抽象代数

本文章基于Teruteru的学习笔记进行整理，针对 2024-2025 学年春季学期教学内容进行修改。

解题范式

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解题范式

证明相等

两个集合 A, B 相等：

1. 证明 A ⊆ B
2. 证明 B ⊆ A

两个数 a, b 相等：

1. 证明 a ∣ b
2. 证明 b ∣ a

等价关系

若要证明 ∼ 是一个等价关系：

1. 证明 反身性
2. 证明 对称性
3. 证明 传递性

代数运算

若要证明集合 A 中的运算 ⋅ 是一个代数运算：

1. 证明 封闭性
2. 证明 唯一性 （通常显然）

群

若要证明集合 A 关于运算 ⋅ 构成一个群：

1. 证明 ⋅ 是 代数运算
2. 证明 结合律 （左右结合律）
3. 证明 单位元 e 存在（左右单位元）
4. 证明 逆元 存在（左右逆元）

子群

若要证明群 G 的子集 H 是 G 的子群，即 H < G：

• 定义：
  1. H 在群的运算下封闭
  2. H 有单位元
  3. H 中每个元素都有逆元
• 定理1：
  1. 证明 H 是 G 的 非空 子集
  2. 对任意 a, b ∈ H，证明 ab ∈ H
  3. 对任意 a ∈ H，证明 a⁻¹ ∈ H
• 定理2：
  1. 证明 H 是 G 的 非空 子集
  2. 对任意 a, b ∈ H，证明 ab⁻¹ ∈ H

正规子群

若要证明群 G 的子群 H 是 G 的正规子群，即 H ⊲ G，则下面几个条件等价

1. H 是 G 的正规子群
2. ∀g ∈ G，gH = Hg
3. ∀g ∈ G，gHg⁻¹ = H
4. ∀g ∈ G，gHg⁻¹ ⊆ H
5. ∀g ∈ G，h ∈ H，则 ghg⁻¹ ∈ H

群同态

若要证明两个群 G 与 G^′ 同态：

1. 建立群 G 与群 G^′ 的元素间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 映射
   • 即对 ∀x, y ∈ G，证明由 x = y 可推出 ϕ(x) = ϕ(y)
2. 证明 ϕ 保持运算
   • 即对 ∀x, y ∈ G，证明 ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)
3. 若还能证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 满射，则 ϕ 是 G 到 G^′ 的 满同态映射
4. 若还能证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 单射，则 ϕ 是 G 到 G^′ 的 单同态映射

群同构

若要证明两个群 G 与 G^′ 同构：

1. 构造群 G 与群 G^′ 的元素间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 映射
   • 即对 ∀x, y ∈ G，证明由 x = y 可推出 ϕ(x) = ϕ(y)
2. 证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 单射
   • 即对 ∀x, y ∈ G，证明由 ϕ(x) = ϕ(y) 可推出 x = y
3. 证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的 满射
   • 即对 ∀x^′ ∈ G^′，证明存在（构造） x ∈ G，使 ϕ(x) = x^′
4. 证明 ϕ 保持运算
   • 即对 ∀x, y ∈ G，证明 ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)

若要证明 G/K ≅ G^′，即 G/K 与 G^′ 同构：

1. 建立群 G 与群 G^′ 的元素之间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 为 G 到 G^′ 的 映射
2. 证明 ϕ 为 G 到 G^′ 的 满射
3. 证明 ϕ 保持运算 ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
4. 综上 ϕ 是 G 到 G^′ 的 满同态映射
5. 计算同态的 核 Ker ϕ，使得 K = Ker ϕ
6. 应用 群同态基本定理 得 G/Ker ϕ ≅ G^′

环

若要证明 R 是一个环：

1. 证明 加法封闭
   • ∀x, y ∈ R：x + y ∈ R
2. 证明加法满足 加法结合律 和 加法交换律
   • ∀x, y, z ∈ R：x + y = y + x，x + (y + z) = (x + y) + z
3. 找到加法 零元
   • ∃0 ∈ R, ∀x ∈ R：x + 0 = x
4. 找到加法 负元
   • ∀x ∈ R, ∃−x ∈ R：x + (−x) = 0
5. 证明 乘法封闭
   • ∀x, y ∈ R：x ⋅ y ∈ R
6. 证明乘法满足 结合律
   • ∀x, y, z ∈ R：(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)
7. 证明乘法对加法满足 两个分配律
   • ∀x, y, z ∈ R$$ \begin{array}{c} x\cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z\\\ (y+z)\cdot x = y\cdot x + z\cdot x \end{array}$$
8. 综上可得 R 是一个环
9. 如果 R 的乘法满足交换律，则 R 是一个 交换环
10. 如果 R 的乘法有单位元，则 R 是一个有 单位元 的环

其中，1 - 4 即证明 (R, +) 是一个 加法交换群，5 - 7 即证明 R 还具有乘法代数运算。

整环

若要证明 R 是一个整环：

1. 证明 R 是一个 交换环
2. 证明 R 中有 单位元 且单位元不为零元
3. 证明 R 中没有 零因子
   • 即对 ∀a, b ∈ R，如果 a ⋅ b = 0，则 a = 0 或 b = 0

域

若要证明 F 是一个域：

1. 证明 F 是一个 交换环
2. 证明 F 中有 单位元 且单位元不为零元
3. 证明 F 中每个 非零元都可逆
   • 即对 ∀a ∈ F 且 a ≠ 0，存在 b ∈ F 使得 a ⋅ b = 1

子环

若要证明环 R 的子集 S 是 R 的子环：

• 定理1：
  1. 证明 S 是 R 的 非空子集 （通常显然）
  2. 证明 (S, +) 是 (R, +) 的 加法子群
  3. S 关于 R 的 乘法封闭 ，即对任意的 a, b ∈ S，有 ab ∈ S
• 定理2：
  1. 证明 S 是 R 的 非空子集 （通常显然）
  2. 证明 ∀a, b ∈ S，有 a − b ∈ S（减法封闭）
  3. 证明 ∀a, b ∈ S，有 ab ∈ S（乘法封闭）

理想

若要证明环 R 的子集 I 是 R 的理想：

1. 证明 I 是 R 的 非空子集 （通常显然）
2. 证明 ∀r₁, r₂ ∈ I，r₁ − r₂ ∈ I（减法封闭）
3. 证明 ∀r ∈ I，s ∈ R，rs, sr ∈ I（乘法吸收）

环同态

若要证明 ϕ : R → R^′ 是一个同态映射：

1. 证明 ϕ 为 R 到 R^′ 的 映射
   • 即对 ∀a, b ∈ R，证明由 a = b 可推出 ϕ(a) = ϕ(b)
2. 证明 ϕ 保持运算
   • 即对 ∀a, b ∈ R，证明
     1. ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)（加法保持）
     2. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)（乘法保持）
3. 若还能证明 ϕ 是 R 到 R^′ 的 满射，则 ϕ 是 R 到 R^′ 的 满同态映射
4. 若还能证明 ϕ 是 R 到 R^′ 的 单射，则 ϕ 是 R 到 R^′ 的 单同态映射

环同构

若要证明环 R 与环 R^′ 同构：

1. 构造环 R 与环 R^′ 的元素间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 是 R 到 R^′ 的 映射
   • 即对 ∀a, b ∈ R，证明由 a = b 可推出 ϕ(a) = ϕ(b)
2. 证明 ϕ 是 R 到 R^′ 的 单射
3. 证明 ϕ 是 R 到 R^′ 的 满射
4. 证明 ϕ 保持运算

若要证明 R/I ≅ R^′，即 R/I 与 R^′ 同构：

1. 建立环 R 与环 R^′ 的元素之间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 为 R 到 R^′ 的 映射
2. 证明 ϕ 为 R 到 R^′ 的 满射
3. 证明 ϕ 保持运算 ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),  ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
4. 综上 ϕ 是 R 到 R^′ 的 满同态映射
5. 计算同态的 核 Ker ϕ，使得 I = Ker ϕ
6. 应用 环同态基本定理 得 R/Ker ϕ ≅ R^′

素理想

若要证明交换环 R 的理想 P 是素理想：

1. 证明 P 是 R 的 真理想
2. 证明对任意 a, b ∈ R，如果 ab ∈ P，则 a ∈ P 或 b ∈ P

极大理想

若要证明交换环 R 的理想 I 是极大理想：

1. 证明 I 是 R 的 真理想
2. 设 J 是 R 的任意理想，且 I ⊊ J ⊆ R（左右夹击）
3. 任取 x ∈ J 且 x ∉ I
4. 根据 x ∉ I，获取约束条件，如不整除、互素等
5. 构造 1 = ⋯ ∈ J
6. 因此 J = R
7. 故 I 是 R 的极大理想

若要证明交换环 R 的理想 I 是唯一极大理想：

1. 证明 I 是 R 的 真理想
2. 设 J 是 R 的任意 不包含于 I 的理想
3. 任取 x ∈ J 且 x ∉ I
4. 根据 x ∉ I，获取约束条件，如不整除、互素等
5. 构造 1 = ⋯ ∈ J
6. 因此 J = R
7. 故 R 的所有真理想都包含于 I，即 I 是唯一极大理想

特征

若要证明 R 的特征为 n，n ≠ 0：
- 方法一： 1. 给出正整数 n，使得 ∀a ∈ R, na = 0（存在 n） 2. 证明 ∀k, 1 ≤ k < n, ∃b ∈ R, kb ≠ 0（没有比 n 更小的）

• 方法二：（若 R 有单位元）
  1. 找出 R 的单位元 e
  2. 计算 e 关于加法的阶 n
  3. 特征 Char R = n

若要证明 R 的特征为 n = 0： - 证明 R 的单位元 e 关于加法的阶为无穷大

第一章 群

等价关系与集合的分类

二元关系

设 S 是一个 非空集合 ，ℛ 是关于 S 的元素的一个条件。如果对 S 中 任意 一个 有序 元素对(a, b)，我们总能确定 a 与 b 是否满足条件 ℛ，就称 ℛ 是 S的一个关系 。如果 a 与 b 满足条件 ℛ，则称 a 与 b 有关系 ℛ，记作 aℛb；否则称 a 与 b 无关系 ℛ。

• 关系 ℛ 也称为二元关系。
• 注意 ℛ 的确定性，“总能”表示忽略验证所需的时间和复杂度

等价关系

设 ℛ 是非空集合 S 的一个关系，如果 ℛ 满足

• 反身性，即对任意的 a ∈ S，有 aℛa
• 对称性，即若 aℛb，则 bℛa
• 传递性，即若 aℛb，且 bℛc，则 aℛc

则称 ℛ 是 S 的一个等价关系 ，并且如果 aℛb，则称 a 等价于 b，记作 a ∼ b

• 注意可能存在孤立元素，即存在 a，对于任意 b，a ≁ b。
• 不能根据传递性和对称性推出自反性。（反例：a 可以是孤立元素且没有自反性）

等价类

如果是集合 S 的一个等价关系，对 a ∈ S，令 [a] = {x ∈ S ∣ x ∼ a}

称子集 [a] 为 S 的一个等价类 。S 的全体等价类的集合称为集合 S 在等价关系下的商集 ，记 S/∼

同余关系与剩余类

设 m 是正整数，在整数集 Z 中，规定

aℛb ⇔ m ∣ a − b,  ∀a, b ∈ Z

则

• 对任意整数 a，有 m ∣ a − a
• 若 m ∣ a − b，则 m ∣ b − a
• 若 m ∣ a − b，m ∣ b − c，则 m ∣ a − c

所以 ℛ 是 ℤ 的一个等价关系。显然 a 与 b 等价当且仅当 a 与 b 被 m 除有相同的余数，因此称这个关系为同余关系 ，并记作 a ≡ b( mod  m)

设 a ∈ ℤ，则

$$ \begin{aligned} {[a]} & =\{x \in \mathbb{Z} \mid x \equiv a \quad(\bmod m)\} \\ & =\{x \in \mathbb{Z} \mid m| x-a\} \\ & =\{a+m z \mid z \in \mathbb{Z}\} \end{aligned} $$

[a] 称为整数集 ℤ 的一个（与 a 同余的）模 m 剩余类 ，在数论中，[a] 常记作 ā，而相应的商集称为 ℤ 的模 m 剩余类集，记作 ℤ_m
由 ā = b̄ ⇔ m ∣ a − b

易得 $$ \begin{array}{l} \overline{0}=\{\cdots,-2 m,-m,0,m,2 m,\cdots\},\\ \overline{1}=\{\cdots,-2 m+1,-m+1,1,m+1,2 m+1,\cdots\},\\ \cdots \cdots \\ \overline{m-1}=\{\cdots,-2 m-1,-m-1,-1,m-1,2 m-1,\cdots\} \end{array} $$

是模 m 的全体不同的剩余类，所以 $$ \mathbb{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} $$

分类

如果非空集合 S 是它的某些两两不相交的非空子集的并，则称这些子集为集合 S 的一种分类 ，其中每个子集称为 S 一个类 。如果 S 的子集族 {S_i ∣ i ∈ I} 构成 S 的一种分类，则记作 𝒫 = {S_i ∣ i ∈ I} 由此定义可知，集合 S 的子集族 {S_i ∣ i ∈ I} 构成 S 的一种分类当且仅当

• S = ⋃_i ∈ IS_i
• S_i ∩ S_j = ⌀，i ≠ j

第一个条件说明 {S_i} 这些子集 无遗漏地包含 了 S 的全部元素，第二个条件说明两个不同的子集无公共元素，从而 S 的元素属于且仅属于一个子集

• 这表明，S 的一个分类必须满足 不漏不重 的原则

分类与等价关系的关系

• 集合 S 的任何一个等价关系都确定了 S 的一种分类，且其中每一个类都是集合 S 的一个等价类。
• 反之，集合 S 的任何一种分类也都给出了集合 S 的一个等价关系，且相应的等价类就是原分类中的那些类。
• 也就是说，一个集合的分类可以通过等价关系来描述；另一方面，等价关系也可以用集合的分类来表示

等价关系数目

如果用 B(n) 表示一个具有 n 个元素的集合上的不同等价关系的个数，则有下列的递推公式：

$$ B(n+1)=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} B(k),\quad n \geqslant 1$$

其中 C_n^k 为二项式系数，并规定 B(0) = 1, B(1) = 1

怎么理解：这个递推公式的含义是，划分具有 n + 1 个元素的集合时，考虑第 n + 1 个元素，若其自成一类，则剩余 n 个元素的划分方式就是 B(n)；若其从剩余 n 个元素中选出 1 个元素与之同类，则有 C_n¹ 种选择方式，剩余 n − 1 个元素的划分方式就是 B(n − 1)，共有 C_n¹B(n − 1) 种划分方式；以此类推，若其从剩余 n 个元素中选出 k 个元素与之同类，则有 C_n^kB(k) 种划分方式。所有这些情况加起来就是 B(n + 1)

群的概念

代数运算

设 A 是一个非空集合，若对 A 中任意两个元素 a, b，通过某个法则“⋅”，有 A 中唯一确定的元素 c 与之对应，则称法则“⋅”为集合 A 上的一个代数运算 。元素 c 是 a, b 通过运算“⋅” 作用的结果，将此结果记为 a ⋅ b = c

换句话说代数运算满足封闭性和唯一性：

• ∀a, b ∈ A，a ⋅ b ∈ A
• 若 a₁ ⋅ b₁ = c₁，a₂ ⋅ b₂ = c₂，a₁ = a₂，b₁ = b₂，则必有 c₁ = c₂

群的定义

设 G 是一个非空集合，“⋅”是 G 上的一个代数运算，即

• (G0) 对所有的 a, b ∈ G，有 a ⋅ b ∈ G。

如果 G 的运算还满足

• (G1) 结合律，即对所有的 a, b, c ∈ G，有 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
• (G2) G 中有元素 e，使对每个 a ∈ G，有 e ⋅ a = a ⋅ e = a
• (G3) 对 G 中每个元素 a，存在元素 b ∈ G，使 a ⋅ b = b ⋅ a = e

则称 G 关于运算“⋅”构成一个群 ，记作 (G, ⋅)。在不致引起混淆的情况下，也称 G 为群。

• (G2) 中的元素 e 称为群 G 的单位元 或恒等元；

• (G3) 中的元素 b 称为 a 的逆元

• 群 G 的单位元 e 和每个元素的逆元都是唯一的

• G 中元素 a 的唯一的逆元通常记作 a⁻¹

• 如果群 G 的运算还满足交换律，即对任意的 a，b ∈ G，有 a ⋅ b = b ⋅ a，则称 G 是一个 交换群 或 阿贝尔群

• 群 G 中元素的个数称为群 G 的 阶 ，记为 |G|。如果 |G| 是有限数，则称 G 为 有限群 ，否则称 G 为 无限群

• 当群 G 的运算用加号“+”表示时，通常将 G 的单位元记作 0，并称 0 为 G 的 零元 ；将 a ∈ G 的逆元记作 −a，并称 −a 为 a 的 负元

• 习惯上，只有当群为交换群时，才用“+”来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为 加群

• 相应地，将不是加群的群称为 乘群 ，并把乘群的运算叫做乘法，运算的结果叫做积。在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写

• 今后，如不作特别声明，总假定群的运算是乘法

群表

形如下表的表通常称为群的 乘法表 ，也称 群表 或 凯莱表。人们常用群表来表示有限群的运算

∘	e	⋯	b	⋯
e	e	⋯	b	⋯
⋮	⋮	⋱	⋮	⋱
a	a	⋯	a ∘ b	⋯

在一个群表中，

• 表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）
• 表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面）
• 表的最左列按同样的次序列出群的所有元素
• 表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘积
• 注意，在乘积 a ∘ b 中，左边的因子 a 是左列上的元素，右边的因子 b 是最上面一行的元素
• 由群表很容易确定一个元素的逆元素
• 如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群

群的性质

设 G 为群，则有

• 群 G 的单位元是唯一的
• 群 G 的每个元素的逆元是唯一的
• 对任意的 a ∈ G，有 (a⁻¹)⁻¹ = a
• 对任意的 a, b ∈ G，有 (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹
• 在群中消去律成立，即设 a, b, c ∈ G，如果 ab = ac，或 ba = ca，则 b = c

设 G 是群，那么对任意的 a, b ∈ G，方程

ax = b  及  ya = b

在 G 中都有唯一解

方幂

群的定义中的结合律表明，群中三个元素 a, b, c 的乘积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成：abc。进一步可知，在群 G 中，任意 k 个元素 a₁, a₂, ⋯, a_k 的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成 a₁a₂⋯a_k。据此，可以定义群的元素的方幂 ：

乘群

对任意的正整数 n，定义 $$ a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{个} a} $$

再约定 $$ \begin{aligned} a^{0} & =e,\\ a^{-n} & =\left(a^{-1}\right)^{n} \quad(n \text{为正整数}), \end{aligned} $$

则 aⁿ 对任意整数 n 都有意义，并且不难证明，对任意的 a ∈ G，m, n ∈ Z，有下列的指数法则：

• aⁿ ⋅ a^m = a^n + m
• (aⁿ)^m = a^nm
• 如果 G 是交换群，则 (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

加群

当 G 是加群时，元素的方幂则应改写为倍数

$$ \begin{aligned} n a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text{个} a}\\ 0 a=0,\\ (-n) a=n(-a) \end{aligned} $$

相应地，指数法则变为倍数法则，

• na + ma = (n + m)a
• m(na) = (mn)a
• n(a + b) = na + nb

因为加群是交换群，所以第三条总是成立的

群的判定

• 设 G 是一个具有代数运算的非空集合，则 G 关于所给的运算构成群的充分必要条件 是

  • G 的运算满足结合律
  • G 中有一个元素 e（称为 G 的左单位元），使对任意的 a ∈ G，有 ea = a
  • 对 G 的每一个元素 a，存在 a^′ ∈ G（称为 a 的左逆元），使 a^′a = e。这里 e 是 G 的左单位元

  换句话说，一个具有乘法运算的非空集合 G，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群。 同理可证，一个具有乘法运算的非空集合 G，如果满足结合律，有右单位元，且 G 中每个元素有右逆元，则 G 也构成群

• 设 G 是一个具有乘法运算且满足结合律的非空集合，则 G 构成群的 充分必要条件 是对任意的 a, b ∈ G，方程 ax = b  与  ya = b

  在 G 中都有解

• 设 G 是一个具有乘法运算的非空 有限 集合，如果 G 满足结合律，且两个消去律成立，则 G 构成群

  • 要注意的是，如果没有有限的条件，一个具有代数运算的集合，仅仅满足结合律和两个消去律，并不一定构成群

常用例子

• 整数集 Z 关于数的加法构成群，这个群称为整数加群
• 全体非零有理数的集合 Q^* 关于数的乘法构成交换群
• 全体非零实数的集合 R^* 关于数的乘法也构成交换群
• 全体非零复数的集合 C^* 关于数的乘法也构成交换群
• 全体 n 次单位根组成的集合 $$ \begin{aligned} U_{n} & =\left\{x \in \mathbf{C} \mid x^{n}=1\right\} \\ & =\left\{\left.\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n} \right\rvert\,k=0,1,2,\cdots,n-1\right\} \end{aligned} $$ 关于数的乘法构成一个 n 阶交换群，通常称这个群为 n 次单位根群
• 设 m 是大于 1 的正整数，记 $$ \mathbf{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} $$ 则 Z_m 关于剩余类的加法构成加群，这个群称为 Z 的模 m 剩余类加群
• 设 m 是大于 1 的正整数，记 U(m) = {ā ∈ Z_m ∣ (a, m) = 1} 则 U(m) 关于剩余类的乘法构成群，群 (U(m), ⋅) 称为 Z 的模 m 单位群，显然这是一个交换群，不一定是循环群。当 p 为素数时，U(p) 常记作 Z_p^*，易知 $$ \mathbf{Z}_{p}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\} $$ 这是一个循环群，U(m) 的阶等于欧拉函数 ϕ(m)

子群

子群的定义

设 G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的运算也构成群，则称 H 为 G 的一个子群 ，记作 H < G

• 对任意群 G，G 本身以及只含单位元 e 的子集 H = {e} 是 G 的子群，这两个子群称为 G 的 平凡子群 。群 G 的其他子群称为 G 的 非平凡子群

• 群 G 的不等于它自身的子群称为 G 的 真子群

• 设 m 是一个整数，令 H = {mz ∣ z ∈ Z}

  则 H 为整数加群 Z 的子群。这个群称为由 m 所 生成的子群 ，常记作 mZ 或 ⟨m⟩

子群的判定

• 由于群 G 的运算满足结合律，所以结合律在 G 的任何关于 G 的运算封闭的非空子集 H 上都成立。于是，由群的定义知，如果群 G 的非空子集 H 满足下列条件，则 H 是群 G 的子群：
  • H 在群的运算下封闭
  • H 有单位元
  • H 包含它的每个元素的逆元
• 设 G 为群，H 是群 G 的 非空子集 ，则 H 成为群 G 的子群的 充分必要条件 是
  • 对任意 a, b ∈ H，有 ab ∈ H
  • 对任意 a ∈ H，有 a⁻¹ ∈ H
• 设 G 为群，H 是群 G 的 非空子集 ，则 H 成为 G 的子群的 充分必要条件 是
  • 对任意的 a, b ∈ H，有 ab⁻¹ ∈ H

子群的性质

• 设 G 为群，H 是 G 的子群，则

  • 群 G 的单位元 e 是 H 的单位元；
  • 对任意的 a ∈ H，a 在 G 中的逆元 a⁻¹ 就是 a 在 H 中的逆元

• 设 G 为群，记 C(G) = {g ∈ G ∣ gx = xg, ∀x ∈ G}

  则 C(G) 是 G 的子群。称 C(G) 为 G 的 中心。

• 设 a 是群 G 的元素，定义 a 在 G 中的 中心化子 为 C(a) = {g ∈ G ∣ ga = ag}

  则 C(a) 是 G 的子群，且满足 C(G) = ⋂_a ∈ GC(a)

• 群 G 的任意两个子群的 交 集 一定 是 G 的子群

• 群 G 的任意两个子群的 并 集 不一定 是 G 的子群

生成子群

生成子群的定义

设 S 是群 G 的一个非空子集，令 M 表示 G 中所有包含 S 的子群所组成的集合，即 M = {H < G ∣ S ⊆ H}

本身显然包含 S，所以 G ∈ M，从而 M 非空。令 K = ⋂_H ∈ MH

则 K 是 G 的子群，称 K 为群 G 的由子集 S 所生成的子群，简称生成子群 ，记作 ⟨S⟩，即 ⟨S⟩ = ⋂_{S ⊆ H < G}H

子集 S 称为 ⟨S⟩的生成元组

如果 S = {a₁, a₂, ⋯, a_r} 为有限集，则记

⟨S⟩ = ⟨a₁, a₂, ⋯, a_r⟩

生成子群的性质

设 S 是群 G 的非空子集，则

• ⟨S⟩ 是 G 的包含 S 的最小子群
• ⟨S⟩ = {a₁^l₁a₂^l₂⋯a_k^l_k ∣ a_i ∈ S, l_i = ±1, k ∈ N}

特别注意 ：上式中的 a₁, a₂, ⋯, a_k 可以取重复的值。若我们用不重复的 a₁, a₂, ⋯, a_k 来表示，那么这个乘法式子可能是无限长（因为不一定有交换律），不太好表示了。

特例

• 当 S 只包含群 G 的一个元素 a 时，由于 $$ a^{l_{1}} a^{l_{2}} \cdots a^{l_{k}}=a^{\sum_{i=1}^{k} l_{i}} $$ 所以 ⟨a⟩ = {a^r ∣ r ∈ Z}

  这种由一个元素 a 生成的子群称为由 a 生成的 循环群

• 当 S 只包含群 G 的两个元素 a, b，且 ab = ba，则 ⟨a, b⟩ = {a^mbⁿ ∣ m, n ∈ Z}

群的同构

同构的定义

设 G 与 G^′ 是两个群，ϕ 是 G 到 G^′ 的一一对应，使 ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a) ⋅ ϕ(b),  ∀a, b ∈ G,

则称 ϕ 为群 G 到 G^′ 的一个 同构映射 ，简称同构 ，并称群 G 与 G^′ 同构 ，记作 ϕ: G ≅ G^′

• 群 G 到它自身的同构映射称为群 G 的自同构 ，恒等同构是自同构
• 同构映射一定是可逆变换（双射），且其逆映射也是同构映射
• 同构的群之间可以有不止一个同构映射
• 在群同构的定义中，虽然使用了同一个符号“ ⋅ ”表示群 G 与 G^′ 的运算，但事实上，a ⋅ b 与 ϕ(a) ⋅ ϕ(b) 分别是在群 G 与群 G^′ 中进行的运算，一般来说它们是不相同的

证明两个群同构的步骤

1. 构造群 G 与群 G^′ 的元素间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的映射
2. 证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的单映射 。即对任意的 x, y ∈ G，证明由 ϕ(x) = ϕ(y) 可推出 x = y
3. 证明 ϕ 是 G 到 G^′ 的满映射 。即对任意的 x^′ ∈ G^′，证明存在 x ∈ G，使 ϕ(x) = x^′
4. 证明 ϕ 保持运算 。即对任意的 x, y ∈ G，证明 ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)

同构的性质

• 设 ϕ 是群 G 到 G^′ 的同构映射，e 与 e^′ 分别是 G 与 G^′ 的单位元，a 是 G 的任一元素，则
  • ϕ(e) = e^′
  • ϕ(a⁻¹) = (ϕ(a))⁻¹
  • ϕ 是可逆映射，且 ϕ 的逆映射 ϕ⁻¹ 是群 G^′ 到群 G 的同构映射
• 设群 G 与 G^′ 同构
  • 如果 G 是交换群（Abel 群），则 G^′ 也是交换群
  • 如果 G 是有限群，则 G^′ 也是有限群，且 |G| = |G^′|
• 群的同构是一个等价关系，即对群 G, G^′, G^′′
  • 反身性：G ≅ G
  • 对称性：若 G ≅ G^′，则 G^′ ≅ G
  • 传递性：若 G ≅ G^′，G^′ ≅ G^′′，则 G ≅ G^′′
  • 注意：同构关系是等价关系，映射不是等价关系！

变换群

变换群的定义

非空集合 X 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群 S_x 称为集合 X 的对称群 ，S_x 的任一子群称为 X 的一个变换群。

凯莱定理

每一个群都同构于一个变换群。

证明凯莱定理，需要先构造一个变换群，如对于群 G，a ∈ G，定义变换 ϕ_a 为 ϕ_a(x) = ax  (x ∈ G)

则 ϕ_a 是 G 到 G 的一个变换。令 G_l = {ϕ_a ∣ a ∈ G}

则可以证明 G_l 是对称群 S_G 的一个子群，即 G_l 是群 G 的一个变换群。又可以证明 G_l ≅ G，即群 G 同构于它的变换群 G_l

变换群 G_l 称为 群 G 的 左正则表示，变换 ϕ_a 称为群 G 由元素 a 所定义的 左平移。

循环群

群的阶

阶的定义

设 G 是一个群，e 是 G 的单位元，a ∈ G。如果存在正整数 r，使 a^r = e，则称 a 是 有限阶 的，否则称 a 是无限阶 的。使 a^r = e 的最小正整数 r 称为元素 a 的阶 ，记作 ord a = r。如果 a 是无限阶的，则记作 ord a = ∞。

• 在任何一个群中，单位元的阶总是 1
• 在整数加群 Z 中，除零元 0 外，每个元素都是无限阶的

阶的性质

• 设 G 为群，e 为 G 的单位元

  • 对任意的 a ∈ G，有 ord a = ord a⁻¹
  • 设 ord a = n，如果有 m ∈ Z，使 a^m = e，则 n ∣ m
  • 设 ord a = n，则对任意的 m ∈ Z，$\operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n,m)}$
  • 设 ord a = n，ord b = m，如果 ab = ba，且 gcd (n, m) = 1，则 ord (ab) = mn

  其中 (n, m) 与 gcd (n, m) 表示 n 与 m 的最大公约数

• 设 G 是一个有限群，|G| = n，则对任意的 a ∈ G，a 是有限阶的，且 ord a ∣ |G|，即有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。

循环群

循环群的定义

设 G 是群，如果存在 a ∈ G，使得 G = ⟨a⟩（a 的生成子群），则称 G 为一个 循环群 ，并称 a 为 G 的一个 生成元 。当 G 的元素个数无限时，称 G 为 无限循环群 ；当 G 的元素个数为 n 时，称 G 为 n 阶循环群。

• 整数加群 Z 是无限循环群
• 设 m 为正整数，则模 m 剩余类加群 Z_m 是 m 阶循环群
• n 次单位根群 U_n 是一个 n 阶循环群

由循环群的定义可知：

• ⟨a⟩ = ⟨a⁻¹⟩
• 如果 G 是循环群，则 G = ⟨a⟩ ⇔ |G| = ord a，即 G 的阶等于 a 的阶
• 如果 G 是无限循环群，则 G = {e, a, a⁻¹, a², a⁻², ⋯}，且对 k, l ∈ Z，有 $a^{k} = a^{l} k = l $
• 如果 G 是 n 阶循环群，则 G = {e, a, a², ⋯, a^n − 1}，且对 k, l ∈ Z，有 a^k = a^l ⇔ k ≡ l( mod  n)

循环群的性质

• 设 p 为素数，则 Z_p^* 是 p − 1 阶循环群。对于循环群 Z_p^*，如果 ā 是 Z_p^* 的生成元，则称数 a 是 Z 的一个模 p 原根

• 设 G = ⟨a⟩ 为循环群，则

  • 如果 |G| = ∞，则 a 与 a⁻¹ 是 G 的两个仅有的生成元
  • 如果 |G| = n，则 G 恰有 ϕ(n) 个生成元，且 a^r 是 G 的生成元的充分必要条件是 (n, r) = 1，其中，ϕ(n) 是欧拉函数

• 原根判定定理：设 m ≥ 3，(g, m) = 1，则 g 是模 m 的原根的充要条件是，对于 φ(m) 的每个素因数 p，都有 $g^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not \equiv 1(\bmod m)$

• 循环群的任一子群也是循环群

• 设 ord a = n，r 是任一整数。如果 (n, r) = d，则⟨a^r⟩ = ⟨a^d⟩

• 设 G = ⟨a⟩ 为循环群，

  • 如果 |G| = ∞，则 G 的全部子群为{⟨a^d⟩ ∣ d = 0, 1, 2, ⋯}
  • 如果 |G| = n，则 G 的全部子群为{⟨a^d⟩ ∣ d为n的正因子}

循环群的结构定理

设 G 为循环群

• 如果 G = ⟨a⟩ 是无限循环群，则 G ≅ (Z, +)
• 如果 G = ⟨a⟩ 是 n 阶循环群，则 G ≅ (Z_n, +)

置换群与对称群

前面提到非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 X 的对称群 S_X，并且把 S_X 的任一子群叫做 X 的一个变换群。如果 X 是由 n 个元素组成的有限集合，则通常把的一个可逆变换叫做一个 n 阶置换，称 S_X 为 n 次对称群 ，并把 S_X 记作 S_n（因为集合 X 有哪些元素与群的特性无关），同时称 S_n 的子群为置换群 。

• 定理：每一个有限群都同构于一个置换群

置换

由于集合 X 的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以可不妨记 X = {1, 2, 3, ⋯, n}

设 σ 为 X 的任一置换，如果 σ 把 1 映成 k₁，2 映成 k₂，……，n 映成 k_n，则可以把这个置换记作 $$ \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{n} \end{array}\right) $$

如果固定第一行元素的次序，则第二行就是 1, 2, ⋯, n 的一个排列，且 每一个置换都唯一对应了一个这样的排列 。反之，每一个 n 阶排列也可按上式得到唯一的一个 n 阶置换 。由于 n 个数共有 n! 个 n 阶排列，所以 n 个元素的集合共有 n! 个 n 阶置换。换句话说，n 次对称群 S_n 的阶是 n!，即 |S_n| = n!。

置换的合成

置换的乘法习惯上总是按从右到左 的顺序进行的。在本教材中，总是按从右到左的顺序计算置换的乘法。

两个置换 σ, τ 的乘积 σ ⋅ τ 是按通常映射合成的法则进行的，即 (σ ⋅ τ)(i) = σ(τ(i)),  i = 1, 2, ⋯, n

它是先用 τ 作用于 i，再用 σ 作用于 τ(i)

• 当 n ≥ 3 时，S_n 都不是交换群

置换的性质

设置换 $$ \tau=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \end{array}\right) $$

则对任一 n 阶置换 σ， $$ \sigma \tau \sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(k_{n}\right) \end{array}\right) $$

轮换

设 σ 是一个 n 阶置换，如果存在 1 到 n 中的 r 个不同的数 i₁, i₂, ⋯, i_r，使 σ(i₁) = i₂, σ(i₂) = i₃, ⋯, σ(i_r − 1) = i_r, σ(i_r) = i₁

并且 σ 保持其余的元素不变，则称 σ 是一个长度为 r 的 轮换 ，简称 r 轮换，记作 σ = (i₁i₂⋯i_r)

• 2 轮换称为 对换
• 1 轮换就是 恒等置换，并且显然有 (1) = (2) = ⋯ = (n)
• 轮换的表示一般不是唯一的 . 例如，置换 $$ \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\ 2 & 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 7 \end{array}\right) $$ 可分别表示为 $$ \begin{aligned} \sigma & =\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 2 & 4 & 6 & 1 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 4 & 6 & 1 & 2 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{llll} 6 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right) \\ \end{aligned} $$

轮换的性质

• 设 σ = (i₁i₂⋯i_r) 与 τ = (j₁j₂⋯j_s) 是两个轮换，如果 i_k ≠ j_l,  k = 1, 2, ⋯, r; l = 1, 2, ⋯, s

  则称 σ 与 τ 为两个 不相交 的轮换

  • 任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的
  • 一个置换不一定就是轮换，但是每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
  • 将一个置换分解为不相交轮换的乘积，如果不考虑因子的次序和乘积中 1 轮换的个数，则这个分解式是唯一的

• 对于轮换的乘积，容易证明下面一些有用的等式： $$ \begin{array}{l} (k\ l)(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d) \\ (k\ l)(k\ a \cdots b\ l\ c \cdots d)=(k\ a \cdots b)(l\ c \cdots d)\\ (k\ c \cdots d)(k\ a \cdots b)=(k\ a \cdots b\ c \cdots d)\\ (k\ l\ c \cdots d)(k\ l\ a \cdots b)=(k\ c \cdots d)(l\ a \cdots b) \\ (l\ k\ c \cdots d)(k\ l\ a \cdots b)=(k)(l\ a \cdots b\ c \cdots d) \\ \end{array} $$

  • 其中 a, ⋯, b, c, ⋯, d, k, l 为互不相同的正整数
  • 注意置换是从右到左

• 如果 σ 是一个 r 轮换，则 ord σ = r

• 如果 σ 是一些不相交轮换的乘积 σ = σ₁σ₂⋯σ_s

  其中 σ_i 是 r_i 轮换，则 ord σ = [r₁, r₂, ⋯, r_s]

• 每个置换都可表为对换的乘积

• 将一个置换表为对换的乘积，表法一般不唯一

• 将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换 ，可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换

  • 任何两个偶（奇）置换之积是偶置换
  • 一个偶置换与一个奇置换之积是奇置换
  • 一个偶（奇）置换的逆置换仍是一个偶（奇）置换
  • 当 n > 1 时，在全体 n 阶置换中，奇置换与偶置换各有 $\frac{n!}{2}$ 个
  • 在 S_n 中，全体偶置换构成 S_n 的子群，称为 n 次交代群 ，记作 A_n

子群的陪集

子集的运算

乘积

设 A 与 B 是群 G 的两个非空子集，称集合 AB = {ab ∣ a ∈ A, b ∈ B}

为群的子集 A 与 B 的 乘积 。 如果 g 为群 G 的一个元素，A = {g}，则 AB 与 BA 分别简记为 gB = {gb ∣ b ∈ B}  和  Bg = {bg ∣ b ∈ B}

和

当 G 为加群时，上述记号应相应地改为 $$ \begin{aligned} A+B & =\{a+b \mid a \in A,b \in B\},\\ g+A & =\{g+a \mid a \in A\},\\ A+g & =\{a+g \mid a \in A\} \end{aligned}$$

并称 A + B 为 A 与 B 的和

简单性质

• “和”有交换律 A + B = B + A,  g + A = A + g
• 当群 G 不是交换群时，AB 与 BA 一般是不相同的；即使 AB = BA，也并不意味着对任意的 a ∈ A，b ∈ B，一定有 ab = ba，AB = BA 的意思是，对任意的 a ∈ A, b ∈ B，存在 a^′ ∈ A, b^′ ∈ B，使 ab = b^′a^′
• 由 AB = AC，一般不能推出 B = C
• 设 A, B, C 是群 G 的非空子集，g 是群 G 的一个元素，则
  • A(BC) = (AB)C
  • 如果 gA = gB 或 Ag = Bg，则 A = B
  • 如果 H 是群 G 的子群，则 H ⋅ H = H
  • 如果 A, B 是群 G 的两个子群，则 AB 也是群 G 的子群的充分必要条件是 AB = BA

陪集

陪集的定义

设 G 是群，H 是 G 的子群。对任意的 a ∈ G，群 G 的子集 aH = {ah ∣ h ∈ H}  与Ha = {ha ∣ h ∈ H}

分别称为 H 在 G 中的 左陪集 和 右陪集

• H 的一个陪集 一般 不是 G 的子群
• G 的两个不同的元素 可能 生成 H 的同一个左陪集
• H 的一个左陪集 aH 一般 不等于相应的右陪集 Ha

陪集的性质

设 H 是群 G 的子群，a, b ∈ G，则

• a ∈ aH
• aH = H 的充分必要条件是 a ∈ H
• aH 为子群的充分必要条件是 a ∈ H
• aH = bH 的充分必要条件是 a⁻¹b ∈ H
• aH 与 bH 或者完全相同，或者无公共元素
• |aH| = |bH|

由此定理可以知道，群 G 可表示成子群 H 的一些互不相交的左陪集之并。因此，群 G 的子群 H 的全体左陪集的集合组成群 G 的一个分类，即 G = ⋃_gi ∈ Gg_iH

其中 g_i 取遍 H 的不同陪集的代表元素。特别地，如果 G 为有限群，则 $$ |G|=\sum_{i=1}^{t}\left|g_{i} H\right|=\sum_{i=1}^{t}|H|=t|H| $$

其中 t 为 H 的不同左陪集的个数

左陪集与右陪集

相应的结论对右陪集也成立，特别地： Ha = Hb ⇔ ba⁻¹ ∈ H

用 G/H 与 H ∖ G 分别表示 H 的全体左陪集和全体右陪集组成的集合，即 $$ \begin{aligned} G / H=\{g H \mid g \in G\} \\ H \backslash G=\{H g \mid g \in G\} \end{aligned} $$

则两者间有下述关系 $$ \begin{aligned} \phi: \quad G / H & \longrightarrow H \backslash G,\\ a H & \longmapsto H a^{-1} \end{aligned} $$

是 G/H 到 H ∖ G 的一一对应

拉格朗日定理

• 设 G 是群，H 是 G 的子群。称子群 H 在群 G 中的左陪集或右陪集的个数（有限或无限）为 H 在 G 中的 指数，记作 [G : H]

• 拉格朗日定理：设 G 是一个有限群，H 是 G 的子群，则 |G| = |H|[G : H]

  • 拉格朗日定理说明，有限群 G 的子群 H 的阶数与它在 G 中的指数，都是群 G 的阶数的因子
    
  • 设 G 是有限群，则 G 中每一个元素的阶都是 |G| 的因子
  • 设 G 为有限群，|G| = n，则对任意的 a ∈ G，有 aⁿ = e
    • 应用到模 p 单位群 Z_p^*（p 是素数），可以得到 费马小定理：设 p 为素数，则对任意一个与 p 互素的整数 a，有 a^p − 1 ≡ 1  ( mod  p)
  • 应用拉格朗日定理，可以推测在一个有限群中，可能有怎样阶数的子群与元素，只是一种可能性，不能仅仅依据这种可能性，就断定这样的子群或元素一定存在

各阶群的结构

• 一阶群是循环群：G = {e}
• 二阶群是循环群：G = {e, a} = ⟨a⟩
• 三阶群是循环群：G = {e, a, a²} = ⟨a⟩
• 四阶群是循环群或克莱因四元群：
  • G = {e, a, a², a³} = ⟨a⟩
  • G = {e, a, b, ab}，ab = ba，a² = b² = e
• 五阶群是循环群：G = {e, a, a², a³, a⁴} = ⟨a⟩
• 六阶群是循环群或三次对称群
  • G = {e, a, a², a³, a⁴, a⁵} = ⟨a⟩
  • G ≅ S₃ = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

正规子群与商群

正规子群

正规子群的定义

设 H 是群 G 的子群，如果对每个 a ∈ G，都有 aH = Ha，则称 H 是群 G 的一个 正规子群 或 不变子群 ，记作 H ⊲ G

• 条件 aH = Ha 仅仅表示两个集合 aH 与 Ha 相等，即对任意的 h ∈ H，存在 h^′ ∈ H，使 ah = h^′a；不可推出 ah = ha 对 H 中所有的元素 h 都成立
• 群 G 的单位元群 {e} 和群 G 本身都是 G 的正规子群，这两个正规子群称为 G 的 平凡正规子群
• 如果群 G 只有平凡的正规子群，且 G ≠ e，则称 G 为 单群

正规子群的性质

• 如果 G 是 交换群 ，则 G 的一切子群都是 G 的正规子群
• 设 H, K 都是 G 的子群，如果 H 是 G 的正规子群且 H ⊆ K，则 H 也是 K 的正规子群
• 设 G 为群，H 是 G 的子群，如果 H 在 G 中的指数 [G : H] = 2，则 H 是 G 的正规子群
• 若 H 是 K 的正规子群，K 是 G 的正规子群，H 不一定是 G 的正规子群（正规子群没有传递性）

正规子群的判定

• 设 G 是群，H 是 G 的子群，则下列四个条件等价：
  • H 是 G 的正规子群
  • 对任意的 a ∈ G，有 aHa⁻¹ = H
  • 对任意的 a ∈ G，有 aHa⁻¹ ⊆ H
  • 对任意的 a ∈ G，h ∈ H，有 aha⁻¹ ∈ H
• 设 G 为群，H₁，H₂ 是 G 的正规子群，则 H₁ ∩ H₂与H₁H₂ 都是 G 的正规子群
  • 事实上，前面提到，两个子群的交一定是子群，而两个子群的合成要是子群的充分必要条件是可交换。而只要其中一个子群是正规子群，那么就是可交换的

商群

陪集的乘法

正规子群的基本特点是：它的每一个左陪集与相应的右陪集完全一致。因此，对于群 G 的正规子群 H，可不必区分它的左陪集 aH 与右陪集 Ha，而直接称 aH 或 Ha 为它的一个陪集 。用 G/H 表示它的所有陪集组成的集合，即 G/H = {aH ∣ a ∈ G}

下面规定 G/H 的运算，以使 G/H 关于给定的运算构成群。

对任意的 aH, bH ∈ G/H，规定： (aH) ⋅ (bH) = (ab)H

设 a^′H = aH，b^′H = bH，则 $$ \begin{aligned} a^{\prime} H \cdot b^{\prime} H & =\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) H=a^{\prime}\left(b^{\prime} H\right)=a^{\prime}(b H)=a^{\prime}(H b) \\ & =\left(a^{\prime} H\right) b=(a H) b=a(H b)=(a b) H\\\ & =a H \cdot b H \end{aligned} $$

所以 H 的任意两个陪集 aH 与 bH 的乘积是唯一确定的，并且与 a 与 b 的选择无关，所以上述乘法是 G/H 的一个代数运算。

商群的定义

设 G 为群，H 是 G 的正规子群。H 的所有陪集 G/H 关于陪集的乘法 aH ⋅ bH = (ab)H 构成的群称为群 G 关于子群 H 的商群，仍记作 G/H，即 G/H = {aH ∣ a ∈ G}

• 商群 G/H 的单位元是 eH( = H)
• aH 在 G/H 中的逆元是 a⁻¹H

商群的性质

• 设 G 为群，H 是 G 的任一子群。如果 G 是交换群，则商群 G/H 也是交换群。由于 H 在 G 中的指数[G : H] 就是 H 在 G 中的陪集的个数，所以 |G/H| = [G : H]。特别地，当 G 是有限群时 $$ |G / H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|} $$
  • 有限群 G 的商群的阶是群 G 的阶数的因子。
• Z 关于 ⟨m⟩ 的商群 Z/⟨m⟩ 就是 Z 关于模 m 的剩余类加群 Z_m，因此有 Z/⟨m⟩ = Z_m

群的同态与同态基本定理

群同态

群同态定义

设 G 与 G^′ 是两个群，ϕ 是 G 到 G^′ 的映射。如果对任意的 a, b ∈ G 有 ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

则称 ϕ 是群 G 到 G^′ 的一个同态映射 ，简称同态

• 当同态映射 ϕ 是满射时，称 ϕ 为群 G 到 G^′ 的满同态

• 当同态映射 ϕ 是单射时，称 ϕ 为 G 到 G^′ 的单同态

• 群的同构映射一定是既单且满的同态映射；反之，当群 G 到群 G^′ 的同态映射 ϕ 既是单同态又是满同态时，ϕ 是 G 到 G^′ 的同构映射

• 在上式中，虽然用同一个记号“⋅”来表示群 G 与群 G^′ 的运算，但这不表示等式两边的运算 ab 与 ϕ(a)ϕ(b) 是一样的，而是分别表示群 G 与群 G^′ 的运算。

• 自然同态：设 G 为群，H 是 G 的正规子群，对商群 G/H，令 $$ \begin{aligned} \eta:G & \longrightarrow G / H,\\ a & \longrightarrow a H, \end{aligned} $$

  则 η 是满映射，且对任意 a，b ∈ G，有 η(ab) = (ab)H = aH ⋅ bH = η(a)η(b)

  所以 η 是 G 到它的商群 G/H 的同态映射。通常称这样的同态映射为自然同态。

群同态的性质

设 ϕ 是群 G 到群 G^′ 的同态映射，e 与 e^′ 分别是 G 与 G^′ 的单位元，a ∈ G，则

• ϕ 将 G 的单位元映到 G^′ 的单位元，即 ϕ(e) = e^′
• ϕ 将 a 的逆元映到 ϕ(a) 的逆元，即 ϕ(a⁻¹) = (ϕ(a))⁻¹
• 设 n 是任一整数，则 ϕ(aⁿ) = (ϕ(a))ⁿ
• 如果 ord a 有限，则 ord ϕ(a) ∣ ord a

象和原象

• 设 ϕ 为群 G 到群 G^′ 的映射 ，A, B 分别为 G 与 G^′ 的非空子集，记 $$ \begin{aligned} \phi(A) & =\{\phi(x) \mid x \in A\},\\ \phi^{-1}(B) & =\{x \in G \mid \phi(x) \in B\} \end{aligned} $$

  则 ϕ(A) 与 ϕ⁻¹(B) 分别是 G^′ 与 G 的非空子集。ϕ(A) 与 ϕ⁻¹(B) 分别称为子集 A 与 B 在 ϕ 下的象 与原象

  • 注意，ϕ⁻¹(B) 仅仅是一个集合的记号，并不表示映射 ϕ 是可逆的

• 设 ϕ 是群 G 到 G^′ 的同态映射 ，H 与 K 分别是 G 与 G^′ 的子群，则

  • ϕ(H) 是 G^′ 的子群
  • ϕ⁻¹(K) 是 G 的子群
  • 如果 H 是 G 的正规子群，则 ϕ(H) 是 ϕ(G) 的正规子群
  • 如果 K 是 G^′ 的正规子群，则 ϕ⁻¹(K) 是 G 的正规子群

核

设 ϕ 是群 G 到 G^′ 的同态映射，e^′ 是 G^′ 的单位元，则称 e^′ 在 G 中的原象 ϕ⁻¹({e^′}) = {a ∈ G ∣ ϕ(a) = e^′}

为同态映射 ϕ 的核 ，记作 Ker ϕ

群同态基本定理

设 ϕ 是群 G 到群 G^′ 的满同态，K = Ker ϕ，则 G/K ≅ G^′

应用群同态基本定理证明群的同构，一般有以下五个步骤：

1. 建立群 G 与群 G^′ 的元素之间的对应关系 ϕ，并证明 ϕ 为 G 到 G^′ 的 映射
2. 证明 ϕ 为 G 到 G^′ 的 满映射
3. 证明 ϕ 为 G 到 G^′ 的 同态映射，即证明保持运算
4. 计算同态的 核 Ker ϕ
5. 应用群同态基本定理得 G/Ker ϕ ≅ G^′

第二同构定理

设 H 为 G 的子群，K 为 G 的正规子群，则 H ∩ K 是 H 的正规子群且 H/(H ∩ K) ≅ HK/K

第三同构定理

设 H 是群 G 的正规子群，K 是 G 的正规子群，且 K ⊆ H，则 (G/K)/(H/K) ≅ G/H

群的直积

外直积

外直积的定义

设 G₁, G₂ 是两个群，构造集合 G₁ 与 G₂ 的卡氏积 G = {(a₁, a₂) ∣ a₁ ∈ G₁, a₂ ∈ G₂}

并在 G 中定义乘法运算 (a₁, a₂) ⋅ (b₁, b₂) = (a₁b₁, a₂b₂),  (a₁, a₂), (b₁, b₂) ∈ G

则 G 关于上述定义的乘法构成群，称为群 G₁ 与 G₂ 的外直积 ，记作 G = G₁ × G₂

• 如果 e₁, e₂ 分别是群 G₁ 和 G₂ 的单位元，则 (e₁, e₂) 是 G₁ × G₂ 的单位元
• 设 (a₁, a₂) ∈ G，则 (a₁, a₂)⁻¹ = (a₁⁻¹, a₂⁻¹)
• 当 G₁ 和 G₂ 都是加群时，G₁ 与 G₂ 的外直积也可记作 G₁ ⊕ G₂

外直积的性质

• 设 G = G₁ × G₂ 是群 G₁ 与 G₂ 的外直积，则

  • G 是有限群的充分必要条件是 G₁ 与 G₂ 都是有限群。
  • 当 G 是有限群时，有 |G| = |G₁| ⋅ |G₂|
  • G 是交换群的充分必要条件是 G₁ 与 G₂ 都是交换群
  • G₁ × G₂ ≅ G₂ × G₁

• 设 G₁，G₂ 是两个群，a 和 b 分别是 G₁ 和 G₂ 中的有限阶元素，则对于 (a, b) ∈ G₁ × G₂，有 ord (a, b) = [ord a, ord b]

• 设 G₁ 和 G₂ 分别是 m 阶及 n 阶的循环群，则 G₁ × G₂ 是循环群的充要条件是 (m, n) = 1

内直积

内直积的定义

设 H 和 K 是群 G 的正规子群。如果群 G 满足条件 G = HK,  H ∩ K = {e}

则称 G 是 H 和 K 的内直积

内直积的判定

设 H 和 K 是 G 的子群，则 G 是 H 和 K 的内直积的充分必要条件是 G 满足如下两个条件：

• G 中每个元素可唯一地表为 hk 的形式，其中 h ∈ H，k ∈ K
• H 中每个元素与 K 中任意元素可交换，即：对任意 h ∈ H，k ∈ K，有 hk = kh

内外直积的关系

如果群 G 是正规子群 H 和 K 的内直积，则 H × K ≅ G

反之，如果群 G = G₁ × G₂，则存在 G 的正规子群 G₁^′ 和 G₂^′，且 G_i^′ 与 G_i 同构 (i = 1, 2)，使得 G 是 G₁^′ 与 G₂^′ 的内直积

• 从本定理中可看到，内外直积的概念本质上是一致的，所以有时可不对内外直积加以区分，而统称为群的直积

多个群的直积

• 设 G₁, G₂, ⋯, G_n 是有限多个群。构造集合 G = {(a₁, a₂, ⋯, a_n) ∣ a_i ∈ G_i, i = 1, 2, ⋯, n}

  并在 G 中定义运算 (a₁, a₂, ⋯, a_n) ⋅ (b₁, b₂, ⋯, b_n) = (a₁b₁, a₂b₂, ⋯, a_nb_n)

  则 G 关于上述运算构成群，称为群 G₁, G₂, ⋯, G_n 的外直积

• 设 H₁, H₂, ⋯, H_n 是群 G 的有限多个正规子群。如果 G 满足以下两个条件，就称 G 是 H₁, H₂, ⋯, H_n 的内直积：

  • G = H₁H₂⋯H_n = {h₁h₂⋯h_n ∣ h_i ∈ H_i}
  • (H₁H₂⋯H_i) ∩ H_i + 1 = {e}, i = 1, 2, ⋯, n − 1（任意两个交起来都是单位群）

• 对于多个群的直积，如果群 G 是有限多个子群 H₁, H₂, ⋯, H_n 的内直积，则 G 同构于 H₁, H₂, ⋯, H_n 的外直积

第二章 环

环的定义和基本性质

环的定义

设 R 是一个非空集合，如果在 R 上定义了两数运算“+”（称为加法）和“⋅”（称为乘法），并且满足

• (R1) R 关于加法构成一个交换群
• (R2) 乘法结合律成立，即对任意的 a, b, c ∈ R，有 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
• (R3) 乘法对加法的两个分配律成立，即对任意的 a, b, c ∈ R，有 $$ \begin{aligned} a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c\\ (b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a \end{aligned} $$

则称 (R, +, ⋅) 为一个环 ，或简称 R 为环

• 由环的定义知 (R, +) 是一个交换群，称为环的加法群。与前两章中关于加群的记号一样，R 的加法单位元常用 0 表示，称为环 R 的 零元，环 R 的元素 a 的加法逆元称为 a 的 负元 ，记作 −a，由群的性质可知，R 的零元及每个元素的负元都是唯一的
• 如果环 R 的乘法还满足交换律，则称为交换环
• 如果环中存在元素 e，使对任意的 a ∈ R，有 ae = ea = a 则称 R 是一个有单位元的环，并称 e 为 R 的单位元 （注意：环的单位元是乘法单位元）
• 一个环不一定有单位元，如果环有单位元，则单位元是唯一的
• 设环 R 是有单位元的环，a ∈ R，如果存在 b ∈ R，使 ab = ba = e 则称 a 是 R 的一个 可逆元 或单位 ，并称 b 为 a 的 逆元 ，记作 a⁻¹
• 环的一个元素不一定是可逆的，如果 a 可逆则 a 的逆元是唯一的
• 对于一个有单位元的环 R，其所有可逆元组成的集合关于环 R 的乘法构成群。这个群称为环 R 的 单位群 ，记作 U(R)
• 设 R = {0}，规定 0 + 0 = 0 ⋅ 0 = 0，则 R 构成环称为零环，零环是唯一的一个有单位元且单位元等于零元，并且零元也可逆的环
• 今后，如无特别声明，凡提到有单位元的环时我们总假定这个环不是零环，因此环的单位元也就不等于零元

常见的环

• 整数集 ℤ、有理数集 ℚ、实数集 ℝ、复数集 ℂ 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 1 的交换环，分别称为整数环、有理数域、实数域、复数域 、它们的单位群分别是 {1, −1}、ℚ^*、ℝ^* 和 ℂ^*

• 数域 F 上全体 n(n > 1) 阶方阵 M_n(F) 的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元 E（单位矩阵）的非交换环，称为数域 F 上的 n 阶全矩阵环，这个环的单位群是 GL_n(F)

• 设 m 为大于 1 的正整数，则 ℤ 的模 m 剩余类集 $$ Z_m=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\} $$ 关于剩余类的加法和乘法构成有单位元的交换环，称为模 m 剩余类环 ，这个环的单位群是 $U(m) = \{\overline{x} \mid 1 \leq x < m, (x,m)=1\}$

• 设 R₁, R₂, ⋯, R_n 为 n 个环。令 R = R₁ ⊕ R₂ ⊕ ⋯ ⊕ R_n = {(a₁, a₂, ⋯, a_n) ∣ a_i ∈ R_i, i = 1, 2, ⋯；n}

  对任意的 (a₁, a₂, ⋯, a_n), (b₁, b₂, ⋯, b_n) ∈ R，规定 $$ \begin{aligned} \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right),\\ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \cdot\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right) & =\left(a_{1} b_{1},a_{2} b_{2},\cdots,a_{n} b_{n}\right) \end{aligned} $$

  则 R 关于上面所定义的加法与乘法构成一个环。这个环称为环 R₁, R₂, ⋯, R_n 的直和

  • R 有单位元的充分必要条件是每个 R_i 都有单位元
  • R 是交换环的充分必要条件是每个 R_i 都是交换环

环的性质

• 设 R 是一个环，a, b ∈ R，则

  • a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0
  • −(−a) = a
  • a ⋅ (−b) = (−a) ⋅ b = −ab
  • (−a) ⋅ (−b) = ab

• 利用负元的概念，可以定义环 R 的减法“−”，即对任意的 a, b ∈ R，令 a − b = a + (−b)

• 移项法则：对任意的 a, b, c ∈ R，有以下移项法则： a + b = c ⇔ a = c − b

  乘法对于减法还满足分配律，即对任意的 a, b, c ∈ R，有 $$ \begin{aligned} a(b-c)=a b-a c \\ (b-c) a=b a-c a \end{aligned} $$

• 倍数法则：对任意的 m, n ∈ Z，a, b ∈ R，

  • ma + na = (m + n)a
  • m(a + b) = ma + mb
  • m(na) = (mn)a = n(ma)
  • m(ab) = (ma)b = a(mb)

• 指数法则：对任意的 m, n ∈ N，a, b ∈ R，

  • (a^m)ⁿ = a^mn
  • a^m ⋅ aⁿ = a^m + n
  • 如果 R 的元素 a 是不可逆的，则 a⁰ 与 a⁻ⁿ(n > 0) 通常是没有意义的
  • 当 ab ≠ ba 时，等式 (a ⋅ b)ⁿ = aⁿ ⋅ bⁿ 一般也不成立

• 广义分配律： 设 a ∈ R，则对 b_i ∈ R(i = 1, 2, ⋯, n)，有 $$ a\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a b_{i},\quad\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right) a=\sum_{i=1}^{n} b_{i} a $$

  设 a_i, b_j ∈ R(i = 1, 2, ⋯, n；j = 1, 2, ⋯, m)，则 $$ \left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{m} b_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j} $$

子环的定义

设 (R, +, ⋅) 是一个环，S 是 R 的一个非空子集。如果 S 关于 R 的运算构成环，则称 S 为 R 的一个子环 ，记作 S < R

• 如果 S 是 R 的子环，则 (S, +) 是 (R, +) 的子加群
• R 的零元 0 就是 S 的零元
• S 中元素 a 在 R 中的负元 −a 就是 a 在 S 中的负元
• 环 R 本身以及由单独一个零元 {0} 所构成的集合关于 R 的运算显然都构成 R 的子环，这两个子环称为环 R 的平凡子环
• 即使一个环有单位元，其子环也可能没有单位元
• 即使一个环没有单位元，其子环也可能有单位元

子环的判定

• 设 R 是一个环，S 是 R 的一个非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件是
  • (S, +) 是 (R, +) 的加法子群
  • S 关于 R 的乘法封闭，即对任意的 a, b ∈ S，有 ab ∈ S
• 设 R 是一个环，S 是 R 的一个非空子集，则 S 是 R 的子环的充分必要条件是
  • 对任意的 a, b ∈ S，a − b ∈ S
  • 对任意的 a, b ∈ S，ab ∈ S
• 这就是说，环 R 的子环 S 是 R 的关于减法与乘法封闭的非空子集

中心

设 R 为环，则 C(R) = {r ∈ R ∣ rs = sr, ∀s ∈ R}

为 R 的一个子环，这个子环称为 R 的 中心

整环和域

零因子

设 R 为环，a，b 为 R 的两个 非零元素，如果 a ⋅ b = 0

则称 a 为 R 的一个左零因子 ，b 为 R 的一个右零因子

• 左零因子与右零因子统称为零因子
• 在一个有零因子的环中，右零因子不一定是左零因子，左零因子也不一定是右零因子
• 如果一个环有左零因子，也就一定有右零因子，反之亦然
• 如果一个环没有左零因子，当然也就没有右零因子，从而也就没有零因子
• 一个没有零因子的环称为无零因子环
• 在一个无零因子的环中，两个消去律成立，即对任意的 a, b, c ∈ R，c ≠ 0，如果 ac = bc 或 ca = cb，则 a = b
• 如果环 R 中两个消去律有一个成立，则 R 必是无零因子环，从而另一个消去律也成立

整环

一个 无零因子 的，有 单位元 e ≠ 0 的 交换环 R 称为 整环

• 整数环 Z，高斯整环 Z[i]，模 m 剩余类环 Z_m，数域 F 上的一元多项式环 F[x] 都是整环。

• 全体形如 Z[i] = {a + bi ∣ a, b ∈ Z}

  的复数关于通常数的运算构成一个整环，环 Z[i] 称为 高斯整环，单位群为 Z[i]^× = {1, −1, i, −i}

• 类似地可以证明，对任一无平方因子的整数 d(d ≠ 1)，数集 $$ \mathbf{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b \sqrt{d} \mid a,b \in \mathbf{Z}\} $$

  也是整环

域

设 F 是一个有 单位元 1_F ≠ 0 的 交换环。如果 F 中 每个非零元都可逆，则称 F 是一个域

• 由于可逆元一定不是零因子，所以 每个域都是整环
• 整环却不一定是域，如整数环 Z，高斯整环 Z[i] 都不是域
• Q，R，C 都是域，分别称为有理数域、实数域和复数域
• 设 p 是一个素数，则模 p 剩余类环 Z_p 是一个含 有 p 个元素的域，称为素数域

理想和商环

理想的定义

设 R 为环，I 为 R 的非空子集，如果 I 满足

• 对任意的 r₁，r₂ ∈ I，r₁ − r₂ ∈ I
• 对任意的 r ∈ I，s ∈ R，rs, sr ∈ I

则称 I 为环 R 的一个理想 ，记作 I ⊲ R。又如果 I ⊊ R，则称 I 为 R 的 真理想

• 如果 I 为 R 的理想，则 I 必为 R 的子环
• {0} 与 R 本身显然都是 R 的理想，这两个理想称为 R 的 平凡理想
• ℤ 的所有理想是 {dZ ∣ d ∈ ℤ, d ≥ 0}
• ℤ_m 的所有理想是 {dZ_m ∣ d = 0 或 d ∣ m}

理想的运算

设 R 为环，I，J 都是 R 的理想，集合 I + J = {a + b ∣ a ∈ I, b ∈ J}  与  I ∩ J

分别称为理想 I 与 J 的和 与交

• 设 R 为环，I，J 都是 R 的理想，则 I 与 J 的和与交都是 R 的理想
• 环 R 的任意 有限 多个理想的和还是 R 的理想
• 环 R 的任意（有限或无限 ）多个理想的交还是 R 的理想

主理想

设 a ∈ R，考察 R 中含有元素 a 的全部理想的集合 Σ = {I ⊲ R ∣ a ∈ I}

因为 a ∈ R，且 R ⊲ R，所以 R ∈ Σ，从而 Σ 非空。令 ⟨a⟩ = ⋂_I ∈ ΣI

则 ⟨a⟩ 为 R 的一个理想，这个理想称为 R 的由 a 生成的 主理想

• 因为 a ∈ I(I ∈ Σ)，所以 a ∈ ⟨a⟩，从而 ⟨a⟩ ∈ Σ
• 我们看到：一方面，⟨a⟩ 是包含 a 的理想；另一方面，⟨a⟩ 是所有包含 a 的理想的交，所以 ⟨a⟩ 是 R 的包含 a 的最小理想

主理想的构成

设 R 为环，a ∈ R，则

• 一般地 $$\langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i}+x a+a y+m a \mid x_{i},y_{i},x,y \in R,\,n \in \mathbf{N},\,m \in \mathbf{Z}\right\}$$
• 如果 R 是有单位元的环，则 $$ \langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} x_{i} a y_{i} \mid x_{i},y_{i} \in R,\,n \in \mathbf{N}\right\}$$
• 如果 R 是交换环，则 ⟨a⟩ = {xa + ma ∣ x ∈ R, m ∈ Z}；
• 如果 R 是有单位元的交换环，则 ⟨a⟩ = aR = {ar ∣ r ∈ R}

则有

• 整数环 Z 的每个理想都是主理想
• 模 m 剩余类环 Z_m 的每个理想都是主理想

多元理想

设 R 为环，a₁, a₂, ⋯, a_s ∈ R，则 ⟨a₁⟩, ⟨a₂⟩, ⋯, ⟨a_s⟩ 都是 R 的理想。令

⟨a₁, a₂, ⋯, a_s⟩ = ⟨a₁⟩ + ⟨a₂⟩ + ⋯ + ⟨a_s⟩

则 ⟨a₁, a₂, ⋯, a_s⟩ 为 R 的理想，称为 R 的由 a₁, a₂, ⋯, a_s 生成的理想。易知，⟨a₁, a₂, ⋯, a_s⟩ 是 R 的含 a₁, a₂, ⋯, a_s 的最小理想

商环

设 R 是一个环，I 是环 R 的一个理想，则 (I, +) 是 (R, +) 的子加群，从而 (I, +) 是 (R, +) 的正规子群，于是有商群： $$ R / I=\{\overline{x}=x+I \mid x \in R\} $$

其加法运算定义为 $$ \overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y},\quad x,y \in R $$

定义 R/I 的乘法： $$ \overline{x} \cdot \overline{y}=\overline{x y},\quad x,y \in R $$

称环 R/I 为环 R 关于它的理想 I 的商环

设 R 为环，I 是 R 的理想，则

• $\overline{0}=I$ 为 R/I 的零元
• 如果 R 有单位元 e，且 e ∉ I，则 ē = e + I 为 R/I 的单位元
• 如果 R 是交换环，则 R/I 也是交换环

环的同态

环同态的定义

设 R 和 R^′ 为两个环，ϕ 是集合 R 到 R^′ 的映射。如果对任意的 a, b ∈ R，有

• ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)
• ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

则称 ϕ 为环 R 到环 R^′ 的一个同态映射 ，简称同态

• 环同态就是环之间保持运算的映射
• 如果 ϕ 是单映射，则称 ϕ 为单同态
• 如果 ϕ 是满映射，则称 ϕ 为满同态
• 如果 ϕ 既是单同态，又是满同态，则称 ϕ 为同构 ，此时，称环 R 与 R^′ 同构 ，记作 ϕ : R ≅ R^′
• 与群的相应概念类似，环的同构是环之间的一个等价关系，并且从环的观点来看，同构的环有完全相同的代数性质

零同态

设 R 与 R^′ 是两个环，对任意的 a ∈ R，令 $$ \begin{aligned} \phi: R &\longrightarrow R^{\prime},\\\ a &\longmapsto 0 \end{aligned} $$

则对任意的 a, b ∈ R， $$ \begin{aligned} \phi(a+b) & =0=\phi(a)+\phi(b),\\ \phi(a b) & =0=\phi(a) \phi(b) \end{aligned} $$

所以 ϕ 是 R 到 R^′ 的一个同态，这个同态称为 零同态

自然同态

设 R 是环，I 是 R 的理想。对任意的 a ∈ R，令

$$ \begin{aligned} \eta:R & \longrightarrow R / I,\\ a & \longmapsto \bar{a} \end{aligned} $$

则 η 为 R 到它的商环 R/I 的满映射。又对任意的 a，b ∈ R，

$$ \begin{aligned} \eta(a+b) &=\overline{a+b}=\bar{a}+\bar{b}=\eta(a)+\eta(b),\\ \eta(a b) & =\overline{a b}=\bar{a} \bar{b}=\eta(a) \eta(b) \end{aligned} $$

所以 η 为 R 到它的商环 R/I 的一个满同态 ，这个同态称为自然同态

环同态的性质

• 设 ϕ 是环 R 到 R^′ 的同态，则对任意的 a ∈ R

  • ϕ(0_R) = 0_R^′
  • ϕ(na) = nϕ(a),  ∀n ∈ Z
  • ϕ(aⁿ) = (ϕ(a))ⁿ,  ∀n ∈ N

• 设 R 与 R^′ 都是有单位元的环，e 与 e^′ 分别是它们的单位元，ϕ 是 R 到 R^′ 的环同态

  • 如果 ϕ 是满同态，则 ϕ(e) = e^′
  • 如果 R^′ 为无零因子环，且 ϕ(e) ≠ 0，则 ϕ(e) = e^′
  • 如果 ϕ(e) = e^′，则对 R 的任一单位 u，ϕ(u) 是 R^′ 的单位，且 (ϕ(u))⁻¹ = ϕ(u⁻¹)

核

设 ϕ 为环 R 到环 R^′ 的同态映射，称集合 K = {a ∈ R ∣ ϕ(a) = 0}

为环同态 ϕ 的核 ，记作 Ker ϕ，且 Ker ϕ 为 R 的理想。

环同态基本定理

设 ϕ 是环 R 到 R^′ 的满同态，则有环同构 ϕ̃ : R/Ker ϕ ≅ R^′

环的第二同构定理

设 S 为 R 的子环，I 为 R 的理想，则 S ∩ I 是 S 的理想且 S/(S ∩ I) ≅ (S + I)/I

环的第三同构定理

设 R 是环，I 和 J 都是 R 的理想，且 I ⊆ J。则有环同构 (R/I)/(J/I) ≅ R/J

素理想和极大理想

素理想

设 R 是一个交换环，P 是 R 的真理想。如果对任意的 a, b ∈ R，由 ab ∈ P，可推出 a ∈ P 或 b ∈ P，则称 P 为 R 的一个素理想

• Z 的全部素理想为 ⟨p⟩  以及  {0}
• 设 R 是有单位元 e ≠ 0 的交换环，I 是 R 的理想，则 I 是 R 的素理想的充分必要条件是 R/I 是整环

极大理想

设 R 是一个交换环，M 是 R 的真理想。如果对 R 的任一包含 M 的理想 N，必有 N = M 或 N = R，则称 M 为 R 的一个极大理想

• 设 R 是有单位元 e 的交换环，I 为 R 的理想，则 I 是 R 的极大理想的充分必要条件是 R/I 是域

• 设 R 是一个有单位元的交换环，则 R 的每个极大理想都是素理想

  • 若没有单位元，则不一定成立
  • 素理想不一定是极大理想

中国剩余定理

如果 I 和 J 是包含单位元 1 的交换环 R 的两个理想，满足 I + J = R，则有

1. I ∩ J = IJ
2. R/IJ ≅ R/I × R/J

环的特征与素域

特征

特征的定义

设 R 为环，如果存在最小的正整数 n，使得对所有的 a ∈ R，有 na = 0，则称 n 为环 R 的 特征 。如果这样的正整数不存在，则称环 R 的特征为 0。环 R 的特征记作 Char R。

• Z, Q, R, C 的特征都等于 0
• 一般地，如果 R 是一个数环，则 Char R = 0
• 设 Z_m 是模 m 剩余类环，则对每个 n̄ ∈ Z_m，有 $$ m \bar{n}=\overline{m n}=\overline{0} $$ 而对于任何正整数 k < m，有 $$ k \overline{1}=\bar{k} \neq \overline{0} $$ 所以 Char Z_m = m
• 对于 Z_m 上的一元多项式环 Z_m[x]，也有 Char Z_m[x] = m
• 一个有限环的特征是一个正整数

特征的性质

• 设 R 是有单位元 e 的环，如果 e 关于加法的阶为无穷大，那么 R 的特征等于 0。如果 e 关于加法的阶等于 n，那么 Char R = n。

• 整环的特征是 0 或者是一个素数，域同理。

• 设 R 是有单位元 e 的环，则映射 $$ \begin{aligned} \phi:\mathbf{Z} & \longrightarrow R,\\ n & \longmapsto n e \end{aligned} $$

  是环 Z 到 R 的同态

• 设 R 是有单位元的环

  • 如果 R 的特征为 n > 0，则 R 包含一个与 Z_n 同构的子环 R^′ = {me ∣ m ∈ Z}
  • 如果 R 的特征为 0，则 R 包含一个与 Z 同构的子环 R^′ = {me ∣ m ∈ Z}

• 设 F 是域

  • 如果 F 的特征是 0，则 F 包含一个与有理数域 Q 同构的子域
  • 如果 F 的特征是素数 p，则 F 包含一个与模 p 剩余类环 Z_p 同构的子域

素域

• 一个域 F 如果不含任何真子域，则称 F 是一个素域

• 设 F 是个域

  • 如果 Char F = 0，那么 F 包含一个与 Q 同构的素域
  • 如果 Char F = p > 0，那么 F 包含一个与 Z_p 同构的素域