

  • 充要条件：同一数域上的两个有限维内积空间同构，当且仅当它们的维数相同。

线性映射的加法和纯量乘法

• 线性映射的和与纯量乘积：设 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\in\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\)，\(k\in\mathbb{F}\)，定义线性映射的和 \(\mathcal{A}+\mathcal{B}\) 与纯量乘积 \(k\mathcal{A}\)：

  • 和：

    \[ (\mathcal{A}+\mathcal{B})(\boldsymbol{\alpha})=\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha})+\mathcal{B}(\boldsymbol{\alpha}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

  • 纯量乘积：

    \[ (k\mathcal{A})(\boldsymbol{\alpha})=k\mathcal{A}(\boldsymbol{\alpha}),\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

  二者均为 \(V\) 到 \(U\) 的线性映射。

• 矩阵表示：固定 \(V\) 和 \(U\) 的基，设 \(\mathcal{A}\) 与 \(\mathcal{B}\) 在这两组基下的矩阵分别为 \(\mathbf{A}\) 与 \(\mathbf{B}\)，则

  1. \(\mathcal{A}+\mathcal{B}\) 在这两组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\)；

  2. \(k\mathcal{A}\) 在这两组基下的矩阵为 \(k\mathbf{A}\)。

• 线性映射空间的结构与维数：设 \(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)，则 \(\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\) 关于上述加法和纯量乘法构成数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，且固定基后的矩阵表示给出同构

  \[ \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)\cong\mathbb{F}^{m\times n} \]

  因而

  \[ \dim\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}}(V,U)=mn \]

线性映射的积

• 线性映射的积（复合）：设 \(\mathcal{B}:V\to U\) 和 \(\mathcal{A}:U\to W\) 为线性映射，定义线性映射的积（复合） \(\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{A}\circ\mathcal{B}\)：

  \[ (\mathcal{A}\mathcal{B})(\boldsymbol{\alpha})=\mathcal{A}(\mathcal{B}(\boldsymbol{\alpha})),\quad\forall\boldsymbol{\alpha}\in V \]

  它是 \(V\) 到 \(W\) 的线性映射，作用顺序为先 \(\mathcal{B}\)、后 \(\mathcal{A}\)。

• 矩阵表示：设 \(\dim V=n\)，\(\dim U=m\)，\(\dim W=s\)，固定这三个空间的基。若 \(\mathcal{B}:V\to U\) 的矩阵为 \(\mathbf{B}\in\mathbb{F}^{m\times n}\)，\(\mathcal{A}:U\to W\) 的矩阵为 \(\mathbf{A}\in\mathbb{F}^{s\times m}\)，则 \(\mathcal{A}\mathcal{B}:V\to W\) 的矩阵为

  \[ \mathbf{A}\mathbf{B}\in\mathbb{F}^{s\times n} \]

• 说明：对 \(\mathcal{A},\mathcal{B}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，一般不满足交换律，即一般有 \(\mathcal{A}\mathcal{B}\ne\mathcal{B}\mathcal{A}\)。

线性映射的幂

• 线性映射的幂：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，定义 \(\mathcal{A}\) 的 \(k\) 次幂 \(\mathcal{A}^k\) 为

  \[ \mathcal{A}^0=\mathcal{I}_V,\qquad\mathcal{A}^1=\mathcal{A},\qquad \mathcal{A}^k=\mathcal{A}^{k-1}\mathcal{A},\quad k\geq2 \]

  它是 \(V\) 到自身的线性映射。

• 线性映射的多项式：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，\(f(x)=a_mx^m+\dots+a_1x+a_0\in\mathbb{F}[x]\)，定义

  \[ f(\mathcal{A})=a_m\mathcal{A}^m+\dots+a_1\mathcal{A}+a_0\mathcal{I}_V \]

  称为由 \(f(x)\) 确定的 \(\mathcal{A}\) 的多项式。

• 矩阵表示：设 \(\mathcal{A}\) 在 \(V\) 的某组基下的矩阵为 \(\mathbf{A}\)，则 \(\mathcal{A}^k\) 和 \(f(\mathcal{A})\) 在同一组基下的矩阵分别为 \(\mathbf{A}^k\) 和 \(f(\mathbf{A})\)。

• 同一线性映射的多项式可交换：设 \(\mathcal{A}\in\operatorname{End}_{\mathbb{F}}(V)\)，\(f(x),g(x)\in\mathbb{F}[x]\)，则

  \[ f(\mathcal{A})g(\mathcal{A})=g(\mathcal{A})f(\mathcal{A}) \]